Weightの小さなSiegel-Eisenstein級数について

Weight ^の小さな Siegel-Eisenstein ^{級数について}

近畿大・理工・長岡昇勇

Introduction

この小論では，weightの小さな Siegel-Eisenstein 級数について，これま で知られているいくつかの結果を紹介する．Eisenstein 級数 E_k^(m)(z) の 定義式に複素パラメータ s を付けたもの E_k^(m)(z, s) を考え，s について 解析接続し，さらに s = 0 とおくことにより weight の小さな modular 形式を得る手法は古くから考えられており“Hecke 和の方法”と呼ばれて いる (e.g. cf. [14], Introduction). ただし，一般にはs= 0 での正則性や，

z に関する正則性は必ずしも保証されない．例えば E₂⁽¹⁾(z, s)は s= 0 で holomorphic で

E₂⁽¹⁾(z,0) = 1− 3 πy −24

∑∞ n=1

σ1(n)e(nz), z =x+iy∈H1

なる Fourier展開をもつことは良く知られている（もちろん，z について

は非正則）．一般の次数 m の場合のこの種の結果は，多分 E₄⁽³⁾(z,0) の holomorphyに関する Raghavan の結果[9] が最初と思われる．この様な 単発的な結果に対して1980年代初めに志村先生がSiegel-Eisenstein 級数 の解析的性質に関する組織的な研究を始められ，一連の論文を発表され た ([10], [11], [12])．この中の論文“On Eisenstein series”の冒頭は次の様 な“問いかけ”から始まっている．

(A)E_k^(m)(z, s) は s について s= 0 で holomorphicか？

(B) もしそうならE_k^(m)(z,0) は z について holomorphicか？

(C) これもまた正しいなら，modular 形式 E_k^(m)(z,0) の Fourier 級数は 有理数か？

これらの問いについては，Shimura [11], Weissauer [13] によって次の様 な解答が与えられた．

1.k >0 ならE_k^(m)(z, s)は s の関数としてs= 0 で holomorphic．

2.E_k^(m)(z,0) は次の２つの場合を除いてholomorphic.

k = m+ 2

2 , m+ 3

2 ≡2 (mod 4).

3. 2でholomorphic な場合，E_k^(m)(z,0)の Fourier級数は全て有理数で ある．

（E₂⁽¹⁾(z,0)は k = ^m+3₂ ≡2 (mod 4)の場合に当っている．）

これらの結果について，最近 Haruki [2] によって，より直接的な証明が 与えられた．彼の方法は Mizumoto による E_k^(m)(z, s) の Fourier 展開公 式 ([6] Theorem 1.8) を使うもので，上記2の除外のケースの Fourier 展 開の情報もある程度与えてくれる．

ここでは，Haruki の方法を実例に即して紹介していく．これにより例え ば E₂⁽²⁾(z,0) （上記2 の k = ^m+2₂ ≡ 2 (mod 4)場合）の Fourier 展開に

関する Kohnen-Nagaokaの公式を与えることも可能となる．

以下では次の記号を使用する．

• κ(ν) := ν+ 1

2 for ν ∈Z>0

• e(z) := exp(2πiz) for z ∈C

• σ(x): the trace of a square matrix x

• Hm :={z =x+iy∈C^(m) |^tz =z, y >0}(Siegel upper half space)

• V_m :={x∈R^(m)|^tx=x}

• Pm :={x∈Vm |x >0}

• Λ_m: the set of symmetric semi-integral matrices of size m

• Λ^∗_m :={h∈Λ_m |deth̸= 0}

• Λ^(r)m :={h∈Λ_m|rankh=r} (0≤r ≤m)

• Z^(m,ν)_prim :={a∈Z^(m,ν)|a is primitive}

• “d=2”:d is integral square

• Γ_m := Sp_m(Z) (Siegel modular group)

• Γ_m,0 :=

{( a b 0 d

)∈Γ_m }

1 Siegel-Eisenstein 級数の定義とその基本的性質

整数m ∈Z>0 と偶数 k ∈2Z≥0 に対して E_k^(m)(z, s) := det(Im(z))^s∑

{c,d}

det(cz+d)^−k|det(cz+d)|^−2s

と定義する．ここで(z, s)∈Hm×Cで{c, d}はcoprime symmetric pairs のある類の代表系を動く．すなわち ( ∗ ∗

c d

)∈Γ_m,0\Γ_m である．

次は Siegel-Eisenstein 級数 E_k^(m)(z, s) について知られている基本的性質 である：

1)E_k^(m)(z, s) は {

(z, s)|z ∈Hm, Re(s)> m+ 1−k 2

}

上でabsolutelyかつ locally uniformlyに収束する．

2)E_k^(m)(z, s) は全s-平面にmeromorphic に接続され，関数 Γ_m(

s+^k₂)

Γ_m(s) ·ξ(2s) [^m2]

∏

j=1

ξ(4s−2j)·E_k^(m) (

z, s− k 2

)

は変換s7−→ ^m+1₂ −s のもとで不変である．ここで

Γm(s) := π^m(m4−1)

m∏−1 j=0

Γ (

s− j 2

) ,

ξ(s) :=π^−s2 Γ (s

2 )

ζ(s).

Introduction でも述べた様に，Shimura [11] は次の様な“問いかけ” を した．

1.E_k^(m)(z, s) は s= 0 で holomorphicか？

2.もしそうなら E_k^(m)(z) := E_k^(m)(z,0) とおこう．このとき E_k^(m)(z) は holomorphicな modular 形式となるか？

3. 2が正しいとき，E_k^(m)(z)の Fourier 係数は有理数であるか？

（もちろん [11] ではより一般の群について“問いかけ”がなされ，そこで

は 3 の“有理性”は“代数性”におきかえられている．）

この“問いかけ”に対する解答は次の様である．

定理1.1 (Shimura [11], Weissauer [14])

1) k > 0なら E_k^(m)(z, s) は s= 0 で holomorphicである．

2) E_k^(m)(z) は次の２つの場合を除いて holomorphic な modular 形式と なる：

k = m+ 2

2 , m+ 3

2 ≡2 (mod 4).

3) holomorphic な場合，E_k^(m)(z) の Fourier 係数は全て有理数である．

この他，次の様な結果が得られている ([11]).

定理1.2 (1) Hm 上の変数行列 (z_j,k) に関して，Hm 上の微分作用素 ∆ を

∆= det (1

2(1 +δ_jk) ∂

∂z_jk )

, δ_jk : Kronecker のデルタ と定義する．Hm 上の正則関数 p₁, p₂ で次を満たすものが存在する：

E^(m)m+3 2

(z,0) =∆{p₁(z) +p₂(z) log (det(Im(z))} さらに p₁, p₂ は次を満たす：

(i)∆p₁ は有理係数のFourier 展開をもつ．

(ii) ∆p₂ = 0 で，π^mp₂ は有理Fourier係数をもつ weight ^m−1₂ のmodular 形式となる．

(2) E^(m)_m−1

2

(z, s) は s = 1 で高々 simple pole をもち，その residue は π^−mf(z)の形をしている．ここでf(z)は有理 Fourier係数をもつweight

m−1

2 の modular 形式で∆f = 0 を満たす．

注意：上記定理に現われている関数p2, f は本質的にSiegel-Eisenstein 級 数になっている．すなわち，p₂ =c·E^(m)m−1

2

, f =c^′·E^(m)m−1 2

と書ける．ここ で c, c^′ は具体的に書ける定数（有理数）である．

2 E

_k^(m)

(z, s) の Fourier 展開

E_k^(m)(z, s)のFourier展開を与えるために，いくつかの準備をする．まず，

Shimura [10] に従って Hm 上の合流型超幾何関数（confluent hypergeo- metric function）を導入する．

g ∈P_m, h∈V_m, (α, β)∈C² に対して ξ_m(g, h;α, β) =

∫

Vm

e(−σ(hx)) det(x+ig)^−α det(x−ig)^−βdx と定義する．ここで dx=∏

i≤jdxij. この積分は Re(α+β)> m なる条 件のもとで収束することがわかっている．また

η_m(g, h;α, β) =

∫

Vm x±h>0

e^−σ(gx) det(x+h)^α−κ(m) det(x−h)^β−κ(m)dx なる積分を考える．これは Re(α)> κ(m)−1, Re(β)> m なる条件のも とで収束することが知られている．さらに

η^∗_m(g, h;α, β) := det(g)^{α+β−κ(m)}η_m(g, h;α, β) とおいておく．

Re(α) > κ(m)−1, Re(β) > m のとき上記２つの関数 ξ_m, η_m は次の関 係をもつ：

ξ_m(g, h;α, β) = e^{π2im(β−α)}·2^mπ^mκ(m)Γ_m(α)⁻¹Γ_m(β)⁻¹ ·η_m(2g, πh;α, β).

上記２つの関数は通常の合流型超幾何関数の Hm 上への一般化と考えら れる．

Eisenstein級数の解析的性質，例えば正則性や関数等式等を調べる際，基

本的な事実は次である．

命題2.1 (Shimura) (g, h, α, β)∈P_m×V_m×C² に対して

ω_m(g, h;α, β) = 2^−pα−qβΓ_p(β−(m−p)/2)⁻¹Γ_q(α−(m−q)/2)⁻¹

·Γ_r(α+β−κ(m))⁻¹δ₊(hg)^{κ−α−q/4}δ₋(hg)^{κ−β−p/4}

·η_m^∗(g, h;α, β)

とおく．ここでpはhの正固有値の個数，qは負固有値の個数でp+q+r= m. また δ₊(x) は x の正固有値全体の積で δ₋(x) = δ₊(−x)．すると

ω_m は (α, β)の正則関数として C² 全体に解析接続され

ω_m(g, h;α, β) = ω_m(g, h;κ(m) +r/2−β, κ(m) +r/2−α) なる関数等式を満たす．

さらに後に必要となる公式を挙げておく．

補題2.1 ([11], (7.12)) (1) h∈Pm に対して

ξ_m(g, h;α,0) = 2^(1−κ)mi^−mα(2π)^mαΓ_m(α)⁻¹det(h)^α−κe(iσ(gh)), κ =κ(m).

(2) ([11], (7.13))

ξ_m(g,0_m;α, β) =i^mβ−mα2^{m(κ+1−α−β)}π^mκΓ_m(α+β−κ)

·Γm(α)⁻¹Γm(β)⁻¹det(g)^κ−α−β, κ=κ(m).

次に Siegel級数と呼ばれている特異級数 S_ν(h, s)を導入する．h∈V_ν と s∈C に対して

S_ν(h, s) := ∑

r∈Vν∩Q^(ν)mod1

n(r)^−se(σ(hr))

とおく．ここでn(r) は r の elementary divisors の分母の積．S_ν はさら にlocal factorsの積に分解し，それぞれのlocal factorは二次形式のlocal

densityと密接に関連している．以下で Siegel級数 S_ν の基本的性質を復

習しておこう．

補題2.2 (1)

S_ν(diag(h,0_ν−λ), s) = ζ(s+λ+ν) ζ(s)

ν−λ

∏

j=0

ζ(2s−ν−j)

ζ(2s−2j) S_λ(h, s−ν+λ) が成り立つ．とくに

S_ν(0_ν, s) = ζ(s−ν) ζ(s)

∏ν j=0

ζ(2s−ν−j) ζ(2s−2j) .

(2) S_λ は次の表現をもつ．

S_λ(h, s) = ∑

d∈A(h)

(detd)^λ+1−2sSb_k(h[d⁻¹], s).

ここで

Sb_λ(h, s) =ζ(s)⁻¹ [^λ2]

∏

j=1

ζ(2s−2j)⁻¹L (

s− λ 2,

(d(h)

∗

))δ(^λ2)∏

p

a_p(h, s)

で記号の定義は以下の通り．

• h∈Λ^∗_λ について d(h) := (−1)[^λ2] 2^−δ(^λ−2¹) det (2h)

• x∈Q について δ(x) := 1 if x∈Z ; = 0 if x̸∈Z

• A(h) := GL_λ(Z)\ {d∈Z^(λ) |det (d)̸= 0 andh[d⁻¹]∈Λ_λ}

• a_p(h, s) :=







































r

∏2

j=1

(1−p^{2j−1+λ−2s}) (λ, r)≡(1,0) (mod 2)

(1 +λ_p(h)p^{λ+r2 −s})

r−1

∏2

j=1

(1−p^{2j−1+λ−2s}) (λ, r)≡(1,1) (mod 2)

r−1

∏2

j=1

(1−p^2j+λ−2s) (λ, r)≡(0,1) (mod 2)

(1 +λ_p(h)p^{λ+r2 −s})

r 2−1

∏

j=1

(1−p^2j+λ−2s) (λ, r)≡(0,0) (mod 2)

• r は h[u] ≡ ( h^∗ 0 0 0^(r)

)

(mod p) for some u ∈M_λ(Z) を満たすよ うなr のうち最大のもの．このとき λp(h) :=

(d(h^∗) p

) .

命題2.2 λ, ν ∈Z を 0≤λ < ν とする．

(1) Siegel級数 S_ν(h, s) (h∈Λ_ν) は全s-平面に有理型関数として接続さ れる．

(2) λ∈Z>0, h∈Λ_λ(p, q)とする．すると関数

Γp

(s 2

)₋1

Γq

(s 2

)₋1

ξ(s) [^λ₂]

∏

j=1

ξ(2s−2i)|det (πh)|^s2 Sλ(h, s)

は変換s7−→λ+ 1−s のもとで不変である．

我々は次の Fourier 展開から出発する ([5], p.306).

定理2.1 m ∈ Z>0, k ∈ 2Z≥0 とする．s ∈ C を Re(s) > κ(m) とし，

z ∈Hm をz =x+iy, x∈V_m, y ∈P_m と書く．すると E_k^(m)(z, s)は次の Fourier 展開をもつ：

E_k^(m)(z, s) = det(y)^s+ det(y)^s

∑m ν

∑

h∈Λν

∑

q∈Z^(m,ν)prim /GLν(Z)

S_ν(h,2s+k)

·ξ_ν(y[q], h;k+s, s)e(σ(h[^tq]x)).

次に上記の式を精密化した Mizumotoによる展開式を紹介する．

1≤ν ≤m, g ∈P_m に対して

ζ_ν^(m)(g, s) := ∑

a∈Z^(m,ν)prim /GLν(Z)

det(g[a])^−s

とおく．この右辺は Re(s)> ^m₂ で locally uniformly に収束する．この級

数は Koecher-Maass zeta関数と呼ばれており，次の様な性質をもつこと

が知られている (例えば [1]).

Z_ν^(m)(g, s) := ∑

a∈Z^(m,ν)∗ /GLν(Z)

det(g[a])^−s (1≤ν≤m) とおく．ただし

Z^(m,ν)_∗ :={a∈Z^(m,ν) |ranka=ν}. すると

Z_r^(m)(g, s) =

ν−1

∏

j=0

ζ(2s−j)ζ_ν^(m)(g, s)

が成り立つ．さらに次が成り立つ．

命題2.3 関数 Ξ^(m)ν を

Ξ^(m)_ν (g, s) := 2ε_ν(s)ε_ν (m

2 −s )

R^(m)_ν (g, s) で定義する．ここで

R_ν^(m)(g, s) :=

ν−1

∏

j=0

ξ(2s−j)ζ_ν^(m)(g, s),

ε_ν(s) :=

ν∏−1 j=0

( s− j

2 )

.

すると Ξ^(m)ν (g, s) は s に関する entire function として解析接続され det (g)^ν4 Ξ^(m)_ν

( g,m

2 −s )

= det (g⁻¹)^ν4 Ξ^(m)_ν (g⁻¹, s) なる関数等式を満たす．

注．定義よりζm^(m)(g, s) = det(g)^−s で Z₁^(m)(g, s)は Epsteinの zeta 関数 である．便宜上 ζ₀^(m)(∗, s) = 1 とおく．

Mizumotoによる E_k^(m)(z, s) の Fourier展開式は次の通りである．

定理2.2 m ∈ Z>0, k ∈ 2Z≥0 とする．Re(s) > m のとき E_k^(m)(z, s) は 次のFourier 展開をもつ：

E_k^(m)(z, s) =

∑m ν=0

∑ν λ=0

F_k,ν,λ^(m)(z, s).

ここで 0≤ν ≤m に対して

F_k,ν,0^(m)(z, s) = (−1)^kν2 2^νπ^νκ(ν)Γ_ν(2s+k−κ(ν)) Γ_ν(s)Γ_ν(s+k)

·S_ν(0_ν,2s+k) det(y)^sζ_ν^(m)(2y,2s+k−κ(ν)).

1≤λ≤ν ≤m に対して F_k,ν,λ^(m)(z, s) = ∑

k∈Λ^∗_λ

∑

r∈Z^(m,λ)_prim /GL_λ(Z)

b^(m)_k,ν,λ(h[^tr], y, s)e(σ(h[^tr]x)).

ここで

b^(m)_k,ν,λ(h[^tr], y, s) := (−1)^kν2 2^νπ^{νκ(ν)+λ(ν−λ)2} Γ_ν−λ(2s+k−κ(ν) Γ_ν(s)Γ_ν(s+k)

·Sν(diag(h,0ν−λ),2s+k) det(y)^sdet(2y[r])^{κ(ν)−k−2s}

·η_λ^∗ (

2y[r], πh;s+k+λ−ν

2 , s+λ−ν 2

)

·ζ_ν^(m_−λ^−λ)(2g(y, u_r),2s+k−κ(ν)).

ただし最終式に現われる g(y, u_r), u_r は次の様に定義されるものである．

まずu_r は１対１対応

GL_m(Z)/∆^(m)_ν ←→Z^(m,ν)prim /GL_ν(Z) (

∆^(m)_ν :=

{( ∗ ∗ 0^(m−ν,ν) ∗

)∈GL_m(Z) })

で r ∈Z^(m,ν)prim に対応する GL_m(Z) の元．g(y, u_r) は u_r = (rr₁) と書いた とき

g(y, u_r) = y[r₁]−(y[r])⁻¹[^tryr₁] と定義されるものである．

以上の事はおおまかに言って次の事を主張している．

E_k^(m)(z, s) =F_k,ν,λ^(m) の和, 各F_k,ν,λ^(m) の Fourier係数

≒(Siegel series)×(confluent hypergeometric function)

×(Koecher-Maass zeta function)

Mizumotoの展開式に対して

F_k,0,0^(m)

F_k,1,0^(m) F_k,1,1^(m)

F_k,2,0^(m) F_k,2,1^(m) F_k,2,2^(m) ... ... ... . ..

F_k,m,0^(m) F_k,m,1^(m) F_k,m,2^(m) · · · F_k,m,m^(m)

をここでは“Eisenstein 級数の三角形”と呼ぶことにする．

例１．E₂⁽¹⁾(z,0) = 1− 3 πy −24

∑∞ n=1

σ1(n)e(nz) この場合

F_2,0,0⁽¹⁾

F_2,1,0⁽¹⁾ F_2,1,1⁽¹⁾

−→

1

− 3

πy −24

∑∞ n=1

σ₁(n)qⁿ となる．

実際，F_2,0,0⁽¹⁾ (z, s) =y^s→1 (s→0)は明らか．

次に

F_2,1,0⁽¹⁾ (z, s) = y^s(−2π) Γ(2s+ 1)

Γ(s)Γ(s+ 2)S1(0,2s+ 2)ζ₁⁽¹⁾(2y,2s+ 1) で

S₁(0,2s+ 2) = ζ(2s+ 1)

ζ(2s+ 2), ζ₁⁽¹⁾(2y,2s+ 1) = (2y)^−2s−1 だから

lims→0F_2,1,0⁽¹⁾ (z, s) = −2π·lim

s→0

ζ(2s+ 1) Γ(s) · 1

ζ(2) · 1 2y

= − 3 πy. 最後に F_2,1,1⁽¹⁾ (z, s)の部分：まず

F_2,1,1⁽¹⁾ (z, s) =y^s ∑

0̸=h∈Z

S₁(h,2s+ 2)ξ₁(y, h;s+ 2, s)e(hx)

である．ここで S₁ の明示公式と補題2.1 の特別な場合である

• S₁(h,2s+ 2) = 1

ζ(2s+ 2)σ_−2s−1(h)

• lim

s→0ξ1(y, h;s+ 2, s) =

{ −(2π)²·h·e(ihy) (h >0)

0 (h <0)

等の式を使えば

lims→0F_2,1,1⁽¹⁾ (z, s) = 6

π² ·(−4π²)

∑∞ h=1

σ₁(h)e(hz)

= −24

∑∞ h=1

σ₁(h)e(hz) が得られる．

3 E

₂⁽²⁾

(z, 0) に対する Kohnen-Nagaoka の公式

“Eisenstein 級数の三角形”の有効性を示すため，E₂⁽²⁾(z,0)の Fourier 展 開を与えよう．

これはh= ^m+2₂ ≡2 (mod 4)なる“除外のケース”の最初の例である．こ

の場合の“三角形”は次の形である．

F_2,0,0⁽²⁾

F_2,1,0⁽²⁾ F_2,1,1⁽²⁾

F_2,2,0⁽²⁾ F_2,2,1⁽²⁾ F_2,2,2⁽²⁾ まず第一列は次の様に与えられる．

F_2,0,0⁽²⁾ = dety^s, F_2,1,0⁽²⁾ = 1

ζ(2s+ 2)ζ(4s+ 2) ·2^−4s−2π²det(y)⁻¹²

· {

− 1 2s −(

2α(y) +γ− 1 2 )

+O(s) }

,

F_2,2,0⁽²⁾ = 1

ζ(2s+ 2)ζ(4s+ 2) ·2^−4s−2π²det(y)⁻¹²

· { 1 2s +

(

log 2π+ 2γ− 5 2− 1

2log dety )

+O(s) }

.

ここで y=

( y₁₁ y₁₂ y₁₂ y₂₂

) としたとき

α(y) :=γ+1

2log y₂₂ 2√

dety−log|w_y|², w_y = y₁₂+i√ dety y22

,

γ は Euler 定数，η は Dedekind の eta 関数．

証明のあらすじ：

F_2,1,0⁽²⁾ (z, s) = dety^s ∑

q∈Z^(2,1)prim/±1

ξ₁(y[q],0;s+ 2, s)S₁(0,2s+ 2)

となる．ここで

• ξ₁(g,0;α, β) = i^β−α2^2−α−βπΓ(α+β−1)Γ(α)⁻¹Γ(β)⁻¹g^1−α−β

• S₁(0, s) =ζ(s−1)/ζ(s) を使えば

F_2,1,0⁽²⁾ (z, s) = −2^−2sπdety^s Γ(2s+ 1) Γ(s+ 2)Γ(s)

ζ(2s+ 1)

ζ(2s+ 2)ζ(4s+ 2)Z₁⁽²⁾(y,2s+1) となりZ₁⁽²⁾(y,2s+ 1)は s= 0 で simple pole をもつ．Kroneckerの極限 公式より

Z₁⁽²⁾(y, s) = 1

2(4 dety)⁻¹² { 2π

s−1+ 4πα(y) +O(s−1) }

と書けるから

F_2,1,0⁽²⁾ (z, s) = 1

ζ(2s+ 2)ζ(4s+ 2) ·2^−4s−2π²det(y)⁻¹²

·{

−1 2s −(

2α(y) +γ− 1 2

)

+O(s) }

. 次に

F_2,2,0⁽²⁾ (z, s) = dety^sξ₂(y,0₂;s+ 2, s)S₂(0₂,2s+ 2) である．ここで

• ξ₂(y,0₂;α, β) = i^2β−2α2^{5−2α−2β}π³Γ₂ (

α+β−3 2

)

Γ₂(α)⁻¹Γ₂(β)⁻¹

· det(y)^32−α−β

• S₂(0₂, s) =ζ(s−2)ζ(2s−3)/ζ(s)ζ(2s−2)

となるから

F_2,2,0⁽²⁾ (z, s) = 1

ζ(2s+ 2)ζ(4s+ 2) ·2^−4s−2π²det(y)⁻¹²

·{ 1 2s +

(

log 2π+ 2γ−5 2 − 1

2log dety )

+O(s) }

. 2 したがって

F_2,0,0⁽²⁾ +F_2,1,0⁽²⁾ +F_2,2,0⁽²⁾

−→1− 18 π²√

dety (

α(y)− γ

2 + 1− 1

2log 2π

√dety )

= 1− 18 π²√

dety (γ

2 + 1− 1

2logy12

4π −log|η(w_y)|²) .

次に第２列の計算．

• F_2,1,1⁽²⁾ −→ −24

∑∞ h=1

∑

q∈Z^(2,1)prim/±1

σ₁(h)e(z[q]h)

• F_2,2,1⁽²⁾ −→ − 36 π²

∑

h∈Λ2

η₂(2y, πh; 2,0)σ₀(cont(h))e(σ(hx)) ここで cont(h) := g.c.d (h₁₁,2h₁₂, h₂₂).

証明のあらすじ: 定義より

F_2,1,1⁽²⁾ (z, s) = dety ∑

0̸=h∈Z

∑

q∈Z^(2,1)prim/±1

ξ₁(y[q], h;s+ 2, s)S₁(h,2s+ 2)e(x[q]h).

ここで

• α >0のとき ξ₁(g, h;α,0) =

{

i^−α(2π)^αΓ(α)⁻¹h^α−1e(igh) (h >0) 0 (h <0)

• S₁(h,2s+ 2) =ζ(2s+ 2)⁻¹σ_−1−2s(h)

であるから

F_2,1,1⁽²⁾ (z, s)−→ −24

∑∞ h=1

∑

q∈Z^(2,1)_prim/±1

σ₁(h)e(z[q]h)

= −24 ∑

0≤h∈Λ⁽¹⁾₂

σ₁(cont(h))e(σ(hz)).

ここで

H(∆) = the Kronecker-Hurwitz class number

とし，H(0) =−₁₂¹ とおく．またdisc(h) =−4 deth とすると結局 F_2,1,1⁽²⁾ (z, s)−→288 ∑

0≤h∈Λ⁽¹⁾₂

( ∑

d|cont(h)

d H

(|disc(h)| d²

))

e(σ(hz))

と書ける．

次にF_2,2,1⁽²⁾ (z, s)の計算．

F_2,2,1⁽²⁾ (z, s) = dety^s ∑

h∈Λ⁽¹⁾₂

ξ₂(y, h;s+ 2, s)S₂(h,2s+ 2)e(σ(xh))

である．

h=t[^tq], q∈Z^(2,1)_prim, t= cont(h) と書くと

S₂(h, s) = ζ(s−1)ζ(2s−3)

ζ(s)ζ(2s−2) S₁(t, s−1) = ζ(2s−3)

ζ(s)ζ(2s−2)σ_2−s(t) であるから

F_2,2,1⁽²⁾ (z, s) = 2²π²dety (

Γ(s+ 2)Γ(s+3

2)Γ(s)Γ(s−1 2)

)₋1

·ζ(4s+ 1)ζ(2s+ 2)⁻¹ζ(4s+ 2)⁻¹

· ∑

0̸=t∈Z

∑

q∈Z^(2,1)prim/±1

η₂(2y, t[^tq]π;s+ 2, s)σ_−2s(t)e(tx[q]).

したがって

F_2,2,1⁽²⁾ (z, s)−→ −36 π²

∑

h∈Λ⁽¹⁾₂

η₂(2y, πh; 2,0)σ₀(cont(h))e(σ(hx)).

2 最後に

F_2,2,2⁽²⁾ (z, s)−→288 ∑

0<h∈Λ2

( ∑

0<d|cont(h)

d H

(|disc(h)| d²

))

e(σ(hz))

− 72 π³

∑

0̸=disc(h)=2

η2(2y, πh; 2,0)σ0(cont(h))e(σ(hx)).

証明のあらすじ：

F_2,2,2⁽²⁾ (z, s) = det(y)^s ∑

h∈Λ⁽²⁾2

ξ₂(y, h;s+ 2, s)S₂(h,2s+ 2)e(σ(hx))

であった．

まず

lims→0ξ₂(y, h;s+ 2, s)̸= 0 =⇒ h >0 or disc(h) = 2 に注意する．これは次の理由による．

h の signature を (p, q) とすると (p, q) = (0,2) =⇒

{

ξ₂ vanishes ats= 0

S₂ is holomorphic ats = 0 (p, q) = (1,1) =⇒







ξ₂ vanishes at s= 0

S₂ is holomorphic at s= 0 except for disc(h) =2

そこで和を２つに分けて C₁(z, s) = dety^s ∑

0<h∈Λ2

ξ₂(y, h;s+ 2, s)S₂(h,2s+ 2)e(σ(hx)) C₂(z, s) = dety^s ∑

h 0̸=disc(h)=2

ξ₂(y, h;s+ 2, s)S₂(h,2s+ 2)e(σ(hx))

F_2,2,2⁽²⁾ (z, s) = C₁(z, s) +C₂(z, s) 0< h∈Λ₂ なるh について

• lim

s→0ξ₂(y, h;s+ 2, s) = 2⁴π³det(h)¹²e(iσ(hy))

• lim

s→0S₂(h,2s+ 2) =ζ(2)⁻²π|disc(h)|⁻¹² ∑

d|cont(h)

dH

(|disc(h)| d²

)

だから

C₁(z, s)−→288 ∑

0<h∈Λ2

( ∑

0<d|cont(h)

dH

(|disc(h)| d²

))

e(σ(hz)).

次にC2 について計算する．D=D0f² に対して F(s, D) :=∑

d|f

µ(d) (D₀

d )

d^−sσ_1−2s (f

d )

とおくと，S₂ の explicit formula より S₂(h,2s+ 2) = ζ(2s+ 1)

ζ(2s+ 2)ζ(4s+ 2)

∑

d|cont(h)

d^−2sF (

2s+ 1,disc(h) d²

)

と書ける．ξ₂ をη₂ で表し，S₂ を代入すれば C₂(z, s) = dety^s·2²π³² 1

Γ₂(s+ 2)Γ₂(s)

ζ(2s+ 1) ζ(2s+ 2)ζ(4s+ 2)

· ∑

0̸=disc(h)=2

η2(2y, πh;s+ 2, s)

· ∑

d|cont(h)

d^−2sF (

2s+ 1,disc(h) d²

)

e(σ(hx)).

したがって

C₂(z, s)−→ − 72 π³

∑

0̸=disc(h)=2

η₂(2y, πh; 2,0)σ₀(cont(h))e(σ(hx)).

2 まとめて次の定理が得られた．

定理3.1 E₂⁽²⁾(z,0)の Fourier 展開は次で与えられる：

E₂⁽²⁾(z,0)

= 1− 18 π²√

dety (γ

2 + 1 + 1

2log y₂₂

4π −logη

(y₁₂+i√ dety y₂₂

)²)

− 72 π³

∑

0̸=h∈Λ2 disc(h)=2

ε_hη₂(2y, πh; 2,0)σ₀(cont(h))e(σ(hx))

+ 288 ∑

0̸=h∈Λ2 h≥0

( ∑

d|cont(h)

d H

(|disc(h)| d²

))

e(σ(hz)).

ここでεh :=

{ ₁

2 if rankh= 1 1 if rankh= 2

.

参考文献

[1] T. Arakawa : Dirichlet series corresponding to Siegel’s modular forms of degree n with level N. Tohoku Math. J., 42 (1990), 261–286.

[2] A. Haruki : Explicit formulae of Siegel Eisenstein series. Manuscripta Math. 92 (1997), 107–134.

[3] G. Kaufhold : Dirichletsche Reihe mit Funktionalgleichung in der Theorie der Modulfunktion 2. Grades. Math. Ann. 137 (1959), 454–

476.

[4] W. Kohnen : Class numbers, Jacobi forms and Siegel-Eisenstein series of weight 2 on Sp₂(Z). Math. Zeit. 213 (1993), 75–95.

[5] H. Maass : Siegel’s modular forms and Dirichlet series. Lect. Notes Math. 216, Springer Verlag 1976.

[6] S. Mizumoto : Eisenstein series for Siegel modular groups. Math. Ann.

297 (1993), 581–625.

[7] S. Nagaoka : A note on the Siegel-Eisenstein series of weight 2 on Sp₂(Z). Manuscripta Math. 77 (1992) 71–88.

[8] S. Nagaoka : A note on the Siegel-Eisenstein series. Proc. Japan Acad.

71 (1995), 233–234.

[9] S. Raghavan : On an Eisenstein series of degree 3. J. Indian Math.

Soc. 39 (1975), 417–476.

[10] G. Shimura : Confluent hypergeometric functions on tube domains.

Math. Ann. 260 (1982), 247–276.

[11] G. Shimura : On Eisenstein series. Duke Math. J. 50 (1983), 417–

476.

[12] G. Shimura : On Eisenstein series of half-integral weight. Duke Math.

J. 52 (1985), 281–314.

[13] R. Weissauer : Eisensteinreihen von Gewicht n+ 1 zur Siegelschen Modulgruppe n-ten Grades. Math. Ann. 268 (1984), 357–377.

[14] R. Weissauer : Stabile Modulformen und Eisensteinreihen. Lect.

Notes Math. 1219, Springer Verlag, 1986.