PDF 26. 27. 25. ̸= 0 - 九州大学（Kyushu University）

微分積分学・同演習B(2011年1月17日) http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~shirai/calculus2010/

学籍番号： 氏名：

問題25. (i)関係式F(x, y) = 0 によって陰関数y=f(x)が定まるための条件を述べよ．

(ii) (i)で得られた陰関数y=f(x)をF(x, y) = 0に代入して得られる関係式F(x, f(x)) = 0を xについ て微分することにより，f^′(x)を求めよ．

問題26. 関係式y= 1 +xe^y によってy=f(x)の形で陰関数が定まる点の条件を求めよ．また，そのとき，

dy

dx を計算せよ．また，この関係式が定める曲線の(x, y) = (−1,0)における接線と法線の方程式を求めよ．

問題27. 関係式F(x, y) =x³−3xy+y³= 0で定まる平面上の曲線について以下の問いに答えよ．

(i)陰関数がy=f(x)の形に表わせない点を求めよ．(ii)陰関数がx=g(y)の形に表わせない点を求めよ．

(iii) 特異点を求めよ．(iv)この曲線の概形を描け．(特に特異点のまわりの様子がはっきりわかるように

せよ．)

略解 25. (i)F(x, y) = 0かつFy(x, y)̸= 0が求める条件です．F(x, y) = 0は単に (x, y)が曲線上にある ための条件です．

(ii)F(x, f(x)) = 0をxについて微分すると合成関数の微分公式より 0 = d

dxF(x, f(x)) =F_x(x, f(x))dx

dx+F_y(x, f(x))df(x)

dx =F_x(x, f(x)) +F_y(x, f(x))f^′(x).

よって，

f^′(x) =−F_x(x, f(x)) Fy(x, f(x))

略解 26. 1^◦) 関係式は F(x, y) = y−1−xe^y = 0 とみる．y = f(x) の形の陰関数が存在するため には，Fy(x, y) ̸= 0 でなければならない．F(x, y) = 0 と Fy(x, y) = 1−xe^y = 0 を同時にみたすのは (x, y) = (e⁻²,2)のときのみ．よって，(x, y) = (e⁻²,2)以外の曲線上の点ではy=f(x)の形の陰関数が定 まり，その微分は

dy

dx =−Fx(x, y)

F_y(x, y) = e^y

1−xe^y (*)

2^◦) (*)をもう一回xで微分すると，

d²y dx² = d

dx ( e^y

1−xe^y )

=e^yy^′·(1−xe^y)−e^y·(−e^y−xe^yy^′) (1−xe^y)²

= e^yy^′+e^2y (1−xe^y)²

=e^2y(2−xe^y) (1−xe^y)³ .

3^◦) (−1,0)において ^dy_dx = ¹₂ であるから，接線と法線の方程式はそれぞれ y=1

2(x+ 1), y=−2(x+ 1) となる．

注意. 1^◦)は(*)で止めてもいいが，さらにもう少し進めることもできる．つまり，(x, y)が曲線上にあるこ とよりy= 1 +xe^y という関係があるから，xe^y=y−1 (またx̸= 0のときは e^y=^y−_x¹)である．よって，

dy

dx = e^y 1−xe^y =

y−1 x

1−(y−1) = y−1

x(2−y) (x, y)̸= (0,1)

(x, y) = (0,1)のときは式(*)に直接(x, y) = (0,1)を代入すると^dy_dx =eとなる．よって，(x, y) = (e⁻²,2) 以外の曲線上の点においては

dy dx =





y−1

x(2−y) (x, y)̸= (0,1) e (x, y) = (0,1)

略解27. まずF_x(x, y) = 3(x²−y),F_y(x, y) = 3(x−y²)となることに注意する．

(i)F(x, y) = 0 (曲線上の点であるための条件)とFy(x, y) = 0 (y=f(x)の形に解けない条件)を同時にみ たす点はx³−3xy+y³= 0と x−y²= 0を同時にみたす．よって，xを消去すればy⁶−2y³= 0を得て，

(x, y) = (0,0),(√³ 4,√³

2)が題意の点である．

(ii) (i)F(x, y) = 0 (曲線上の点であるための条件)とF_x(x, y) = 0 (x=g(y)の形に解けない条件)を同時 にみたす点はx³−3xy+y³= 0 とy−x²= 0を同時にみたす．よって，y を消去すればx⁶−2x³= 0を 得て，(x, y) = (0,0),(√³

2,√³

4) が題意の点である．

注意：(ii)は「xとy の対称性に注意すれば，(i)とまったく同様にして(x, y) = (0,0),(√³ 2,√³

4)が題意の

点である」とやってもよい．

(iii) (i)と(ii)の計算から特異点は(x, y) = (0,0)のみである．

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

図 3: x³−3xy+y³= 0 の概形

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

図 4: x⁴−4xy+y⁴= 0 の概形