４ . これまでのまとめ
科目： 基礎数学A及び演習（演習）（２‐１組）
担当： 相木
過去３回のプリントで命題や集合に関する基本事項を解説した．それらにはかなり抽 象的な概念やものの扱い方も含まれており，初見では分かりづらいという印象を受けた人 もいるかと思う．
このプリントでは，具体的な練習問題を解きながら今までに扱った内容を総括する．
問１ 以下の集合に対する等号が成り立つことを証明せよ．
{x∈R | |x|<1} ∩ {x∈R | x >0}={x∈R| 0< x <1}
解答． 議論をしやすくするために３つの集合A, B, Cを以下のように定める．
A={x∈R | |x|<1} B ={x∈R | x >0} C ={x∈R | 0< x < 1} このようにおくと，証明すべきことは
A∩B =C
と表現できる．集合の等号の定義からA∩B ⊂CとC⊂A∩Bの両方が成り立つことを 示せばよい．
A∩B ⊂Cの証明
∀x∈A∩B, x∈C を示す．そこでA∩Bの任意の要素xを取る．x∈A∩Bより特 にx∈Aなので，Aの定め方から|x|<1であるが，これは
−1< x <1 (1)
ということである．さらに，x∈A∩Bよりx∈BでもあるのでBの定め方から x >0
(2)
である．xに対しては(1)と(2)の両方が成り立つので 0< x <1
1
であることがわかり，x ∈ Cである．任意のA∩Bの要素xに対してx∈ Cが示された ので
A∩B ⊂C
が示された．
C ⊂A∩Bの証明
∀x∈Cを取る．Cの定め方から
0< x <1 である．特に
−1< x <1 も成り立つのでx∈Aである．また，
0< x
なので，x∈Bでもある．したがって，x∈Aとx∈Bがともに成り立つのでx∈A∩B である．∀x∈C, x∈A∩Bが示されたので
C⊂A∩B
が示された．
以上を全てまとめると，A∩B ⊂CとC ⊂A∩Bの両方が成り立つことが示された ので
A∩B =C
である． □
問２ 以下の命題の意味を説明し，その真偽を証明せよ．
∀x∈R, |x|<1
解答． まず，問題の命題が全称命題であることに注意すると，その意味は
「全ての実数は絶対値が1未満である」
となることが分かる．
この命題は偽である．なぜなら，3∈Rであるが，
|3|= 3 >1
であるので絶対値が1未満でない実数が存在するからである． □ 2
問２の解答でも暗に用いたが，否定命題の定義から命題P に対して P が偽であることを証明する
ということと，
¬P が真であることを証明する は同じである．問２の解答においては
∀x∈R, |x|<1 が真であることを証明するために，その否定命題である
∃x∈R, |x| ≥1
が真であることを，3という具体的に条件を満たすxが１つあることを示すことによって 証明した．
問３ 数列{an}∞n=1 がα ∈Rに収束することを全称・存在命題を用いて表現せよ．
解答． 基礎解析学IAの教科書に記載されている数列の収束の定義は
任意のε >0に対し，次を満たすNε ∈Nが存在する．
「n≥Nε ⇒ |an−α|< ε」
である．
この命題が真であるとは，最初に任意のε >0をとり，それに応じて「· · ·」の条件を 満たすNεが存在するということである．
「· · ·」の部分はP ⇒ Qという命題の定義から，n ≥ Nεを満たす全てのnに対して
|an−α|< εが成り立てば真となる．
以上を踏まえると，数列の収束の定義を以下のように表現することができる：
∀ε >0, ∃Nε ∈N, ∀n ≥Nε, |an−α|< ε.
□
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予約制問題
(4-1) 数列{an}∞n=1がα ∈R に収束することの否定命題を全称・存在命題を用いて表現 せよ．
(4-2) 以下の命題の意味を説明し，その否定命題を書け．
∃x∈Q, ∀n ∈N, ∀m∈N, nx+m̸∈N.
(4-3) 以下の命題が真であることを証明せよ．
∀ε∈(0,1), ∃n∈N, 1−εn > 1 2.
ここで，(0,1)は{x∈R | 0< x <1}で定まる開区間である．
(4-4) 以下の等号を証明せよ．
{x∈R | ∀y∈N, xy ∈Z}=Z
早いもの勝ち制問題
(4-5) 数列{an}∞n=1が∞に発散するとは
∀L >0, ∃NL ∈N, ∀n ≥NL, an> L が成り立つことである．上の命題の否定命題を書け．
(4-6) 以下の命題の意味を説明し，その否定命題を書け．
∀x∈R, ∃y∈R, ∀z ∈R, z2 ≥xy.
(4-7) 以下の命題が偽であることを証明せよ．
∃δ >0, ∀n ∈N, nδ ≤1.
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