Bakry-´Emery 型微分評価と 関連する話題

Bakry-´ Emery ^{型微分評価と}

関連する話題

桒桒桒田 和正

(^{お茶の水女子大学})

研究集会「確率解析とその周辺」@^佐賀大学, 2011 ^年 11 ^月 11 ^日–13 ^日

1. Bakry-´ Emery ^{の微分評価とは}

P_t: ^{生成作用素} L ^{を持つ半群} (P_t “=” e^tL) Bakry-´Emery ^の (L^p-) ^微分評価:

|∇P_tf |(x) ≤ e^−KtP_t(|∇f |^p)(x)^1/p (G_p) (p ∈ [1, ∞), K ∈ RRR) [D. Bakry & M. ´Emery, ’84]

• P_t ^{の定義される関数空間}: ^{標準的には，}

P_t: ^{強連続縮小}, ^対称, Markov ^的 on L²(µ) ( ⇒ ∃symm. contr. extension on L^p(µ)

(1 ≤ p ≤ ∞)

)

• ^微分 (^の絶対値)|∇f | ^{の定義も必要} F ^もし P_t: Markovian

(i.e. 0 ≤ f ≤ 1 ⇒ 0 ≤ P_tf ≤ 1) ^なら，

p⁰ < p ^のとき「(G_p⁰ ) ⇒ (G_p)^」

(∵ H¨older ineq. for (f, g) 7→ P_t(f g))

• P_t ^{の定義される関数空間}: ^{標準的には，}

P_t: ^{強連続縮小}, ^対称, Markov ^的 on L²(µ) ( ⇒ ∃symm. contr. extension on L^p(µ)

(1 ≤ p ≤ ∞)

)

• ^微分 (^の絶対値)|∇f | ^{の定義も必要} F ^もし P_t: Markovian

(i.e. 0 ≤ f ≤ 1 ⇒ 0 ≤ P_tf ≤ 1) ^なら，

p⁰ < p ^のとき「(G_p⁰ ) ⇒ (G_p)^」

(∵ H¨older ineq. for (f, g) 7→ P_t(f g))

例 (RRR^{m の熱半群}, i.e. L = ∆) f : RRR^m → RRR

P_tf (x) :=

∫

RRR^m

p_t(x, y)f (y)dy, p_t(x, y) := 1

(4πt)^m/2 exp (

− |x − y|² 4t

)

⇒ ∂_xiP_tf (x) = P_t(∂_xi f )(x)

(∵ (^可換な) ^変数変換 (^平行移動) )

⇒ |∇P_tf |(x) ≤ P_t(|∇f |)(x), i.e. (G₁) with K = 0

例 (RRR^{m の熱半群}, i.e. L = ∆) f : RRR^m → RRR

P_tf (x) :=

∫

RRR^m

p_t(x, y)f (y)dy, p_t(x, y) := 1

(4πt)^m/2 exp (

− |x − y|² 4t

)

⇒ ∂_xiP_tf (x) = P_t(∂_xi f )(x)

(∵ (^可換な) ^変数変換 (^平行移動) )

⇒ |∇P_tf |(x) ≤ P_t(|∇f |)(x), i.e. (G₁) with K = 0

例 (RRR^{m の熱半群}, i.e. L = ∆) f : RRR^m → RRR

P_tf (x) :=

∫

RRR^m

p_t(x, y)f (y)dy, p_t(x, y) := 1

(4πt)^m/2 exp (

− |x − y|² 4t

)

⇒ ∂_xiP_tf (x) = P_t(∂_xi f )(x)

(∵ (^可換な) ^変数変換 (^平行移動) )

⇒ |∇P_tf |(x) ≤ P_t(|∇f |)(x), i.e. (G₁) with K = 0

例 (RRR^{m の熱半群}, i.e. L = ∆) f : RRR^m → RRR

P_tf (x) :=

∫

RRR^m

p_t(x, y)f (y)dy, p_t(x, y) := 1

(4πt)^m/2 exp (

− |x − y|² 4t

)

⇒ ∂_xiP_tf (x) = P_t(∂_xi f )(x)

(∵ (^可換な) ^変数変換 (^平行移動) )

⇒ |∇P_tf |(x) ≤ P_t(|∇f |)(x), i.e. (G₁) with K = 0

微分 |∇f | ^について:

F ^{平方場作用素} (carr´e du champ) Γ(f, g) := 1

2 (L(f g) − gLf − f Lg)

(^例：L = ∆ on RRR^m ⇒ Γ(f, f ) = |∇f |² )

• Γ(f, f) = lim

t→0

1

t (P_t(f ²) − (P_tf )²) ≥ 0

•∫P_t ↔ (E, F): Dirichlet form on L²(µ) ^なら，

hΓ(f, f )dµ = 1 2

(2E(hf, f ) − E(h, f ²)) (h, f ∈ F ∩ L^∞)

以下，この § ^{では，以下を仮定：}

• ∃Γ

• |∇f | = √

Γ(f, f )

◦ ◦

⇒ ^例えば (G₂) ^は，

Γ(P_tf, P_tf ) ≤ e^−2KtP_t(Γ(f, f ))

F ^「“=” at t = 0^{」を利用して} t = 0 ^で微分：

2Γ(f, Lf ) ≤ −2KΓ(f, f) + L(Γ(f, f))

以下，この § ^{では，以下を仮定：}

• ∃Γ

• |∇f | = √

Γ(f, f )

◦ ◦

⇒ ^例えば (G₂) ^は，

Γ(P_tf, P_tf ) ≤ e^−2KtP_t(Γ(f, f ))

F ^「“=” at t = 0^{」を利用して} t = 0 ^で微分：

2Γ(f, Lf ) ≤ −2KΓ(f, f) + L(Γ(f, f))

以下，この § ^{では，以下を仮定：}

• ∃Γ

• |∇f | = √

Γ(f, f )

◦ ◦

⇒ ^例えば (G₂) ^は，

Γ(P_tf, P_tf ) ≤ e^−2KtP_t(Γ(f, f ))

F ^「“=” at t = 0^{」を利用して} t = 0 ^で微分：

2Γ(f, Lf ) ≤ −2KΓ(f, f) + L(Γ(f, f))

2Γ(f, Lf ) ≤ −2KΓ(f, f) + L(Γ(f, f))

⇓ Γ₂(f, f ) := 1

2 (L(Γ(f, f )) − 2Γ(f, Lf )) Γ₂-^条件:

Γ₂(f, f ) ≥ KΓ(f, f ) (Γ₂(K))

命題

(G₂) ⇔ (Γ₂(K))

“^証明”

「(Γ₂(K)) ⇒ (G₂)^{」のみ示せば良い．}

Φ(s) := P_s(Γ (P_t−sf, P_t−sf ))

• Φ(0) = Γ(P_tf, P_tf ), Φ(t) = P_t(Γ(f, f ))

• (Γ₂(K)) ⇒ Φ⁰(s) ≥ 2KΦ(s)

⇒ Φ(0) ≤ e^−2KtΦ(t)

命題

(G₂) ⇔ (Γ₂(K))

“^証明”

「(Γ₂(K)) ⇒ (G₂)^{」のみ示せば良い．}

Φ(s) := P_s(Γ (P_t−sf, P_t−sf ))

• Φ(0) = Γ(P_tf, P_tf ), Φ(t) = P_t(Γ(f, f ))

• (Γ₂(K)) ⇒ Φ⁰(s) ≥ 2KΦ(s)

⇒ Φ(0) ≤ e^−2KtΦ(t)

つまり，時間変数 t ^{に関して，}

微分⇒

(G₂) (Γ₂(K))

⇐ 積分

注

• (∫G₂) ^の weak formulation:

gΓ(P_tf, P_tf )dµ

≤ e^−2Kt

∫

gP_t(Γ(f, f ))dµ

(∀g ≥ 0: “nice” test function) に依れば，弱い仮定で厳密に証明可能

[cf. Gigli-K.-Ohta ’10, Theorem 4.8]

• ^{この議論に，}Γ ^や L ^の derivation property (or (E, F) ^の strong locality) ^は不要

Γ₂ ^の計算例

(i) V : RRR^m → RRR, L = ∆ − ∇V · ∇ on RRR^m Γ(f, f ) = |∇f |²,

Γ₂(f, f ) = k Hess f k^HS

+ Hess V (∇f, ∇f )

⇒ Γ₂(K) ⇔ Hess V ≥ K

特に，Ornstein-Uhlenbeck ^{過程の場合：}

L = ∆ − Kx · ∇ (↔ V (x) = K

2 |x|²)

⇒ (Γ₂(K))

Γ₂ ^の計算例

(i) V : RRR^m → RRR, L = ∆ − ∇V · ∇ on RRR^m Γ(f, f ) = |∇f |²,

Γ₂(f, f ) = k Hess f k^HS

+ Hess V (∇f, ∇f )

⇒ Γ₂(K) ⇔ Hess V ≥ K

特に，Ornstein-Uhlenbeck ^{過程の場合：}

L = ∆ − Kx · ∇ (↔ V (x) = K

2 |x|²)

⇒ (Γ₂(K))

Γ₂ ^の計算例

(i) V : RRR^m → RRR, L = ∆ − ∇V · ∇ on RRR^m Γ(f, f ) = |∇f |²,

Γ₂(f, f ) = k Hess f k^HS

+ Hess V (∇f, ∇f )

⇒ Γ₂(K) ⇔ Hess V ≥ K

特に，Ornstein-Uhlenbeck ^{過程の場合：}

L = ∆ − Kx · ∇ (↔ V (x) = K

2 |x|²)

⇒ (Γ₂(K))

(ii) L = ∆ on a Riemannian manifold Γ₂(f, f) = 1

2

(∆(|∇f |²) − 2h∇f, ∇∆f i)

= k Hess f k^HS + Ric(∇f, ∇f ) (Bochner-Weitzenb¨ock ^の公式)

⇒ (Γ₂(K)) ⇔ Ric ≥ K

F ^{微分幾何で「}Ric ≥ K^{」から従う事の多く} は，(Γ₂(K)) ^からも (^{抽象的な枠組で}) ^従う

(ii) L = ∆ on a Riemannian manifold Γ₂(f, f) = 1

2

(∆(|∇f |²) − 2h∇f, ∇∆f i)

= k Hess f k^HS + Ric(∇f, ∇f ) (Bochner-Weitzenb¨ock ^の公式)

⇒ (Γ₂(K)) ⇔ Ric ≥ K

F ^{微分幾何で「}Ric ≥ K^{」から従う事の多く} は，(Γ₂(K)) ^からも (^{抽象的な枠組で}) ^従う

(ii) L = ∆ on a Riemannian manifold Γ₂(f, f) = 1

2

(∆(|∇f |²) − 2h∇f, ∇∆f i)

= k Hess f k^HS + Ric(∇f, ∇f ) (Bochner-Weitzenb¨ock ^の公式)

⇒ (Γ₂(K)) ⇔ Ric ≥ K

F ^{微分幾何で「}Ric ≥ K^{」から従う事の多く} は，(Γ₂(K)) ^からも (^{抽象的な枠組で}) ^従う

(G₂) ^の応用

• Poincar´e inequality (for P_t)

P_t(f ²)−(P_tf )² ≤ 1 − e^−2Kt

K P_t(Γ(f, f ))

• Reversed Poincar´e inequality (for P_t) P_t(f ²) − (P_tf )² ≥ e^2Kt − 1

K Γ(P_tf, P_tf ) (

⇒ |∇P_tf | ≤

√

K

e^2Kt − 1 osc f )

証明

Ψ(s) := P_s((P_t−sf )²)

• Ψ(0) = (P_tf )², Ψ(t) = P_t(f ²)

• Ψ⁰(s) = 2P_s(Γ(P_t−sf, P_t−sf )) By (G₂),

† Ψ⁰(s) ≤ 2e^−2K(t−s)P_sP_t−s(Γ(f, f ))

† Ψ⁰(s) ≥ 2e^2KsΓ(P_sP_t−sf, P_sP_t−sf )

⇒ conclusion by integration in s

注

• ^{形式的には，}

Poincar´e or rev. Poincar´e ineq. ⇒ (Γ₂(K)) (^両辺を t = 0 ^で 2 ^次まで Taylor ^展開)

• ^{これらの議論には，}Γ ^および L ^の derivation property ^は不要

条件 (G₁) ^について

• ^{強い仮定 のもと，} (Γ₂(K)) ⇒ (G₁) ∃C ⊂ Dom(L) dense s.t.

◦ C は積で閉じている線形空間

◦ P_tC ⊂ C, LC ⊂ C

◦ ∀ϕ: C^∞(RRR), f ∈ C ⇒ ϕ(f ) ∈ C

• (G₁) ⇒ log-Sobolev ineq. (for P_t):

P_t(f ² log f ²) − P_t(f ²) log(P_t(f ²))

≤ 2(1 − e^−2Kt)

K P_t(Γ(f, f))

Derivation property

ϕ ∈ C²(RRR), ϕ(0) = 0

• f ∈ Dom(L)

⇒ ϕ(f ) ∈ Dom(f ),

L(ϕ(f )) = ϕ⁰(f )Lf + ϕ⁰⁰(f )Γ(f, f )

• f ∈ Dom(Γ)

⇒ ϕ(f ) ∈ Dom(Γ),

Γ(ϕ(f ), g) = ϕ⁰(f )Γ(f, g)

Proof of ^「(G₁) ⇒ log-Sobolev^」 (P_t: Markov ^は仮定)

Ψ(s) := P_s(ϕ(P_t−sf )) (ϕ ∈ C²(RRR))

⇒ By the derivation property,

Ψ⁰(s) = P_s(ϕ⁰⁰(P_s−tf )Γ(P_s−tf, P_s−tf ))

• ϕ(u) := u log u ⇒ ϕ⁰⁰(u) = 1

⇒ Goal: For f ≥ 0, u

Ψ⁰(s) ≤ 4e^−2K(t−s)P_t(Γ(√

f , √

f ))

By (G₁) & Schwarz ineq. for (g, h) 7→ P_t−s(gh), Ψ⁰(s) = P_s

( Γ(P_t−sf, P_t−sf ) P_t−sf

)

≤ e^−2K(t−s)P_s



 (

P_t−s(√

Γ(f, f))

)2

P_t−sf





≤ e^−2K(t−s)P_sP_t−s





√

Γ(f, f) f

2



= 4e^−2K(t−s)P_t (

Γ(√

f , √

f )

)

大域的 Poincar´e/log-Sobolev もし，K > 0 & lim

t→∞ P_tf ≡

∫

f dµ ^ならば，

P_t(f ²) − (P_tf )² ≤ 1 − e^−2Kt

K P_t(Γ(f, f ))

∫ ⇓

f ²dµ −

(∫

f dµ

)2

≤ 1 K

∫

Γ(f, f )dµ

大域的 Poincar´e/log-Sobolev もし，K > 0 & lim

t→∞ P_tf ≡

∫

f dµ ^ならば，

P_t(f ² log f ²) − P_t(f ²) log P_t(f ²)

≤ 2(1 − e^−2Kt)

K P_t(Γ(f, f))

∫ ⇓

f ² log f ²dµ −

∫

f ²dµ log

(∫

f ²dµ )

≤ 2 K

∫

Γ(f, f)dµ

(G₁) への確率論的アプローチ · · · ^結合法 例

L := ∆ − ∇V · ∇ on RRR^m l

dX_t^x = √

2dW_t − ∇V (X_t^x)dt, X₀^x = x 仮定: ∀x, y ∈ RRR^m,

(∇V (x) − ∇V (y)) · (x − y) ≥ K|x − y|² (⇑ Hess V ≥ K)

X_t^x, X_t^y: ^前掲の SDE ^の (^共通の W_t ^に対する) ^解

⇓ d(X_t^x − X_t^y) = − (

∇V (X_t^x) − ∇V (X_t^y))

dt

⇓

d|X_t^x − X_t^y|² ≤ −2K|X_t^x − X_t^y|²dt

⇓

|X_t^x − X_t^y|² ≤ e^−2Kt|x − y|²

⇓

|P_tf (x) − P_tf (y)| = |EEE[f (X_t^x) − f (X_t^y)]|

≤ EEE[|∇f |(X_t^x)|X_t^x − X_t^y| + o(|X_t^x − X_t^y|)]

≤ e^−KtEEE[|∇f |(X_t^x)]|x − y| + o(|x − y|)

⇓

|∇P_tf |(x) = lim sup

y→x

|P_tf (x) − P_tf (y)|

|x − y|

≤ e^−KtEEE[|∇f |(X_t^x)]

= e^−KtP_t(|∇f |)(x)

注

• ^{結合法の方法は，}Riemann ^{多様体上や} 無限次元空間上にも拡張されている．

• 設定によっては，解析は単純ではない

(拡散係数が定数でない場合の SDE ^等)^．

• ^{それらの拡張では，}Bakry-´Emery ^の議論

「(Γ₂(K)) ⇒ (G₁)^」

で用いた，強い仮定は要らない．

2. Wasserstein ^距離の Lipschitz ^{型評価との}

双対性

(X, d): ^{ポーランド空間}, d: ^測地距離

• d˜: X 上の連続な測地距離関数 (^例: d˜ = e^−Ktd)

• (P (x, ·))_x∈X ⊂ P(X): Markov ^核 P f(x) :=

∫

X

f (y) dP (x, dy), P ^∗µ(A) :=

∫

X

P (x, A)µ(dx) (^例: P (x, dy) = p_t(x, dy) ^推移確率)

L^p-Wasserstein ^距離

For p ∈ [1, ∞], µ, ν ∈ P(X) W_d,p(µ, ν) := inf

π∈Π(µ,ν) kdk^Lp(π) ∈ [0, ∞], Π(µ, ν) ⊂ P(X × X),

Π(µ, ν) :=



π

π(A × X) = µ(A), π(X × A) = ν(A)



 ((µ, ν) ^{のカップリング全体})

“^微分”|∇f |

|∇^df |(x) := lim sup

y→x

f (x) − f (y) d(x, y)

, k∇^df k_∞ := sup

x∈X |∇^df |(x)

• |∇^df |(x): x ^での d-^局所 Lipschitz ^定数

• k∇^df k_∞: d-Lipschitz ^定数, i.e.

|f (x) − f (y)| ≤ k∇^df k_∞d(x, y)

W_d,q(P ^∗µ, P ^∗ν) ≤ W_d,q˜ (µ, ν) (W_q)

|∇_d^˜P f |(x) ≤ P (|∇^df |^p)(x)^1/p (G⁰_p) (µ, ν ∈ P(X), f ∈ C_b^Lip(X))

For p, q ∈ [1, ∞] with 1

p + 1

q = 1, (W_q) ⇔ (G⁰_p)

定理[cf. K. ’10]

注

• For p⁰ < p,

(G⁰_p0) ⇒ (G⁰_p) and (W_q⁰ ) ⇒ (W_q)

• (W₁) ⇔ (G⁰_∞) ^は既知

(Kantorovich-Rubinstein formula ^による)

• (W_∞) ⇒ (G⁰₁) ^は (^本質的に) ^既知 (^結合法)

• [K. ’10] で課していた，技術的な仮定は不要

証明の概略

(for p, q ∈ (1, ∞))

[A] (W_q) ⇒ (G⁰_p):

W_d,q(P ^∗µ, P ^∗ν) ≤ W_d,q˜ (µ, ν) (W_q)

|∇_d^˜P f |(x) ≤ P (|∇^df |^p)(x)^1/p (G⁰_p) Goal:

|P f(x) − P f(y)|

≤ P (|∇^df |^p)(x)^1/pd(x, y˜ ) + o( ˜d(x, y)) π: W_d,p(P ^∗δ_x, P ^∗δ_y) ^の minimizer ^とする

P f(x) − P f(y)

=

∫

X

f dP ^∗δ_x −

∫

X

f dP ^∗δ_y

=

∫

X×X

(f (z) − f (w))π(dzdw)

=

∫

X×X

1_{d≤r}( )π(dzdw) +

∫

X×X

1_{d>r}( )π(dzdw)

= (I) + (II)

G_rf (z) := sup

d(w,z)≤r

|f (z) − f (w)| d(z, w)

⇓ (I) ≤

∫

X×X

G_rf (z)d(z, w)π(dzdw)

≤ P (|G_rf |^p)(x)^1/pW_d,q(P ^∗δ_x, P ^∗δ_y) (W_q) ≤ P (|G_rf |^p)(x)^1/pd(x, y˜ )

= P (|∇^df |^p)(x)^1/pd(x, y˜ ) + o( ˜d(x, y)) if r = o(1) as d(x, y˜ ) → 0

(II) ≤ 2kf k_∞π(d > r)

≤ 1

r^q W_d,q(P ^∗δ_x, P ^∗δ_y)^q

≤

( d(x, y˜ ) r

)q

= o( ˜d(x, y)) for a suitable choice of r

(i.e. d(x, y˜ )^1/p = o(r)) //

[B] (G⁰_p) ⇒ (W_q):

|∇_d^˜P f |(x) ≤ P (|∇^df |^p)(x)^1/p (G⁰_p) W_d,q(P ^∗µ, P ^∗ν) ≤ W_d,q˜ (µ, ν) (W_q)

• (W_q) ^を µ = δ_x, ν = δ_y ^{の場合のみ示す}

⇒ Goal: 1

q W_d,q(P ^∗δ_x, P ^∗δ_y)^q ≤ 1 q

d(x, y˜ )^q

[B] (G⁰_p) ⇒ (W_q):

|∇_d^˜P f |(x) ≤ P (|∇^df |^p)(x)^1/p (G⁰_p) W_d,q(P ^∗µ, P ^∗ν) ≤ W_d,q˜ (µ, ν) (W_q)

• (W_q) ^を µ = δ_x, ν = δ_y ^{の場合のみ示す}

⇒ Goal: 1

q W_d,q(P ^∗δ_x, P ^∗δ_y)^q ≤ 1 q

d(x, y˜ )^q