微分積分・同演習B - 九州大学（KYUSHU UNIVERSITY）

微分積分・同演習 ^B

新居 俊作

原始関数を求める手法 III

原始関数を求める手法 III

[置換積分 ^II] 以下では、R(u) (or R(u, v) or R(u, v, w)) _を u (or u, v or u, v, w) _の有理式

_多項式 多項式

とする。

は と置く

このとき、

となり、 は の有理関数の積分に

なる。

原始関数を求める手法 III

[置換積分 ^II] 以下では、R(u) (or R(u, v) or R(u, v, w)) _を u (or u, v or u, v, w) _の有理式

_多項式 多項式

とする。

•

Z

R(sin x, cos x, tan x)dx _は tan x

2 = t _と置く このとき、

となり、 は の有理関数の積分に

なる。

原始関数を求める手法 III

[置換積分 ^II] 以下では、R(u) (or R(u, v) or R(u, v, w)) _を u (or u, v or u, v, w) _の有理式

_多項式 多項式

とする。

•

Z

R(sin x, cos x, tan x)dx _は tan x

2 = t _と置く このとき、

sinx = 2t

1 + t², cos x = 1 − t²

1 + t² , tan x = 2t

1 − t² , dx = 2

1 + t²dt は の有理関数の積分に

なる。

原始関数を求める手法 III

[置換積分 ^II] 以下では、R(u) (or R(u, v) or R(u, v, w)) _を u (or u, v or u, v, w) _の有理式

_多項式 多項式

とする。

•

Z

R(sin x, cos x, tan x)dx _は tan x

2 = t _と置く このとき、

sinx = 2t

1 + t², cos x = 1 − t²

1 + t² , tan x = 2t

1 − t² , dx = 2

1 + t²dt Z

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z sin x

1 + cos xdx 解答

と置くと

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z sin x

1 + cos xdx

[解答^] tan x

2 = t _と置くと Z sin x

1 + cos xdx =

Z ^2t

1+t2

1 + ¹₁₊^−t_t²₂ · 2

1 + t² dt

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z sin x

1 + cos xdx

[解答^] tan x

2 = t _と置くと Z sin x

1 + cos xdx =

Z ^2t

1+t2

1 + ¹₁₊^−t_t²₂ · 2

1 + t² dt =

Z 2t

1 + t²dt

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z sin x

1 + cos xdx

[解答^] tan x

2 = t _と置くと Z sin x

1 + cos xdx =

Z ^2t

1+t2

1 + ¹₁₊^−t_t²₂ · 2

1 + t² dt =

Z 2t

1 + t²dt

= log(1 + t²) + C

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z sin x

1 + cos xdx

[解答^] tan x

2 = t _と置くと Z sin x

1 + cos xdx =

Z ^2t

1+t2

1 + ¹₁₊^−t_t²₂ · 2

1 + t² dt =

Z 2t

1 + t²dt

= log(1 + t²) + C = log(1 + tan² x

2) + C

原始関数を求める手法 III

前例の特別な場合：

•

Z

R(sin² x, cos² x, tan² x)dx _は tan x = t _と置く このとき、

となるので、 は の有理関数の

積分になる。

原始関数を求める手法 III

前例の特別な場合：

•

Z

R(sin² x, cos² x, tan² x)dx _は tan x = t _と置く このとき、

sin² x = t²

1 + t² , cos² x = 1

1 + t², tan x = t, dx = 1

1 + t² dt となるので、

は の有理関数の 積分になる。

原始関数を求める手法 III

前例の特別な場合：

•

Z

R(sin² x, cos² x, tan² x)dx _は tan x = t _と置く このとき、

sin² x = t²

1 + t² , cos² x = 1

1 + t², tan x = t, dx = 1

1 + t² dt となるので、 Z

R(sin² x, cos² x, tan² x)dx _は t _{の有理関数の} 積分になる。

原始関数を求める手法 III

•

Z

R(x, √ⁿ

ax + b)dx _は √ⁿ

ax + b = t _と置く このとき、 より

となるので、 は の有理関数の積分に なる。

原始関数を求める手法 III

•

Z

R(x, √ⁿ

ax + b)dx _は √ⁿ

ax + b = t _と置く このとき、ax + b = tⁿ _より

x = tⁿ − b

a , dx = n

atⁿ⁻¹dt となるので、

は の有理関数の積分に なる。

原始関数を求める手法 III

•

Z

R(x, √ⁿ

ax + b)dx _は √ⁿ

ax + b = t _と置く このとき、ax + b = tⁿ _より

x = tⁿ − b

a , dx = n

atⁿ⁻¹dt となるので、 Z

R(x, √ⁿ

ax + b)dx _は t _{の有理関数の積分に} なる。

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z √

x + 1 x dx 解答

と置くと 、 なので

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z √

x + 1 x dx

[解答^]

√x + 1 = t _と置くと x = t² − 1_、dx = 2tdt _なので

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z √

x + 1 x dx

[解答^]

√x + 1 = t _と置くと x = t² − 1_、dx = 2tdt _なので Z √

x + 1

x dx =

Z 2t²

t² − 1dt

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z √

x + 1 x dx

[解答^]

√x + 1 = t _と置くと x = t² − 1_、dx = 2tdt _なので Z √

x + 1

x dx =

Z 2t²

t² − 1dt =

Z

2 + 1

t − 1 − 1 t + 1

dt

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z √

x + 1 x dx

[解答^]

√x + 1 = t _と置くと x = t² − 1_、dx = 2tdt _なので Z √

x + 1

x dx =

Z 2t²

t² − 1dt =

Z

2 + 1

t − 1 − 1 t + 1

dt

= 2t + log |t − 1| − log |t + 1| + C

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z √

x + 1 x dx

[解答^]

√x + 1 = t _と置くと x = t² − 1_、dx = 2tdt _なので Z √

x + 1

x dx =

Z 2t²

t² − 1dt =

Z

2 + 1

t − 1 − 1 t + 1

dt

= 2t + log |t − 1| − log |t + 1| + C = 2t + log

t − 1 t + 1

+ C

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z √

x + 1 x dx

[解答^]

√x + 1 = t _と置くと x = t² − 1_、dx = 2tdt _なので Z √

x + 1

x dx =

Z 2t²

t² − 1dt =

Z

2 + 1

t − 1 − 1 t + 1

dt

= 2t + log |t − 1| − log |t + 1| + C = 2t + log

t − 1 t + 1

+ C

原始関数を求める手法 III

•

Z

R(x, √^m

ax + b, √ⁿ

ax + b)dx _は m _と n _{の最小公倍数} を k _として √^k

ax + b = t _と置く このとき、 より

となるので、 は の有理関数

の積分になる。

原始関数を求める手法 III

•

Z

R(x, √^m

ax + b, √ⁿ

ax + b)dx _は m _と n _{の最小公倍数} を k _として √^k

ax + b = t _と置く このとき、ax + b = t^k _より

x = t^k − b

a , ^m√

ax + b = t^mk , √ⁿ

ax + b = t^nk , dx = k

at^k−1dt となるので、

は の有理関数 の積分になる。

原始関数を求める手法 III

•

Z

R(x, √^m

ax + b, √ⁿ

ax + b)dx _は m _と n _{の最小公倍数} を k _として √^k

ax + b = t _と置く このとき、ax + b = t^k _より

x = t^k − b

a , ^m√

ax + b = t^mk , √ⁿ

ax + b = t^nk , dx = k

at^k−1dt となるので、 Z

R(x, ^m√

ax + b, √ⁿ

ax + b)dx _は t _{の有理関数の} 積分になる。

原始関数を求める手法 III

•

Z

R x, ⁿ

rax + b cx + d

!

dx _は ⁿ

rax + b

cx + d = t _と置く このとき、 より

となるので、 は の有理関数の積分

になる。

原始関数を求める手法 III

•

Z

R x, ⁿ

rax + b cx + d

!

dx _は ⁿ

rax + b

cx + d = t _と置く このとき、ax + b

cx + d = tⁿ _より x = −dtⁿ + b

ctⁿ − a , dx = n(ad − bc)

(ctⁿ − a)² tⁿ⁻¹dt となるので、

は の有理関数の積分 になる。

原始関数を求める手法 III

•

Z

R x, ⁿ

rax + b cx + d

!

dx _は ⁿ

rax + b

cx + d = t _と置く このとき、ax + b

cx + d = tⁿ _より x = −dtⁿ + b

ctⁿ − a , dx = n(ad − bc)

(ctⁿ − a)² tⁿ⁻¹dt となるので、 Z

R x, ⁿ

rax + b cx + d

!

dx _は t _{の有理関数の積分}

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z r

x + 1 x − 1dx 解答

と置くと 、 なので

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z r

x + 1 x − 1dx

[解答^] rx + 1

x − 1 = t _と置くと x = t² + 1

t² − 1^、dx = −4t

(t² − 1)²dt _なので

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z r

x + 1 x − 1dx

[解答^] rx + 1

x − 1 = t _と置くと x = t² + 1

t² − 1^、dx = −4t

(t² − 1)²dt _なので Z r

x+1

x−1dx = Z

t · −4t

(t²−1)² dt

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z r

x + 1 x − 1dx

[解答^] rx + 1

x − 1 = t _と置くと x = t² + 1

t² − 1^、dx = −4t

(t² − 1)²dt _なので Z r

x+1

x−1dx = Z

t · −4t

(t²−1)² dt = − Z

4

1

t²−1 + 1

(t²−1)²

dt

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z r

x + 1 x − 1dx

[解答^] rx + 1

x − 1 = t _と置くと x = t² + 1

t² − 1^、dx = −4t

(t² − 1)²dt _なので Z r

x+1

x−1dx = Z

t · −4t

(t²−1)² dt = − Z

4

1

t²−1 + 1

(t²−1)²

dt

=− Z

2

1

− 1 +

− 1

+ 1

+ 1

+ 1

dt

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z r

x + 1 x − 1dx

[解答^] rx + 1

x − 1 = t _と置くと x = t² + 1

t² − 1^、dx = −4t

(t² − 1)²dt _なので Z r

x+1

x−1dx = Z

t · −4t

(t²−1)² dt = − Z

4

1

t²−1 + 1

(t²−1)²

dt

=− Z

2

1

− 1 +

− 1

+ 1

+ 1

+ 1

dt

原始関数を求める手法 III

[練習問題^] 次の積分を計算せよ。

Z r

x + 1 x − 1dx

[解答^] rx + 1

x − 1 = t _と置くと x = t² + 1

t² − 1^、dx = −4t

(t² − 1)²dt _なので Z r

x+1

x−1dx = Z

t · −4t

(t²−1)² dt = − Z

4

1

t²−1 + 1

(t²−1)²

dt

=− Z

2

1

− 1 +

− 1

+ 1

+ 1

+ 1

dt

宿題

問題集

136 _ページ〜142 _ページ (_{例題と演習} A)