Pan an 0 for n - 九州大学（KYUSHU UNIVERSITY）

正項級数： P

a_n (a_n = 0 for ∀n) 定理 正項級数 P

a_n^が収束 ⇐⇒ {S_n}^が有界．

定理 P

a_n^{：正項級数}

項の順序を変えないで，連続する有限個の項を括弧でくくっ て得られるある級数がS ^に収束 =⇒ P

a_n = S^（収束）

(a₁ + · · · + a_n1) + (a_n1+1 + · · · + a_n2) + (a_n2+1 + · · · + a_n3) + · · ·

以下 P

a_n^{：正項級数}

定理 A := {a_n1 + · · · + a_nk ; k ∈ N, n₁ < n₂ < · · · < n_k}

（与えられた級数の任意の有限個の項の和からなる集合）

P a_n^：収束 ⇐⇒ ^集合 A ^が有界．

このとき P^∞

n=1

a_n = sup A ^である．

証明． [⇒] P

a_n = S ^{とする．第} n ^部分和 S_n 5 S^． a_n1 + · · · + a_nk (n₁ < · · · < n_k)^：A^{の任意の元．}

n = n_k ^とすれば

a_n1 + · · · + a_nk 5 a₁ + · · · + a_n = S_n 5 S.

これは S ^が A の上界の一つであることを示す．

ゆえに A ^{は有界であって，}sup A 5 S^．

[⇐] ^逆に A ^{は有界であるとする．}∀n^{について，}S_n ∈ A^．

∴ S_n 5 sup A (∀n)^{．ゆえに数列} {S_n} ^{は上に有界．}

よって正項級数 P

a_n ^{は収束して，}S = P

a_n = sup

n=1

S_n 5 sup A^． 以上から，S = P

a_n = sup A = sup

k=1,2,...

n₁<···<n_k

(a_n1 + · · · + a_nk)^． §

系 正項級数 P

a_n = S ^{が収束するならば，}

どのように項の順序をかえても，得られる級数の和は S^． 系の証明．項の順序をどのようにかえても，定理にある集合 A

は変わらないことに注意． §

• 正項級数が収束するということを，横着をしてP

a_n < ∞ ^と 書くことが多々ある（この横着は合法ではあるけれど . . . ^）

• 一般の級数に対しては，P

a_n < ∞ ^{は意味不明．}

定理（比較定理）P

a_n^，P

b_n^{：正項級数．}

仮定 ∃K > 0^，∃N s.t. a_n 5 Kb_n (∀n = N) (1) P

b_n^：収束 =⇒ P

a_n^：収束．

(2) P

a_n^：発散 =⇒ P

b_n^：発散．

証明． 有限個の項を修正しても収束・発散は変わらないから，

a_n 5 Kb_n (∀n = 1, 2, . . . ) と仮定してもよい．

S_n := a₁ + · · · + a_n^，T_n := b₁ + · · · + b_n. 明らかに S_n 5 KT_n (∀n = 1, 2, . . . )^． (1) P

b_n < ∞ ⇒ {T_n}^：有界⇒ {S_n}^：有界 ⇒ P

a_n < ∞^．

(2) (1)の対偶． §

例 P^∞

n=1

1

n ^{は発散する．}

2^k−1 < n 5 2^k (k = 1, 2, . . . ) ^のとき，1

n = 1

2^{k．ゆえに} 1 + 1

2 + 1

3 + 1

4 + · · · = 1 + 1

2 + 1

4 + 1

4 + · · ·

≥右辺は 1

2^{k が} 2^{k−1個並ぶ}¥ 右辺の第n^{項までの和を} T_n ^とし，2^m 5 n < 2^{m+1 とすると}

T_n = T₂^m = 1 + 1

2 + · · · + ≥ 1

2^m + · · · + 1 2^m

¥

= 1 + 1

2 + · · · + 1

2 = 1 + m 2

よって T_n = 1 + m

2 for 2^m 5 n < 2^m+1． (m + 1) log 2 > log n ^より，m > log n

log 2 − 1^．ゆえに T_n > 1 + 1

2

µlog n

log 2 − 1

∂

→ ∞ (n → ∞).

ゆえに

1 + 1

2 + 1

4 + 1

4 + · · · + 1

2^k + · · · + 1

2^k + · · · は ∞ ^{に発散する．}

1 + 1

2 + 1

3 + 1

4 + · · · = 1 + 1

2 + 1

4 + 1

4 + · · · より，P 1

n ^{も発散する．} §

系 P

a_n^，P

b_n^{：正項級数．}

∃ lim

n→∞

a_n

b_n = ` <sup>かつ</sup> ` > 0 ^ならば P a_n ^の収束 ⇐⇒ P

b_n ^の収束．

証明． ε = `

2 > 0, ∃N s.t.

ØØ ØØ

a_n

b_n − ` ØØ

ØØ < `

2 for ∀n = N^．

−`

2 < a_n

b_n − ` < `

2 より，

`

2 < a_n

b_n < 3

2`^{．ゆえに，}n = N ^のとき b_n < 2

` · a_n, a_n < 3

2` · b_n. 定理により，

P a_n =⇒ P

b_n < ∞^，P

b_n < ∞ =⇒ P

a_n < ∞^． §

例 lim

n→∞

a_n

b_n = 0 ^ならば P

b_n < ∞ =⇒ P

a_n < ∞^．

（ ⇐= ^{は出ない．）} なぜなら，∃N s.t. a_n

b_n < 1 (for ∀n = N)^．

例題 P^∞

n=0

1

n! < ∞^．

証明． n = 2 ^のとき，n! = 1 · 2 · · · n = 1 · 2 · · · 2 = 2^n−1より 1

n! 5 1

2ⁿ⁻¹ (∀n = 2)^．P 1

2ⁿ⁻¹ < ∞ ^より P 1

n! < ∞^．

例題 P^∞

n=1

√n

n² + 1 < ∞^． 証明I a_n :=

√n

n² + 1^，b_n := 1

n^{3/2 とおくと}

a_n = 1

n^3/2 + n^−1/2 5 1

n^3/2 = b_n より，a_n 5 b_n (∀n = 1)^．P

b_n < ∞ ^より P

a_n < ∞^． § 証明II a_n :=

√n

n² + 1^，b_n := 1

n^{3/2 とおくと}

nlim→∞

a_n

b_n = lim

n→∞

√n

n² + 1 · n^3/2 = lim

n→∞

n²

n² + 1 = 1 > 0

より． §

例題 f(x)^：p ^{次の多項式，}f(x) := c_px^p+· · ·+c₁x+c₀ (c_p 6= 0)^． P∞

n=m

1

|f(n)|^s < ∞ ⇐⇒ s > 1 p^． m :=

(1 ^（f(x) = 0^{は正根を持たない）}

N N >^（f(x) = 0 ^{の最大の正根）：}1^個固定

証明． a_n := 1

|f(n)|^s，b_n := 1

n^{sp とおくと}

a_n b_n =

ØØ ØØ

n^p f(n)

ØØ ØØ

s

= ØØ ØØ Ø

1

c_p + c_p−1n⁻¹ + · · · + c₀n^−p ØØ ØØ Ø

s

→ 1

|c_p|^s > 0.

ゆえに P

a_n < ∞ ⇐⇒ P

b_n < ∞^である．

一方で，P

b_n < ∞ ⇐⇒ sp > 1^． §

【補足】 k > 0 ^のとき，P 1

n^k < ∞ ⇐⇒ k > 1^． 証明． [⇐] ^先週．

[⇒] k = 1 ^{なら発散．証明済．}

0 < k < 1 ^のとき． 1

n^k = 1

n ^より，

P 1

n^{k は発散．}

定理【ダランベール (d’Alembert) ^{の判定法】}

P a_n^{：正項級数，}

` := lim

n→∞

a_n+1

a_n ^（` = ∞^を許す）

(1) ` < 1 ^ならば，P

a_n < ∞^， (2) ` > 1 ^ならば，P

a_n^は発散．

証明． (1) ` < r < 1 ^をみたす r ^{を一つとる．}

∃N s.t. a_n+1

a_n < r (∀n = N)^{．つまり，}a_n+1 < ra_n^．ゆえに a_n+N < ra_n−1+N < r²a_n−2+N < · · · < rⁿa_N (∀n = 1, 2, . . . ).

P r^{n は収束するので，} P^∞

n=1

a_n+N < ∞ ^となる．∴ P

a_n < ∞^．

(2) ∃N s.t. a_n+1

a_n > 1 (∀n = N)^．つまり a_n+1 > a_n^．ゆえに a_n+N > a_n−1+N > · · · > a_N+1 > a_N

ゆえに lim

n→∞ a_n = 0 ^{とはならないから，}P

a_n ^は発散． §

例 p = 0 ^のとき， P^∞

n=1

n^p

n! ^{は収束する．}

a_n := n^p

n! ^とおくと

a_n+1

a_n = (n + 1)^p

(n + 1)! · n!

n^p = ≥

1 + 1 n

¥_p

· 1

n + 1 → 0 (n → ∞)

例 P^∞

n=1

nⁿ

n! ^{は発散する．}

a_n := nⁿ

n! ^とおくと

a_n+1

a_n = (n + 1)ⁿ⁺¹

(n + 1)! · n!

nⁿ = ≥

1 + 1 n

¥_n

↑ e (n → ∞) e = (1 + ¹₁)¹ = 2 ^より，P

a_n ^{は発散する．}

交代級数（交項級数）a_n = 0 (∀n) ^で X∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹a_n = a₁ − a₂ + a₃ − a₄ + · · · 例 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

定理 (Leibniz) P

(−1)ⁿ⁻¹a_n^{：交代級数} {a_n}^{が単調に減少して} 0 ^に収束 =⇒ P

(−1)ⁿ⁻¹a_n^：収束．

このとき，|S_n − S| 5 a_n^．

証明． S₂ 5 S₄ 5 · · · 5 S_2m 5 S_2m−1 5 · · · 5 S₃ 5 S₁^．

∵ S_2m − S_2m−1 = −a_2m 5 0 ^であり

S_2(m+1) − S_2m = −a_2m+2 + a_2m+1 = 0, S_2m+1 − S_2m−1 = a_2m+1 − a_2m 5 0. //

閉区間 I_m := [S_2m, S_2m−1] (m = 1, 2, . . . ) ^{を考える．}

I₁ ⊃ I₂ ⊃ · · · ⊃ I_m ⊃, |I_m| = a_2m → 0 区間縮小法の原理から，∃1 S ∈ ^∞T

m=1

I_m^． 特に S = lim

m→∞ S_2m−1 = lim

m→∞ S_2m ^{であるから，}S_n → S^． そして，S ∈ I_m (∀m) ^より

(0 5 S − S_2m 5 |I_m| = a_2m,

0 5 S_2m−1 − S 5 |I_m| = a_2m 5 a_2m−1

ゆえに n ^{の奇偶によらず} |S_n − S| 5 a_n^である． §

例 P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n = 1 − 1

2 + 1

3 − 1

4 + · · · は収束する．

P∞ n=1

1

n は発散することに注意．

• 1 − 1

2 + 1

3 − 1

4 + · · · = log 2^．

• ^正の項を p ^{個，負の項を} q 個ずつ交互にとって級数を作る：

1 + 1

3 + · · · + 1

2p − 1 − 1

2 − · · · − 1

2q + 1

2p + 1 + · · · 和は log 2 + 1

2 log p q^．

• b_m := 1 + 1

3 + · · · + 1

2m − 1^， c_m := 1

2 + · · · + 1

2m^． S_2m = b_m − c_m ^かつ c_m = 1

2

≥1 + · · · + 1 m

¥ → ∞^． ゆえに b_m = c_m + S_2m → ∞ ^に注意．

α > 0 ^{が与えられたとする．}

(1) 正の項をとり，それらを項の順に加えていく．

α を初めて越えた時点でストップ．

(2) ^{負の項をとり，}(1)でストップしたところから項の順に加え る（減じる）．α より初めて小さくなった時点でストップ．

(3) 残っている正の項をとり，それらを項の順に加えていく．

α を初めて越えた時点でストップ．

(4) 残っている負の項に対して，(2)のように行う．

以下これを続けると，出来た級数の和は α ^{になる（詳細略）．}

• 正項級数でないと，たとえ収束しても，項の順序を入れ替え ると，和がかわってしまう可能性がある．

• 項の順序を入れ替えても和が変わらない級数は ?

定義 級数 P

a_n ^{が絶対収束する} ⇐⇒^def P

|a_n|^：収束

• ^{注意．絶対収束する：}absolutely convergent

（副詞＋形容詞）の訳語．

現時点では，「絶対収束的」ということで，

絶対的に収束する：converges absolutely という「動詞＋副詞」ではない． しかし

定理 P

a_n^{：絶対収束する} =⇒ P

a_n^：収束．

定理 P

a_n^{：絶対収束する} =⇒ P

a_n^：収束．

• ^{主張の内容：}P

|a_n| < ∞ =⇒ P

a_n^：収束．

• ^{この定理により，}

absolutely convergent ^と converges absolutely を混同しても問題はないことになる．

証明． S_n := a₁ + · · · + a_n, T_n := |a₁| + · · · + |a_n| ^とおく．

ε > 0^：given. ^{仮定より，}∃N s.t. p > q = N ^ならば

|a_q+1| + · · · + |a_p| = |T_p − T_q| < ε.

このとき

|S_p − S_q| = |a_q+1 + · · · + a_p| 5 |a_q+1| + · · · + |a_p| < ε.

ゆえに {S_n} ^は Cauchy ^{列になって，}P

a_n ^{は収束する．} §