PDF mm物理数学 第3 回試験 解答 学生番号

ｍｍ物理数学 第 3 回試験 解答

^{学生番号 氏名}

1 2つの関数をu(x)，v(x)とする．微分積の公式，微分商の公式，部分積分の公式を書きなさい．

（1）微分積の公式



u(x)v(x)



 dx

d

（2）微分商の公式 



 



 ) (

) (

x v

x u dx

d

（3）部分積分の公式



^u(x)_dx^d



^v(x)



^dx

2 次の極限値を求めよ．

(1) 3 7 6

6 11 lim3 ²₂

3  





 x x

x x

x (2) 





 1

lim ₂

x x

x

3 次の関数を微分せよ（

dx

dyを求めよ）.

(1) y2x⁴4x³6 (2) y e^ax2

(3) ycos2x (4) ytanx

(5) 



 







 

1 2

1 log 2 2 1

x

y x (6) yarcsinx

4 円の式x²y² 9で表わされる円の上の1点



^{2, 5}



における接線の式を求めよ．

dx x x dv u x dx v

x

du ( )

) ( ) ) (

(   

 

( )² ) ) ( ( ) ) ( (

x v

dx x x dv u x dx v

x

du 



 vx dx

dx x x du v x

u( ) ( ) ( ) ( )

  

    

 

11

7 2 9

2 9 2 3

2 lim 3 3 2 3

3 2 lim 3

3

3 



 



 







 



 x

x x

x x x

x x

1 0 0 1 1

1 lim

2





 



x x

x

 

2 3

2 3

3 4

12 8

0 3 4 4 2

6 4 2

x x

x x

dx x x d dx dy

















 

とおく．

ax2

z ax

dx ax d dx

dz  ( ²)2

 

²

2

2 2

2 ^{z ax}

z

z z ax

e ax e

ax ax

e

dx dz dz

e d dx

e d dx e d dx dy































1

2 

 x

u v2x1 ) 2

1 2

(  

 dx x d dx

du (2 1)2

 dx x d dx dv

 

  

4 1

2 1

2 1 2

) 1 2 ( ) 1 2 (

1 2 1 2 2 1 log

log 2 1

log 2 log

log 1 2 1

2

 







 

 







   







   











 

x x

x

x x

uv u v

v u dx

dv dv

v d dx du du

u d

v dx u

d v

u dx

d dx dy

とおく．

，

2

2 1

1 sin

1 1 cos

1 1

x y y

dy dx dx dy

 

 



 dy y

y d dy

dx  sin cos y

xsin

∴

∴

x x

x x

x

x x

x x

x

dx x x d

dx x x d x x dx

d dx

x d dx dy

2 2

2 2

2

2

cos 1 cos

sin cos

cos

) sin ( sin cos cos

cos sin cos sin cos

cos sin tan

 

 





 





 



 



 

 )

2 sin(

2 ) sin ( cos 2 cos

) 2

cos( u x

du u d dx du dx

u d dx

x d dx

dy        

) 2 2

( 

 dx x d dx とおく。 du x

u 2

2 9

2y 

x 両辺をxで微分する．

 

dx d dx

y x

d ² ²  9

∴ ² ² 0 dx dy dx dx

ところで x

dx

dx² 2 ，

dx ydy dx dy dy dy dx

dy²  ² 2 ∴ 2 2 0 dx ydy

x ∴

y x dx dy 



x1,y1



を通る直線の式は ym



xx1



y1 ． また，接線の場合の傾きは

1 1

1 y

x dx

m dy

x x









ゆえに 接線の式は

  

2



5 5

2

1 1 1

1     



 x x y x

y y x

よって



2



5 5

2  



 x

y ，または， 5y2x 9

5 v 4t3 ( m/s ) の速さで直線上を運動する質点がある. 時刻t ( s )での位置x ( m )を求めよ.ただし，^x



^{vdtでt = 0 s のときx = 5 m である .}

6 横20cm，縦10cmの長方形の厚紙の四隅から，同じ正方形を切り取って箱を作る．箱の容積を最大にするには切り取る正方形の一辺の長さをいくらに

すればよいか．

7 次の積分を実行せよ．

(1)



¹₀ 3x1dx (2)



e^2xdx

(3)



^sinaxdx (4)



^cosaxdx

(5)



^{log(axb)dx} (6)



^cos2axdx

(7)



^sin



^t^



dt

adu dx1 a ∴

dx du  とおく．

ax u

c a ax

c a u

a udu adu

u dx

ax 



 



   



^{cos cos 1 1 cos 1sin 1sin}



t



dt t t c t t c

vdt

x 







⁴ ³  ₂^{4 2}³  ²²³ 

初期条件 t = 0 s のときx = 5 m ∴ 52030c ∴ c 5 ∴ x2t²3t5

切り取る正方形の一辺の長さをx cm，箱の容積をV cm³とする．

) 50 15 ( 4 ) 5 )(

10 ( 4 ) 2 10 ( ) 2 20

( x x x x x x³ x² x

x

V           



2.11



7.89



3 12 5 5 3 5 5 12 ) 50 30 3 (

4 ²   





  







  







 x x x x x x

dx dV

xの領域は，縦：102x 0 ∴ 5x，横：202x0 ∴ 10x 高さは正であるから，x 0 ． これらから, 0x 5

0 dx

dV のとき極値をとり，増減表は右のようになる．

11 . 3 2 5 5 



x cm で体積V最大となる．このとき，V=192.5cm³

20

10

x x

x 0 5

V ’ + 0 －

V ↗ 192.5 ↘

3 5 5

1

3 

 x

z とおく．積分領域は1，4に変わる．

3 dx

dz ∴ dx dz 3

 1



^{2 1}



¹⁴₉

9 1 2 9 4 2

3 2 3 1 3

1 1 3

2 3 3 2 3

4

1 2 3 2

4 1 1 1

0

















 













 













^{x dx z dz z}

x

u2 とおく． 2 dx

du ∴ dx du 2

1



e^2xdx



e^u₂¹du²



e^udu₂¹e^uc ¹₂e^2x c

adu dx 1 a ∴

dx du  とおく．

ax u

c a ax

c a u

a udu adu

u dx

ax  



 









 



^{sin sin 1 1 sin 1cos 1cos}

 

c x x x dx x x xdx x x x

dx x x x x xdx x

xdx

















 



 













log 1 log

log

log log

log ) ( log

b ax

z   とおく． a dx

dz  ∴ dz dx a1

∴

  

ax b



c

a b c ax z z a z

a zdz adz

z dx

b ax





 

















 



1 ) log(

1 log

1 log log 1

) log(

 

c a ax

x a c

x ax

dx ax dx

dx ax dx

ax























  



2 4 sin

1 2 1 2

2 sin 2 1 2 1

2 2 cos 1 2

2 1 cos 21 cos² 1





  t とおく．  _ dt

d ∴ 

^d dt 1

∴



^sin



^t^



dt



^sin_¹d^ _¹



^sind^ _¹



^cos



 _^1cos



^t^



c