PDF 仁I - Keio

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2019年10月7日小テスト解答

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行列を用いると

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が成立します．この条件は転置 I‑II=

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と同値です．任意のベクトルと正直なベクトルはゼロベクトルですから

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であることが分かります．以上から求める直交射影は ^←

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(7)

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４

の未定乗数法 Lagrange

… 軍 …

戸瀬信之

November29,2017

二一

︾一二

口司塁

垂一豊､OQG'

戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法 1／1

I

唾壷

制約条件付き極値問題

Uー

UをR2の開集合とする. 2関数

f,9:U→R

メノ11＝一○

が与えられているとき問題

」

r菰云万丁三励下でz=f(",")を極大化(極小化)する

「

I

̲‑.‑‑‑‑‑‑‑‑ 一‑−−−−」

I*I(制令面

ロ旬

﹄害一一

一一一

一弓二

二､OQO'

(8)

’

制約条件付き極値間題一例

MM‑<L 例1

9(",zﾉ)="2+zﾉ2‑1=0の下でz=f(",")=2"+z/

例21,p,9>0とする．予算制約 8

9(",z/)=I‑p −9"=0 (",">0)

の下で効用関数

一恥号縁引シf

1j(",zﾉ)=､/珂

を最大化する．この問題は第'財,第2財叫面格がp,qのときに,予算I

をすべて支出して第1財を錐,第2財をり購入して効用を最大化するとい

う問題である (*0m能吏1‑)

ﾌL

ロ罰ぷ

一一一Ｆ

三一二､OQG'

戸瀬信之1− Lagrangeの未定乗数法 3／1

陰関数定理

(q(C ¹ 定理

9(a,b)=0, 99(q,b)≠0

ならば, (q,6)の近くで{(",z/)EU;9(",")=0}は

繩, ,'＝｡

zノーや(鉛）

と表すことができる．

ユ

乱P出wwr 一F wv¥ず､好JJ軒

[．包云

一一

一二

OQO'

一一ｰ

(9)

’ ^ずひ杏

陰関数定理一例

1=いゞ

(9rC 単位円

9(",")="2+1ﾉ2‑1=0 上の点(q,b)において考える。

b>0のとき

）

ツー､/'一錘2

一一→（、、

b<0のとき

〃＝−､/1−錘2

ロ匂

一一一一一

三一三､OQG'

戸瀬信之 Lagrangeの未定乗^数法 5／1

1

解法

9(q,b)=0, 9IJ(q,b)≠0

を仮定して,陰関数定理を適用する.(q,b)

の近くで

ツーや(鉛）

と曲線9(",")=0を表す。

(や} ）

（

＝了、や（て）

1．

･t=ﾐｰｰ−−つ ^[、

(q,b)で極大（極小）ならば

F(t)=f(t, <P(t)) とするとF'(α）＝0が従う．

一一一一計一﹃一一一ロ罰､OQG^一^三^一一

(10)

Fけ､亀丁

Frt十'要十淫いい

■

tLIT1，3[+')"z

7 十､）報｛

^陰１ヨ

霊，蔓塞騨密溺霧籍蕊鰐… 鴬響鯉惑誕

解法(2)

竿等

《…

）

;(xlf),》崎))0ﾉｨ.f) ジ

ChainRuleを使うと F(‑tﾉ＝j.(c/r(千ノ

F'(t)=fc(t,(P(t))･1+九(t,(P(t))･P'(t)

から

0=F'(a)=fh,(q,b)+ん(q,b) ･や'(α）

が分かります．さらに9(t,P(t))=0の両辺をtで微分して

(q《冬）

、、

{、t(r(億､）

g"(t,<P(t))･1+9"(t,P(t))･ <P'(t)=0

O

‑W (E定

から

〆

<P'(cM)=0すなわち ,'(")=‑g"("｡Q

99(q,b)

ダ

9"(q,b) +9IJ(q,b) ^{。 I}

ー

一

が分かります．

ロ母

一毒邑

一壷一

二､OQG' 7／1

一己哺項

戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法

！ ■■■■■

(P'(Q)の別の求め方 ^醤

(q,b)における曲線9(",zﾉ)=0の接

線は

g"(Q,b)(鉛一α)+99(a,b)(ツーb)=0 であるが, 99(q,b)≠0から

：:鯛("‑"'+

ツー二一

となる．

接線の傾きを考えると

"'(｡)=‑9"<@｡.)

99(q,b)

口毎 ^窒 ^死 ^一 ^一 ^一

一一一一一､OQO'

戸瀬信之 Lagrang^e の未定乗数法 8／1

(11)

＝

熱

醗努面壁 …竺伊坐…麹j匂i即f…産……

噺解法(3)

ｊｊｂｂ７︐ααくＩ錘Ｕｇｇ

た(q,b)+jij(Q,b) ^● ^二＝＝− ^{を代入して}

１４吋

Ⅲ Ｈ１Ｊ

器一

一／九一一言﹁Ｍ一

九(q,b) ^=二0

を得ます．ここでLagrangeの未定乗数ミハ

入＝−型

^(m,b)

gg(Q,b)

を定めると

｛洲土熱り

が導けます．了栽瀝〕、、､肝喧

０００

二＝＝

(L)

二二二

：＝＝

唾

︷抑

︒

一再一一墨

ロ罰

一一一一一､oQG'

r

藩＝＝＝＝

山一毒』』竪二謡一

定理

9(q,b)=0,99(a,b)≠0を満たす(cm,b)EUにおいて制約条件付き極値問題が極大値（極小値）をとるとします．このとき(L)を満たす

入ERが存在します．

届

口包 ^、＝ ^三 ^三二 OQG'

(12)

｜

煽匡 ,例

問題9(",")="2+"2‑1=0の下でZ==ノ( ,z/)=2"+z/

(錘,g)で極大(極小）とすると 3，L＝z，(′ 31＝匙3− 丁,し＝匙，ナrl

｛

^１ ^{( ）}^(〃）⁽ⁱ⁾

入入十．︒〃２２２躯Ｕ︾

２鉛

＋＋

２１０００

を満たす入ERが存在します．入==0とすると(i)が2=0となりますから，入≠0です. (i),(ii)から

1

鉛＝−スツ

１｜羽

〃

(iv)

となりますが，これを(iii)に代入すると

罪一一壺匡

一一一房

一一一一一

句､OqG'

■■

＝例

吟−

＄､=二

手ハエ

11

兎十亟画＝，から入＝士塑

¹ ¹ ²

̲L ニヱー'L

となります. (iv)に代入して _＞、 _侭

錘＝干而，ツー干而，入＝士空（複号同順）

² ¹ ²

口罰弩 ^一一^一^︽^一 ^＝三 OQG'

(13)

)(qif ）

▽(3)cqLc)十 i>Io(6 ^)[q(G)

荊冑､鴫(1，

ゴ）＝。

夕

〆

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才(，いい豆x十z啓司秀こる．

苛念尋圭,≧藷克"停恕迄、莱糾葛を覗恥，