PDF ルベーグ積分論 (Lebesgue Integral Theory) 速習講座

ルベーグ積分論 (Lebesgue Integral Theory) 速習講座

Riemann 積分はある関数の定義域(主に有界閉区間 [a, b])を分割して,その分割に対する上限和と下 限和を考え,任意の分割に対して,その分割を細かくしたときに,上の二つの和の差が0 に収束する場合に 定義される.

このRiemann 積分が有界閉区間上の連続関数に対して定義されることは良く知られている. さらに連

続関数列が一様収束するなら, その極限関数も連続で, 有界閉区間上,その極限関数の積分と元の関数列の 積分の極限が等しくなることも良く知られている. (積分と極限の交換可能定理)

しかし実際の計算において,この交換定理はあまり使い勝手が宜しく無い！(条件が厳しすぎてなかなか 成り立つ場合が少ない. )

そこで登場するのがLebesgue積分である. Riemann 積分の発想を逆転し,適当な関数に対し,値域の 方を分割して,積分の近似和を考え,その分割を細かくしたときの極限として定義したものがLebesgue積 分である. しかし,このとき,関数が連続なら,値域を分割したときに現れる定義域の中の集合はいくつか の区間の和となり, その長さは分かるが,関数をできるだけ一般にしようとした途端,定義域に現れる集合 の長さが測れるかという問題が生じる. その問題を解決した理論が測度論 (measure theory)であり,簡 単に言えば,都合の良い集合の集まり(集合族)を考え,それらに対して「長さ」という概念がうまく定義で きるという理論である. 専門的に言えば,σ-集合体(σ-field)と呼ばれる集合族の上に測度(measure)と いう集合関数の一種が定義され,その値が「長さ」であると. これにより上に述べた積分が定義され,それ を一般にLebesgue積分と呼ぶ.

この測度という概念はかなり一般に定義でき,それにより,確率論 (probability theory)においても, 事象 (event)の確率を測るものという意味で, (確率測度 (probability measure)が)導入され,非常に 深い関わりを持つようになった.

問 上の初めの二段落で述べている事柄(定義,定理,あるいはその証明など)について,自分で分からな いことは全て調べよ. (最低,次の問にはすぐに答えられるように.)

1.次の定義を調べて,正確に述べよ.

(1)区間[a, b]の分割, (2)その区間で定義された関数f(x)の分割に対する上限和S() =S(f;), 下限和s() =s(f;).

(4)関数f(x) の区間[a, b]でのRiemann積分 _b

a

f(x)dx.

2.有界閉区間上の連続関数がRiemann積分可能であることを示せ.

[f: conti. on [a, b]⇒ _b

a

f(x)dx is well-defined.]

3.連続関数列が一様収束するなら,その極限関数も連続であることを示せ.

[f_n: conti.,f_n →→f onI ⇒f: conti. onI.]

4.有界閉区間上,一様収束極限関数の積分と元の関数列の積分の極限が等しくなることを示せ.

[f_n: conti.,f_n →→f on [a, b]⇒ lim

n→∞

_b

a

f_ndx= _b

a

f dx.

1 可測集合と測度 (Measurable sets and Measures)

[定義] 集合X の部分集合族 F が

  (1)∅ ∈ F (2)A∈ F ⇒A^c∈ F (3)A₁, A₂,· · · ∈ F ⇒_∞

n=1A_n∈ F をみたすときσ-集合体(σ-field)またはσ-加法族という．ちなみに(3)より弱い条件   (3)A, B∈ F ⇒A∪B∈ F

をみたすときは, 単に,集合体または加法族という．明らかにσ-集合体は集合体である．

 かってな部分集合族Aに対しそれを含む最小のσ-fieldが存在する．それを σ(A)で表し，Aで生 成されるσ-fieldと呼ぶ．またF がσ-fieldのとき，(X,F)を可測空間(measurable space),F の 元を可測集合(measurable set)という．

 {∅, X},{∅, A, A^c, X} (A はX の任意の部分集合), 2^X (全部分集合族)などはすべてσ-field であ る(→確かめよ)．

1.σ-集合体は可算個の集合演算に関して閉じていることを示せ. 即ち,

F をσ-集合体とし，A, B, A_n ∈ F とする．次もF に属することを示せ．

X, A∩B, A\B, AB:= (A\B)∪(B\A), ∞ n=1

A_n, ∞ n=1

A_n.

これからlimA_n= lim supA_n :=

N≥1

n≥N

A_n, limA_n = lim infA_n :=

N≥1

n≥N

A_n∈ F も分かる.

(lim = inf sup, lim = sup infと覚えると良い.)

[定義] (X,F)を可測空間とする．集合関数µ=µ(dx) :F →[0,∞]が測度(measure)であるとは   (1)µ(∅) = 0

  (2)A₁, A₂,· · · ∈ F が互いに素(disjoint, i.e.,A_i∩A_j=∅ifi=j)ならば µ(

∞ n=1

A_n) = ∞ n=1

µ(A_n) (σ-加法性)

をみたすときをいう．このとき(X,F, µ)を測度空間(measure space)と呼ぶ．

[定義] Xが位相空間のとき，開集合の全体Oから生成されるσ-fieldσ(O)をBorel fieldと呼びB=B(X) で表す．特にX =Rⁿ のときBⁿ=B(Rⁿ)を n次元 Borel fieldという．

2.X=Rとし,C をその閉集合の全体とする．このときB¹=σ(C) を示せ．

以下(X,F, µ)を measure spaceとする．

3.A, B, A_n∈ F とする．次を示せ．

(a)A⊂B⇒µ(A)≤µ(B) (単調性)

(b)A⊂B, µ(A)<∞=⇒µ(B\A) =µ(B)−µ(A) (c)µ(

nA_n)≤

nµ(A_n) (σ-劣加法性) (d)A_n ↑ =⇒µ(

nA_n) = lim_nµ(A_n) (e)A_n ↓,^∃N ≥1;µ(A_N)<∞=⇒µ(

nA_n) = lim_nµ(A_n) (f)µ(lim inf_nA_n)≤lim inf_nµ(A_n)

(g)

nµ(A_n)<∞=⇒µ(lim sup_nA_n) = 0 (Borel-Cantelli の補題).

[定義] (X,F, µ)を測度空間とする．µ(X)<∞のとき，有限測度(finite measure)といい，特にµ(X) = 1 のとき確率測度(probability measure)という．また µ(X) = ∞ であっても^∃A₁, A₂,· · · ∈ F; µ(A_n)<∞(^∀n)かつ_∞

n=1A_n=X のときµはσ-有限測度(σ-finite measure)であるという．

[注意] 慣習としてµが確率(測度)のとき，(X,F, µ)を(Ω,F, P)と表し，確率空間という．またω∈Ω, P =P(dω)と表し，F の元を事象(event)と呼ぶ．

2 測度空間の例 (Examples of Measure Spaces)

測度空間の例(X,F, µ)を挙げておく.

例 1 Lebesgue測度(Lebesgue measure) X = Rⁿ,F = Bⁿ とする．このとき A = _n

k=1(a_k, b_k] (−∞ ≤ a_k ≤ b_k ≤ ∞) に対し，µ(A) = _n

k=1(b_k−a_k)を満たす測度µ が存在する．これを Lebesgue 測度といい，記号で| · | や dx また m=m(dx)などと表す．

例 2 計数測度(counting measure)

X：任意の集合，F = 2^X とし，µ(A) =A(Aの元の個数) ifAis a finite set,µ(A) =∞if otherwise 例 3 δ-測度(Dirac measure)

X：任意の集合，F = 2^X とし，x∈X を任意に固定する．µ(A) = 1 ifx∈A,µ(A) = 0 ifx /∈X こ のときµ=δ_x と表す．

例 4 離散測度(discrete measure)

X={x_n}：可算または有限集合，F = 2^X とする．µ=

np_nδ_xn (p_n >0) 確率空間(Ω,F, P)の例を挙げておく．

離散型確率空間  p_k =P({k})とおく(→P =

kp_kδ_k) 例 5 二項分布  Ω ={0,1,2,· · ·, n},0< p <1

p_k= n k

p^k(1−p)^n−k, k = 0,1,2,· · ·, n.

例 6 Poisson 分布 Ω ={0,1,2,· · ·}, λ >0 p_k =e^−λλ^k

k!, k= 0,1,2,· · ·. 例 7 幾何分布  Ω =N,0< p <1

p_k=p(1−p)^k−1, k= 1,2,· · ·. 連続型確率空間

例 8 一様分布  Ω = (a, b),F=B¹(a, b)

P(A) =|A|/(b−a).

但し−∞< a < b <∞

例 9 Cauchy分布  Ω =R¹,F=B¹ P(A) =

A

a π

1

a²+ (x−m)²dx.

但しm∈R, a >0

例 10 正規分布 N(m, v) Ω =R¹,F=B¹ P(A) =

A

√1

2πv exp

−−(x−m)² 2v

dx.

但しm∈R(平均), v >0 (分散)

例 11 d 次元正規分布 N(m,v) Ω =R^d,F =B^d P(A) =

A

√detQ (2π)^d/2exp

−1

2(x−m)Q^t(x−m)

dx.

但しm∈R^d,v: 正値対称d×d行列, Q=v⁻¹ 1.上の確率の例すべてに対し，P(Ω) = 1を確かめよ.

3 可測関数 (Measurable Functions)

[定義] (X,F)を可測空間とし,R=R∪ {+∞,−∞}とおく. f :X →Rが次をみたすとき,F-可測(関 数)であるという：{f ≤a}:={x∈X :f(x)≤a} ∈ F (^∀a∈R).

特に(X,F) = (R,B)のときf :R→RはBorel-可測(関数),またはBorel関数であるという.

1.f :X →R に対して次は同値であることを示せ：

 (1) f はF-可測 (2) {f > a} ∈ F (^∀a∈R) (3) {f ≥a} ∈ F (^∀a∈R)  (4) {f < a} ∈ F (^∀a∈R)

2.上で条件[^∀a∈R]を [^∀a∈Q]と置き換えられることを示せ.

3.f, g, f_n (n= 1,2,· · ·)が F-可測なら,次の関数も(定義されれば)そうであることを示せ： α∈Rと する.

 (1) αf (2) f +g (3) f g (4) 1/f (5) |f| (6) sup_n≥1f_n (7) inf_n≥1f_n  (8) lim sup_n→∞f_n (9) lim inf_n→∞f_n (10) lim_n→∞f_n

4.f, g が F-可測なら, √

f , f ∨g, f ∧g も(定義されれば)そうであることを示せ. 但しf ∨g(x) = max{f(x), g(x)},f ∧g(x) = min{f(x), g(x)}.

5.連続関数はBorel関数であることを示せ.

[定義] (1)A⊂X に対し1_A(x) = 1 (x∈A), 0 (x /∈A)と定義し, 1_A (=I_A(x)と表したりもする)をA の定義関数(defining function)という.

 (2)f :X →Rに対し,a₁,· · ·, a_n∈Rと X の有限可測分割{A₁,· · ·, A_n}が存在し, f(x) =

n k=1

a_k1_Ak(x) = n k=1

a_kI_Ak(x) と表せるときf は単関数(simple function)と呼ばれる.

[補題] 任意の非負可測関数f :X →[0,+∞]に対して非負単関数の増加列{f_n}が存在してf = lim_n→∞f_n をみたす.

6.実際,次で与えられることを示せ.

f_n(x) =

2²ⁿ−1 k=0

k

2ⁿI_[k/2n,(k+1)/2ⁿ)(f(x)) + 2ⁿI_[2n,∞](f(x)).

4 Lebesgue 積分 (Lebesgue Integrals)

測度空間(X,F, µ)上で可測関数f =f(x)の積分

f dµ=

X

f dµ=

X

f(x)µ(dx)を定義していく.

[定義] 非負単関数f =_n

i=1a_i1_Ai に対して，その積分を次で定義する:

f dµ=

X

f dµ=

X

f(x)µ(dx) :=

n i=1

a_iµ(A_i).

この定義は well-defined， 即ち f の表現に依存しない. (見かけに惑わされない！別の表現 f = _m

j=1b_j1_Bj を持つとしても n i=1

a_iµ(A_i) = m j=1

b_jµ(B_j)が成り立つ. 共通の分割{C_i,j:=A_i∩B_j}を 考えれば良い. 次のことも分かる)

[命題] 非負単関数f, gに対し次の(1)(2)線形性, (3)非負性が成り立つ.

(1)

(f+g)dµ=

f dµ+

gdµ (2)α≥0⇒

αf dµ=α

f dµ(3)f ≥g⇒

f dµ≥

gdµ.

[定義] 非負可測関数f に対して，{f_n}を非負単関数の増加列で，f = lim_n→∞f_n なるものとする. この とき次のように定義する.

f dµ:= lim

n→∞

f_ndµ.

[補題] 上の定義はwell-defined，即ち,近似列{f_n} の選び方に依存しない.

証明は非負単関数g= m j=1

b_j1Bj；g≤f⇒

gdµ≤ lim

n→∞

f_ndµを示せば十分で，

gdµ=∞と

gdµ <∞

とに分けて示す. ^各々∃j;b_j>0, µ(B_j) =∞,µ(g >0)<∞^{となることに注意して}, 0<^∀(< b_j),A_n={f_n>

g+}(↑X) (^とA={g >0})^{に制限して考える}.

1.f :X →Rに対し，f⁺:=f∨0,f⁻ :=−(f∧0) とおく. f =f⁺−f⁻,|f|=f⁺+f⁻ を示せ.

[定義] f :X →Rを F-可測関数とする.

f⁺dµ,

f⁻dµのいずれか一方が有限のとき，f の積分は定

義されるといい，

f dµ:=

f⁺dµ−

f⁻dµ とする. また

f⁺dµ,

f⁻dµのいずれもが有限のとき，f は積分可能または可積分(integrable) であるという.

2.可測関数f に対し，次を示せ.

|f|dµ=

f⁺dµ+

f⁻dµ

((ヒント) 非負可測関数に対し, 和の積分が別れることを単関数からの近似で示せば良い.) このことより可測関数f に対し，f: integrable⇐⇒

|f|dµ <∞がわかる.

[定義] f 可測関数,A∈ F とする. 可測関数1_Af の積分が定義されるとき，f のA 上の積分を

A

f dµ:=

1_Af dµ で定める．また次の関数空間の元をL¹-関数(L¹-function)と呼ぶ.

L¹=L¹(X,F, µ) :=

f;f は(X,F, µ)で可積分,i.e.,

|f|dµ <∞

(L¹=L¹(X) =L¹(dµ) =L¹(X, dµ)などと表したりもする.)

積分の簡単な性質を述べる. 以下,f, gは積分が定義されるものとする.

ここで「f=g,µ-a.e.^{」などと表したときは}µ(f=g) = 0^{を意味する}. (a.e.=almost everywhere^の略で,^殆ど 到るところ成り立つということ. 成り立たないところの測度は0ということ.)

3.次の積分の性質を示せ. (厳密に示すのはかなり大変であろうから,認めて先へ進んでも良いが, (5) (6) (7)は考えて見るだけでも価値はある！？(8), (9) は良く用いる. (10)は事実として頭の片隅に！) (1)A∈ F, µ(A) = 0 =⇒

A

f dµ= 0 (2)

af dµ=a

f dµ (^∀a∈R) (3)f, g∈L¹(X,F, µ) =⇒

(f+g)dµ=

f dµ+

gdµ

(4)f ≤g, µ-a.e. =⇒

f dµ≤

gdµ特にf =g, µ-a.e. =⇒

f dµ=

gdµ

(5)f ≥0, µ-a.e. かつ

f dµ= 0 =⇒f = 0, µ-a.e.

(6)

A

f dµ= 0 (^∀A∈ F) =⇒f = 0, µ-a.e.

(7)f ∈L¹(X,F, µ) =⇒ |f|<∞, µ-a.e.

(8)g∈L¹(X,F, µ)かつ|f| ≤g, µ-a.e. =⇒f ∈L¹(X,F, µ) (9)

f dµ

≤

|f|dµ

(10)f = Ref+iImf :X →C (複素数値，i=√

−1)でRef, Imf ともに可積分のときf も可積分で あるといい，

f dµ=

Ref dµ+i

Imf dµと定義する. このとき上に挙げた性質はすべてみた

されることを示せ．

(ヒント)(1)^から(3)はまず非負単関数に対して示し,^{非負可測関数},可測関数の場合に言及する. (2)^はa≥0, a=−1の順に示し,a <0のときは前のことから示せる. (3)で可測関数の場合に次を用いる：

(f+g)⁺+f⁻+g⁻= (f+g)⁻+f⁺+g⁺ (4)f≤g (µ-a.e. ^なし)^のときは

f dµ >−∞^かつ

gdµ <∞^{のときを示せば十分で},^しかも(3)^よりf= 0 として考えて良いことを言えば殆ど明らか. f≤g, µ-a.e. ^のときはA:={f ≤g}^とおいて(1), (3)^を用いる.

(5)A_n:={f≥1/n}とおいて,背理法で示す.

(6)A:={f≥0}^よりf⁺= 0, µ-a.e. ^をいう. f⁻の方も同様. (7)対偶を示す.

5 収束定理 (Convergence Theorems)

ここではf, f₁, f₂,· · ·をある測度空間(X,F, µ)上の可測関数とする．

µ(lim_nf_n = f) = 0 のとき f_n は f に概収束するといい，f_n → f, µ-a.e. と表す．(a.e. は almost everywhereの略で，ちなみに確率論ではµ=P としてP-a.s. と表し，a.s. はalmost surely の略．)

1.一般にf_n→f, µ-a.e. であっても，

f_ndµ→

f dµが成り立つとは限らないが，その例を作れ．

(ヒント) X = (0,1),F=B(0,1), µ(dx) =dxとして，f_n↓0 (各点収束)かつ

f_ndx= 1なるも のを作れば良い．

2.以下の各定理,補題の証明を自分なりに厳密にフォローせよ. (単調収束定理,ファトウの補題, ルベー グの収束定理)

[定理] [単調収束定理 (Monotone Convergence Theorem)] 

[0≤f₁≤f₂≤ · · ·かつf_n→f (n→ ∞)],µ-a.e. ならば

f dµ= lim

n→∞

f_ndµ.

(証明) f_n 単関数なら定義より明らか. “≤” を示せばよい．各 f_n に対し，非負単調増加単関数 列 {f_n,k}^∞_k=1; lim_k→∞f_n,k = f_n が存在する．g_k := sup{f_n,k : n ≤ k}, g := lim_k→∞g_k とおくと，

n≤k⇒f_n,k ≤g_k ≤f_k ≤f よりk→ ∞, n→ ∞ とすれば，g=f を得て,g_k が単関数であること から逆の不等式が得られる．

[補題] [Fatou の補題 (Fatou’s Lemma)] f_n≥0, µ-a.e. (n= 1,2,· · ·)であれば

lim inf

n→∞ f_ndµ≤lim inf

n→∞

f_ndµ.

(証明) g_n:= inf{f_k:k≥n}に対してＭＣＴを用いれば良い．

[定理] [Lebesgueの収束定理 (Lebesgue’s Convergence Theorem)] 

h ∈ L¹(X,F, µ) が存在して，[|f_n| ≤ h (n = 1,2,· · ·) かつ f_n → f (n → ∞)], µ-a.e. ならば，

f ∈L¹(X,F, µ)で

f dµ= lim

n→∞

f_ndµ.

この定理は正確にはLebesgueの優収束定理(Dominated Convergence Theorem)という．特に µ(X)<∞でhが定数としてとれるときにはLebesgueの有界収束定理(Bounded Convergence Theorem)という．

(証明) −h≤f_n≤h, µ-a.e. に注意してf_n+hとh−f_n に対してFatou’s lemmaを用いれば良い．

3.µ(dx): a finite measure on (R,B)とするとi=√

−1に対し，lim

n→∞

Re^ix/nµ(dx) =µ(R)となるこ とを説明せよ．

4.f ∈L¹([0,∞),B([0,∞)), dx)とt≥0に対し，L(t) :=

[0,∞)

e^−txf(x)dx とおくと，連続関数となる ことを示せ． (ヒント) ^∀t≥0,^∀{t_n} ⊂[0,∞);t_n→t に対し，L(t_n)→L(t)を示せば良い．

5.上の問で更に xf(x) ∈L¹([0,∞),B([0,∞)), dx)ならL(t) は t >0 について C¹ 関数となることを 示せ．

(ヒント) x≥0,0<|h|< t/2 =⇒

e^−(t+h)x−e^−tx h

= x

|h|

_h

0

e^−(t+s)xds

≤xe^−tx/2≤x.

6.µ(dx): a finite measure on (R,B),i=√

−1 とする．z∈Rに対し，F(z) =

e^izxµ(dx)とおくと，

これも連続関数になり，さらにxⁿ∈L¹(R,B, µ)ならCⁿ 関数となることを示せ．

[定理] [積分の絶対連続性 (Absolute Continuity)] f ∈L¹(X,F, µ)に対し，

µ(A)→0 =⇒

A

f dµ→0.

(証明) 

f_n :=

f (|f| ≤n) n (|f|> n) とおくとMCTより

|f|dµ= lim

n→∞

|f_n|dµ を得るから，次の不等式を用いればよい：

A

f dµ ≤

A

|f|dµ=

A

(|f| − |f_n|)dµ+

A

|f_n|dµ≤

X

(|f| − |f_n|)dµ+nµ(A).

Riemann積分とLebesgue積分の関係について述べておく．ここで完備化した測度空間という概念が

必要になるが，それは簡単に言って，(可測でない)零集合も可測となるように拡張したものである．

[定理] 閉区間[a, b]上の有限な関数f がRiemann可積分ならば，Lebesgue測度に関して可積分でその値

は一致する，即ち _b

a

f(x)dx=

[a,b]

f(x)m(dx).

ここで，左辺はRiemann積分，右辺は完備化されたLebesgue測度mによるLebesgue積分とする．

(証明) 区間[a, b]を2ⁿ等分し，その分割に対するRiemann和(Darboux和ともいう)を考える．そ のとき各小区間で上限，下限それぞれに値をとる単関数g_n, h_nの極限を各々g, hすると，h≤f ≤gで，

また収束定理よりそのLebesgue積分はfのRiemann積分と等しくなる．このことよりh=f =g, m- a.e. 従って完備化されたLebesgue測度空間で考えればf も可測でしかも可積分となり求める結果を 得る．

話は全く変わるが次節の補題の証明で必要になる定理を一つ述べておく．

[定義] X のある部分集合族 Mが単調族であるとは[A_n ∈ M ↑ ⇒

nA_n ∈ M] かつ[A_n ∈ M ↓ ⇒

nA_n∈ M] をみたすときをいう．(つまり集合の単調増加・減少に関して閉じている．)

またかってな部分集合族Aに対してA を含む最小の単調族が存在し，それをm(A)で表す．(証明 はσ-field のときと同様である．)

[定理] [単調族定理 (Monotone Class Theorem)] Aが X の集合体ならm(A) =σ(A).

(証明) m(A)が集合体であることを示せば十分．∅ ∈m(A)は明らか．Mc:={A⊂X;A^c∈m(A)} は単調族となりMc⊃m(A). よってA∈m(A)⇒A^c∈m(A). 次にA∈m(A)に対し，MA:={B⊂ X;A∪B ∈m(A)} も単調族で，MA⊃m(A)となることが示せて，A, B∈m(A)⇒A∪B ∈m(A) をえて証明が終わる．まずA∈ A ⇒ A ⊂ MA ⇒m(A)⊂ MA. 次にA∈m(A)なら^∀B ∈ Aに対 し，直前の議論でA, B 逆にしてA∪B∈m(A)→B∈ MA⇒ A ⊂ MA⇒m(A)⊂ MA をえる．

6 直積測度空間 (Product Measure Spaces)

単調収束定理，Lebesgueの収束定理を言葉のみで正確に述べ，それらを用いて次の 1 から3 を示せ．

(例えばFatouの補題なら,「非負可測関数列に対し, それらの積分の下極限は, 下極限関数の積分以上と

なる,つまり下極限関数の積分の方が等しいか,小さい.」と.) 1.f_n≥0, µ-a.e. (n= 1,2,· · ·)ならば

∞ n=1

f_ndµ= ∞ n=1

f_ndµ

2.

∞ n=1

|f_n|dµ <∞ならば ∞ n=1

f_n は可積分で，

∞ n=1

f_ndµ= ∞ n=1

f_ndµ.

3.f ∈L¹(X,F, µ)とする．{A_n} ⊂ F 互いに素なら

_∞

n=1An

f dµ= ∞ n=1

An

f dµ.

まず(X_j,Fj, µ_j) (j= 1,· · ·, n)を測度空間とする．(すぐにσ-有限測度空間に制限する.)

[定義] (1)X₁× · · · ×X_n の部分集合AがA=A₁× · · · ×A_n (A_j ∈ Fj, j= 1,· · ·, n)と表されるとき，

Aは可測長方形であるという．

 (2)F₁⊗ · · · ⊗ Fn:=σ(X₁× · · · ×X_nの可測長方形全体)とおき，(X₁× · · · ×X_n,F₁⊗ · · · ⊗ Fn) を直積可測空間(product measurable space)と呼ぶ．

[定理] µ_j, j= 1,· · ·, nをσ-有限測度とする．このとき(X₁× · · · ×X_n,F1⊗ · · · ⊗ Fn)上に次をみたす測 度µが一意に存在する:

A=A₁× · · · ×A_n (A_j∈ Fj, j= 1,· · ·, n) に対し µ(A) =µ₁(A₁)· · ·µ_n(A_n).

この定理は次の問と補題を用いて証明する．

[定義] 上の測度µを直積測度(product measure)といい，µ=µ₁⊗ · · · ⊗µ_n で表す．また(X₁× · · · × X_n,F1⊗ · · · ⊗ Fn, µ₁⊗ · · · ⊗µ_n)を直積測度空間(product measure space)という．

4. (F₁⊗ F₂)⊗ F₃=F₁⊗ F₂⊗ F₃ を示せ．(即ち，σ(σ(F₁× F₂)× F₃) =σ(F₁× F₂× F₃)) この問により上の定理の証明はn= 2のときに示せば十分である．

そこで(X,F, µ),(Y,G, ν)をσ-有限測度空間とする．A∈ F ⊗ Gに対し，

A_x:={y∈Y : (x, y)∈A}(x∈X), A^y :={x∈X : (x, y)∈A} (y∈Y) とおいて，それぞれAのx-切片,y-切片という．

(X×Y,F ⊗ G)上の可測関数f に対して

f_x:y−→f(x, y) (x∈X), f^y:x−→f(x, y) (y∈Y) とおいて，それぞれf のx-切片,y-切片という．

[補題] µ, ν をσ-有限測度とする．A∈ F ⊗ G に対し，次が成立する：

 (1)各x∈X に対し，A_x∈ G でx−→ν(A_x)はF-可測関数，

 (2)各y∈Y に対し，A^y∈ F でy−→µ(A^y)はG-可測関数，

 (3)

ν(A_x)µ(dx) =

µ(A^y)ν(dy).

5.上の補題において，σ-有限性の条件が必要であることを次の例で確かめよ：

(R,B, µ)をLebesgue測度空間，(R,2^R, ν)を計数測度空間とし，A={(a, a) :a∈R} とすると

R

ν(A_x)µ(dx)=

R

µ(A^y)ν(dy) となるが各辺の値はいくつか？

6.Aを可測長方形の有限和で表される集合の全体とする．次を示せ．

 (1)その元は可測長方形の素な有限和で表される． (2)σ(A) =F ⊗ G.  (3)Aは集合体である.

(補題の証明) 上の問のAの元に対しては明らかに成り立つ．まずµ, ν が有限測度のとき，補題を

みたす集合の全体Mが単調族となることが容易に分かるので単調族定理と上の問よりM ⊃m(A) = σ(A) =F ⊗ G をえる．µ, ν がσ-有限のときは^∃X_n ∈ F ↑X, Y_n∈ G ↑Y; µ(X_n), ν(Y_n)<∞ より X_n×Y_n に制限したところでは成り立つから，単調収束定理よりn→ ∞ としても成り立つ．

(定理の証明) A∈ F ⊗ Gに対し，

µ⊗ν(A) =

ν(A_x)µ(dx) =

µ(A^y)ν(dy)

とおくとこれが求めるものとなる．実際(X×Y,F ⊗ G) 上の測度なることはσ-加法性を調べればよ いが，それは単調収束定理を用いて容易に示せる．一意性はAで一致することから簡単に分かる．

7.µ, ν が(X,F)上のσ-有限測度で，F =σ(A)なる集合体Aがあるとする．A上，µ=ν ならF 上，

µ=ν を示せ．

[定理] [Fubini の定理] (X,F, µ),(Y,G, ν)をσ-有限測度空間とする．

f を F ⊗ G-可測関数とする．このとき f(x, y) のx-切片f_x, y-切片 f^y はそれぞれG-可測関数，F- 可測関数であり，次が成立する：

 (1)f ≥0, µ⊗ν-a.e. とすると x−→

f_xdν はF-可測関数, y−→

f^ydµ は G-可測関数

であり，

f dµ⊗ν=

dµ

f dν=

dν

f dµ.

 (2)f を一般の可測関数とする．このとき

|f|dµ⊗ν,

dµ

|f|dν,

dν

|f|dµ

のうち１つでも有限ならば，その他のものも有限であり，

f dµ⊗ν=

dµ

f dν=

dν

f dµ.

(証明) 前の補題よりf(x, y) = 1_A(x, y) (A∈ F ⊗ G)に対して成り立つことから，後は単関数で近 似して考えていけばよい．

8.２重数列{a_ij} に対して次が成り立つことをFubiniの定理を用いて示せ．

∞ i=1

∞ j=1

|a_ij|<+∞または ∞ j=1

∞ i=1

|a_ij|<+∞=⇒^∞

i=1

∞ j=1

a_ij = ∞ j=1

∞ i=1

a_ij.

9.A, B∈ F ⊗ G とする．殆んど全ての x∈X に対してν(A_x) =ν(B_x)ならば µ⊗ν(A) =µ⊗ν(B) を示せ．

10.f ∈L¹(X,F, µ), g∈L¹(Y,G, ν)に対しf g∈L¹(X×Y,F ⊗ G, µ⊗ν)であり，

X×Y f gdµ⊗ν=

X

f dµ

Y

gdν

となることを示せ．

11.f(x, y) = x²−y²

(x²+y²)² とする．このとき ₁

0

dy ₁

0

f(x, y)dx=−π 4,

₁

0

dx ₁

0

f(x, y)dy= π 4

となるがFubiniの定理に矛盾しないのは何故か？

7 L

^p

- 空間，収束概念 ( L

^p

-spaces, Convergence Notion)

(X,F, µ)を測度空間とし，その上の可測関数の全体をM(X,F, µ)で表す．

[定義] L^p=L^p(X,F, µ),1≤p≤ ∞: L^p-空間 (1) 1≤p <∞のとき，

L^p=L^p(X,F, µ) :={f ∈M(X,F, µ) :fp<∞} (但し，fp:=

|f|^pdµ _1/p

) とおき，f ∈L^p は p乗可積分，またはL^p-関数であるという．

(2)p=∞のとき，

L^∞=L^∞(X,F, µ) :={f ∈M(X,F, µ) :f_∞<∞},

(但し，f∞= ess.sup|f|:= inf{α:|f| ≤α, µ−a.e.}: f の本質的上限)とおき，f ∈L^∞ は本質的 有界関数，または単にL^∞-関数であるという．(このとき|f| ≤ f∞<∞, µ-a.e. となる)

(3)上の · p を L^p-ノルム (norm)といい， · L^p と表すこともある．

[定理] 1≤p≤ ∞,1≤q≤ ∞,1/p+ 1/q= 1とする. 但し,一方が 1のとき,他方は∞と考える.

(1)[H¨olderの不等式] f ∈L^p, g∈L^q ならf g∈L¹ でf g₁≤ fpgq. (2)[Minkowski の不等式] f, g∈L^p に対し, f+gp ≤ fp+gp.

(証明)  いずれもp= 1,∞のときは明らか．1 < p <∞ のときを考える．(1) f g = 0, µ-a.e. な ら明らか．A={f g = 0} に対して µ(A)>0 として考える．log が上に凸より，a, b >0 に対して

1

ploga+1

qlogb≤log a

p+ b q

, i.e.,a^1/pb^1/q≤ a p+b

q 後はa=|f|^p/

A

|f|^pdµ, b=|g|^q/

A

|g|^qdµ を代入し，A上で積分してやればよい．

(2)q=p/(p−1), i.e., 1/p+ 1/q= 1 として

|f+g|^pdµ≤

|f||f+g|^p−1dµ+

|g||f +g|^p−1dµ

において|f+g|^p−1∈L^q であることからHo¨lderの不等式を用いて，さらに1−1/q= 1/pに注意す れば求めるものがえられる．

1.上の証明を確かめよ．

[定理] (L^p, · p) (1 ≤ p ≤ ∞) は µ-a.e. で等しいものを同一視することにより， · p をノルムとし て，Banach 空間(完備なノルム空間) となる．また p= 2 のときにはf, g=

f gdµ によりL² に内積が定義され，(L²,·,·) は Hilbert 空間(完備な内積空間) となる．但し，複素数値のときは f, g=

fgdµ と定義する．

(^{正確には 同値関係}“f ∼g ⇐⇒ f=g,µ-a.e.”^{をいれて，}f∈L^pの同値類[f]∈L^p/∼^に対し，[f]p=fp

でノルムを定義すると(L^p/∼, · p)^がBanach空間となる．しかし実際，扱うときにはこれらを同一視しても あまり問題がないため，単に(L^p, · p)^がBanach空間であるという言い方をすることが多い．)

ちなみにX をK=RorC^{上の線形空間として，} · がその上のノルムであるとは · :X→[0,∞]関数で x, y∈X, a∈Kに対して次をみたすときをいう：

 (1)x= 0 ⇐⇒ x= 0, (2)ax=|a|x, (3)x+y ≤ x+y. このとき(X, · )をノルム空間という

またX 上の点列{x_n}^がCauchy列 lim

m,n→∞x_n−x_m= 0.

Xの任意のCauchy列{xn}が収束するとき, i.e.,^∃x∈X;xn−x →0,Xは· に関して完備(complete) であるといい，このとき(X, · )^をBanach 空間という

また·,·がX 上の内積(inner product)^{であるとは}·,·:X×X→K;

 (1)x, x ≥0, = 0 ⇐⇒ x= 0, (2)x, y=y, x, (3)x, ay+z=ax, y+x, z.

またこのとき(X,·,·)を内積空間という．さらにx=

x, xとおくとノルムとなり，このノルムで完備な ときHilbert^{空間という．}

2. Cauchy列のある部分列が収束すればそれ自身も同じ極限に収束することを示せ．

3. (X, · ) complete ⇐⇒ ^∀{x_n} ⊂X; ∞ n=1

x_n<∞,^∃ ∞ n=1

x_n∈X を示せ．

(ヒント) (⇐){x_n}Cauchy列なら^∃{x_nj};x_nj−x_nj+1<2^−j となり，x_nj が収束することが示 せる．

(定理の証明)  ^∀{f_n} ⊂L^p;

nf_n<∞ に対して^∃f :=

nf_n,µ-a.e. かつ f ∈L^p を示せばよ い．単調収束定理より

∞ k=1

|f_k|

p

= lim

n→∞

n k=1

|f_n|

p

≤ lim

n→∞

n k=1

f_np= ∞ k=1

f_np<∞. よって

n|f_n|<∞,µ-a.e.,これからf =

nf_n はµ-a.e. で存在する．しかも fp=

∞ n=1

f_n p

≤

∞ n=1

|f_n|

p

<∞ よりf ∈L^p をえる．

4.µ(X)<∞のとき, 1≤p < q≤ ∞ に対し,L^p(X,F, µ)⊃L^q(X,F, µ)となることを示せ.

5.f, gを R上の可測関数とする．f とg の畳み込みf∗g;f∗g(x) :=

R

f(x−y)g(y)dy に対し，

(1)f, g∈L¹⇒ f∗g1≤ f1g1, (2)f ∈L¹, g∈L² ⇒ f∗g2≤ f1g2 を示せ．

[定義] (1) 1≤p <∞とする.  f_n, f ∈L^p(X,F, µ)に対しf_n はf にp乗平均収束or L^p-収束する;

f_n →f inL^p lim

n→∞f_n−fp = 0.

(2)f_n, f ∈M(X,F, µ)とする. f_n は f にµ-測度収束する;

f_n→f in µ 任意の >0に対し, lim

n→∞µ(|f_n−f| ≥) = 0.

(確率論では測度収束のことを確率収束といい,µ=P として“inµ”のかわりに“inP”や“in pr.”と かく．)

6.µ有限測度なら“概収束 =⇒ 測度収束”となることを示せ．

7.f_n, f ∈M(X,F, µ)とする. 任意の >0と 1≤p <∞に対し, µ(|f_n−f| ≥)≤ 1

^p

|f_n−f|^pdµ.

を示し, “L^p-収束 =⇒ 測度収束 となることを確かめよ.

8. 0に測度収束してもL¹-収束しない例を挙げよ.

9. 0に測度収束しても 概収束しない例を挙げよ.

(ヒント) 8. [0,1] Lebesgue 測度空間で，平均(積分)値は1 だが，関数が0 にならないところの 長さが0 に収束するもの．9. 同様に定義関数列で0 にならない区間が動き回りながら，その長さは 0に収束するもの．

[定理] (1)ある1≤p≤ ∞に対し，関数列がL^p-収束するなら，測度収束する．逆は一般にいえない．

(2)測度収束するなら，適当な部分列をとれば概収束するようにできる．即ち

f_n →f inµ(n→ ∞) =⇒^∃{f_nk} ⊂ {f_n};f_nk→f, µ-a.e. (k→ ∞).

(証明) (2)µ({|f_nk−f| ≥1/2^k})<1/2^k をみたす部分列がとれるから，Borel-Cantelliの補題(問 題1-3 (g))

µ(A_k)<∞ ⇒µ(lim supA_k) = 0 )からµ(limf_nk =f) = 0 が従う．

10.上の証明を厳密に述べよ．

8 確率論 (Probability Theory)

確率論において測度論の導入は必然であったといえる．例えば，表裏のでる確率が1/2のコインを有限 回(n回)投げる試行においては，どんな表裏の組み合せも(それを根元事象というが)すべて1/2ⁿ の確率 で起こりうるので，それからどんな事象でも確率を計算することはできる．けれど無限に投げ続けるとい う試行を考えた途端，根元事象(表裏の無限の組み合せ)の起こる確率はすべて0 となってしまう．即ち，

根元事象の確率だけですべての事象の確率を測るのは無理ということになる．

しかし実用上は，我々はすべての確率を知る必要は無く，必要な事象についてのみ，分かれば十分であ る．そこで確率が測れる集合だけ集めて，その上で話を展開すればいいということになる．それがまさに 可測集合族(σ-field) であり，その上の確率を測度(確率測度)として考えればいいということになる．

前にも述べたように確率論では(Ω,F, P)で，測度空間にあたる確率空間(probability space)を表し，

A∈ F を事象(event)，P =P(dω)を確率測度(probability measure)または単に確率という．さら にその上の可測関数X =X(ω)を確率変数 (random variable)，その積分を平均値 (mean)または期 待値 (expectation)と呼び，

E[X] :=

XdP =

X(ω)P(dω)

で表す．さらに事象A ∈ F 上の平均を E[X;A] :=E[X1_A] で表す．また分散 (variance)をV(X) :=

E[(X−EX)²] =E[X²]−E[X]² で定義する．

以下では簡単のため，確率変数はすべて実数値として考える．

[定義] (1)確率変数X₁, . . . , X_n が独立 (independent) とは任意のa₁, . . . , a_n∈Rに対し，

P(X₁≤a₁, . . . , X_n≤a_n) =P(X₁≤a₁)· · ·P(X_n≤a_n).

 (2)確率変数X₁, X₂, . . .が独立とは任意のnに対し，X₁, . . . , X_n が独立なときをいう．

[補題] 確率変数X₁, . . . , X_n が独立であることと次は同値：

 (1)任意のA₁, . . . , A_n ∈ Bに対し，

P(X₁∈A₁, . . . , X_n∈A_n) =P(X₁∈A₁)· · ·P(X_n∈A_n).

 (2)任意の有界Borel関数f₁, . . . , f_n に対し，

E[f₁(X₁)· · ·f_n(X_n)] =E[f₁(X₁)]· · ·E[f_n(X_n)].

1.上の補題を証明せよ．

コインを投げ続けていくと表と裏の出る割合が段々1/2に近付くということは経験上(もしくは教え 込まれて) 知っているであろう．これが実は大数の法則と呼ばれるもので，コイン投げは１回１回が 独立な試行で，例えば n回目の試行で確率変数X_n を表が出たら 1，裏が出たら0 と決めるとその

(確率)平均はE[X_n] = 1/2で，n回までに表の出る割合は算術平均 1

n n k=1

X_n で与えられる．試行回 数nを大きくして行ったとき，この算術平均が確率平均に近付くというのが大数の法則である．それ を数学的に正確に述べると次のようになる：

[定理] [大数の法則 (Law of Large Numbers)] 

X₁, X₂, . . .を独立な確率変数で，平均一定 EX_n =m，分散が有界supV(X_n)<∞ であるとする．

このとき次が成り立つ：

n→∞lim 1 n

n k=1

X_k =m, a.s., i.e., P lim

n→∞

1 n

n k=1

(X_k−m) = 0

= 1.