PDF 数理物理及び演習 I B（微積分） 2007.11 - Sophia

数理物理及び演習 I B _{（微積分）} 2007.11.5

9 _{線積分 の解答例}

1

【スカラー場の線積分】

(1) 曲線 Cは媒介変数 t で {(x, y, z) = (2t,5t,3t), 0≤t≤1} と書けるから、

Z

C(x²+ 2y+ 3z³+ 1)ds =

Z 1 0

(2t)²+ 2(5t) + 3(3t)²+ 1|(2,5,3)|dt (1)

=

Z ₁

0(81t³+ 4t²+ 10t+ 1)√

38dt = 331√ 38

12 (2)

(2) 曲線 Cは媒介変数 t で {(x, y) = (−t,1−t), 0≤t≤1} と書けるから、

Z

Cxy³ds =

Z 1

0(−t)(1−t)³|(−1,−1)|dt=√ 2

Z 1

0(t⁴−3t³+ 3t²−t)dt (3)

= −

√2

20 (4)

(3) 曲線 Cは媒介変数 t で {(x, y) = (cost,sint), π/2≤t≤π} と書けるから、

Z

Cxy³ds =

Z _π

π/2costsin³t|(−sint,cost)|dt (5)

=

Z _π

π/2costsin³tdt=

Z ₀

1 z³dz =−1

4 (6)

(4) 曲線 C上で被積分関数は常にゼロだから積分結果もゼロ。

2

【ベクトル場の線積分】

(1) 曲線 C1 は媒介変数 t で {(x, y) = (t,¹₄t²+ 1), 0≤t≤4} と書けるから、

Z

C₁

A₁(r)·dr=

Z 4 0 (t³,(1

4t²+ 1)²)·(1,1 2t)dt =

Z 4 0 ( 1

32t⁵+5 4t³ + t

2)dt = 316

3 (7)

また、曲線 C2 は媒介変数 t で {(x, y) = (t,2√

t+ 1), 0≤t ≤4} と書けるから、

Z

C₂

A₁(r)·dr=

Z ₁

0 (t³,(2√

t+ 1)²)·(1, 1

√t)dt=

Z ₁

0 (t³+ 4√ t+ 1

√t + 4)dt= 316 3 (8) である。始点と終点が同じ２つの曲線で、線積分の結果が一致している。

(2) 問 (1) と同様に計算すると、

Z

C₁

A₂(r)·dr=

Z 4 0 (1

4t²+ 1,−t)·(1,1 2t)dt=

Z 4 0 (1− 1

4t²)dt=−4

3 (9)

Z

C2

A₂(r)·dr=

Z ₄

0 (2√

t+ 1,−t)·(1, 1

√t)dt =

Z ₄

0 (1 +√

t)dt= 28

3 (10)

である。始点と終点が同じ２つの曲線で、線積分の結果が異なっている。

1

3

【曲線の弧長】曲線に沿って1 を線積分すると結果は曲線の長さ(弧長)になる。

(1) L=

Z r₍₀₎ r_(−1),C1ds=

Z ₀

−1|(0,2t,4t)|dt=

Z ₀

−12√

5|t|dt=√

5 (11)

(2) L=

Z r₍₃₎ r_(0),C1ds=

Z ₃

0|(1,2t,2t²)|dt =

Z ₃

0

√1 + 4t²+ 4t⁴dt=

Z ₃

0 (2t²+ 1)dt = 21 (12)

4

【ポテンシャルと線積分】ベクトル場 E(x) の、点 P から Q まで曲線 C に沿った線積 分を考える。曲線 C: は r(t) = (x(t), y(t), z(t)) と媒介変数表示され、点 P, Q はそれぞれ r(t=a), r(t=b) に対応するとする。線積分を以下の様に媒介変数による積分で行う。

Z Q P

E(r)·dr=

Z b

a (Ex(r(t)), Ey(r(t)), Ez(r(t)))· dx dt,dy

dt,dz dt

!

dt (13)

この積分は、ベクトル場E(x)がポテンシャルϕ(x)を持つ事を利用すると、次の様になる。

Z Q P

E(r)·dr = −

Z b a

∂ϕ

∂x,∂ϕ

∂y,∂ϕ

∂z

!

· dx dt,dy

dt,dz dt

!

dt (14)

= −

Z _b

a

∂ϕ

∂x dx dt +∂ϕ

∂y dy

dt + ∂ϕ

∂z dz dt

!

dt (15)

ここで、積分の中はポテンシャル ϕ(r) の t に関する微分^dϕ(_dt^r) である事を使う。

Z _Q

P

E(r)·dr=−

Z _b

a

dϕ(r)

dt dt=−

Z _ϕ(^r_(b))

ϕ(r(a)) dϕ=ϕ(r(a))−ϕ(r(b)) (16) これは、線積分の結果がポテンシャルの始点と終点の値で与えられる事を示している。つま り、この線積分は経路に依らない。

実は、問題2の問(1)で２つの経路の線積分の結果が一致したのは、ベクトル場A₁(r) が、

この問題のE(r) の様に、ポテンシャルを持つベクトル場だからである。

2