PDF 抑－一型群一 Q〜 I - Keio

一 つＩ

｜

一

型群一

Ｑ〜 ︒ レジ

抑

− 一

一

一

︑ ６ ｌ

Ｉ

ｂ

＄

2平面の交わり ・ベクトル積

−

NobuyukiTOSE

Apri l 2312019

ﾕﾉｭ。

2平面③交わり・ベクトル積

Ⅲl』bdL,1，↓』｣, 丁弓喀

2枚の平面が定める直線

座標空間の点(x,y,z)が方程式

,）

｛[÷‑封戸三一会一三

を満たすときx,yをzで表しましょう．

ｊｊ

ｌ２

ｉｉ

吟伊

｛

ｙｙ

ｌ２Ｉ

ｚ

１１ ＋十 ｚ︵ど

x+y x+3y

5二二

二三二

￨彊

とxとyの連立1次方程式とみなします．

れをクラメールの公式で解きます．

＝2≠0であるので， こ

2平面⑱交わり・ベウトル稲 ^Z/ID

｢･】,､I1L1ﾘ￨』1％T、罰

恥罵

^1国戸

過に；、 ．L ･I調！ ） 式 、

‐ 一−

1郡 ノr 、(に

' 二 1

画

︾

﹃β﹄

Q1 ^−、

(い,い & （、'）

一一

へａ

−

1 謹湖‐

LZ)

︐と︾Ⅵ

illf

／

(表ミヤ ャ崎

^﹃〆︶

﹃仏

１１

’

→−，

"C

￨言怠⑦rl

^{＝ ｛}

I

﹃瓜

{意呑I

I

正 吏武'1連 QI= (AI Qi") / Iba(6, 6L ）

−

﹃︒

Ｉ

﹃もＬ心印

一

一一画

一︾

１ １ もｌ

﹁

α川や

﹃ＧＩ Ｉ

仇．︵低一一一一

い＃平０

も或 七＋ 氷又 ａＣ

賭キ。

、§二 ｜

(巻ノ

／／

2枚の平面が定める直線(2)

坐ｐ

一一

ムメ

￨,満￨,9

﹄

１

−

ボ

ー ーノヮ

１

４︑ｊ ＋２

ｚくｚ

２１２ １１

１ｊｚｊ＋Ｚ

２１

十

１１

ｉｊ

叫ｌ副︲−１Ｚ ３ｚ産哩 ｚ産︑副叶叶壬

１

＋十＋〃！ １１１ 一／Ｉ１１１ １１１１

１−２１−２１２１２

×ｙ

2平面の交わり・ベクトル積 ｮ／'0

｢'1 LⅧl TC5

2枚の平面が定める直線(3)

ベクトル表示をすると

（

（

2

）

＋｜ＺＺｚ

くＩ

１２１−２

１

） (》

１１

４２＋ ｚ言竺

2三三

(i)

が方向ベクトルである直線

となるので(2,‑1,0)を通り

が分かる． これは(1)が定める平面と(2)が定める平面の交わりがなす直

線であることが分かります．

4/｣d

￨ z平面⑱交わI｣ ・ベクトル稜

1J ｜山t血1．罰画

点(2,‑1,0)は

x+y‑ z=1…(1)

を満たす． これから

‑i‑

罪｝

×

） 2

1 ･ ･ ･(1)

1 ｚ︵Ｕｌ＋ 己＝三

目＝二

（×−2) + (y+1) ‑z=0 ･ ･ ･(1)' となります． (1)'は

(i,)(E;)=0

2平面の交わり ･ベクトル積 日／犯

Ⅱ, ' ｜ TI1 TE隈

平面の方程式(2)

｝

1

）

1

（

−1 で(2,‑1,0)を通る平面であることが分かり (1)は法線ベクトルが

ます．

5／1．

Z平面、交わり ・ベクトル頓 l:l‑L且 !u」 ‐1 C3E

べｸﾄﾙ(#)は平面(')と平行であり，

平面(2)とも平行である． これから

L）

7／10号 ベクトル積

（ 3夛艮 '隅 '式）

2平面の交わり(2)

I ￨重愈￨ヰ。

DR

I:Lttlｷ。

でもTI《

2平面の交わり

｛:湖鯛割

鍔葱扉,……』ﾙにっ

ｊｊ

ｌ２ｉ

③簔 ｡‑(;）

^≠0→

I

→

pl=

−

−

が成立するとします． さらに

〜し もも

Ｉ２ ｑＱ １１

’

冒二

，

を仮定します．

B/10 1￨

■ 2平面の交わりﾕぺｸ上上空

cﾔ(x+‑e[3== 一Cl2十D<I

qq̲)しずe11=￨ ￨‑GL七や｡《

I

。<，

伽・ "， （

／ ＝一宮 ）

／

e1ez

￨Z,X

ー

Ｉ Ｉ

／ 剛

2平面の交わり(3) ／〜

^{＝ 一一}

／ ／

クラメールの公式を用いて

１−︐

× １２ｂｂ_ｑＱ

α1 α2

結果をベクト

にネ

ニユ 1

y=万

す． さら ことによ

１｜︐

al -clz+q1 a2 -c2z+ol2

にt=:舌とパ与

って

とパラ

１２ａａ

二二二一

メータ睦定 が従いま

ルで表す

込工 I

１２１２ａαａａ １︐ムロαａ １２１２

｜

億 ） （

^{十 １−︐}

／ 0

タ表示される．

と2直線の交わり

I z平面の交わり ・ベクトル積 9／10

l I l lIH IQ5と

、二，

←

」

2平面の交わり(4)−ベクトル積

^﹁︹

／ ￨龍' 1

．×,．←‐￨蝿｜

^{→ →}

（職￨ ノ

をβ,と庫の外積（ベクトル積） と呼びます． このとき

一、 −1

RxPz

β,｣̲βi×座, "̲L6,×座

E ？' T脾 2平面の交わり ・ベクトル酒 、／1日

！ 3二 間T" てf孔繩､してT､‑

^{〜 ー}

3 、

ぺ 剖

や《夷ら

③I (i {xT･ ‑e《さ÷ CI､= o< ' い}

Gい〔十一eLj‑I CZ̲モミ o<2

^（し1

両

^キ。→

と式、

ｌ Ｒ

Ｏ

旬吃

弍へ作葡りり

○

し＃ １ １Ｌく ｃｃ外﹃Ｒ過 Ｉ︐Ｌ﹄ １町目鼻 ｑＧ

之

１

Ｑ︑へ︿ＪＯ

今・

臥実

○

式景詩Ｌ Ｉ式⑲×

Ｃｌシ

ｆ６Ｔサヘ︑岡

Ｉ

e, c{ ･ez̲ QL 吟 I､o,

⑪貢,,豆 （− 三 I } 室 I ￨ ==o 、

〈江へ> 偶朴 ￨=￨ 劇I ql ） ） ・

ql

（を， 1 通 印‑平⑤ （e≧ (;;

Lr飼 い） と(1‑)w

） ）

式（

と求めます

／ 一、

V次の3点A,B.Cを通る平面の方程式を求めましょう (1)A(0,010),B(1,2,3),C(4,5,6)

L(2)A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4) (3)A(1｡2,3):B(‑1.‑1:0),C(21‑3,5)

、

ノ

解答以下では

(鳥)， =(#）

→

〃＝

に対して

と面と の外積を定めると

が成立することを用いています． これI (1)

《

から原点を通り法線べｸﾄﾙが(+）

であることが分かります (2)

(3）

は平面を表して，与えられた3点を通るので， これが求める方程式となります

甦剛純)燕‑(洲)‑(}）

即+1−㈲

（

﹃ｄｆｌｌｌｌ１

）

であることが分かります． これから求める平面の方程式は

‑17(必一 十(〃−2))+11(z‑3)=0 から平面の法線ベクトルは

となります

6

一

2019年4月22日小テスト解答

／ 、

I座標空間の点(",I/'z)ER3が

｛

１１１２１

1

−1

＋＋〃鉈

y 一 z

39 − 2z

:＝＝

：＝＝

』

を満たすとき範,yをzで表しましょう． クラメールの公式を用いましょう

、

解答(1)かつ(2)を

｛群ルニ̲輝:8リ

と鰯とりの連立 次方程式とみなします． ｜出￨＝2≠0であるので， これをクラメールの公式で解く

=‐

^{21‑1+2z1 1 1+z l3}

＝も{('千"j3‑(−1ﾄ ,}=;(計4）

,=;￨} ̲M‑:{L(‑'""1‑, ('+")}=;(:‑2)

^{1 11 1+z}

とZ,"をzで表すことができます．

注意問題の条件を満たす(",I/,z)を考えます．

と

１

１１４２＋｜ｚｚｚｌｌｌ−２１−２

／ｊｌｌｌｌ︑

(1)

ｚ｜ワ﹄

ﾆーー

から,条件を満たす点の集合が方向べｸﾄﾙ(#）

とについて講義でさらに深めます．

で(2,‑1,0)を通る直線であることが分かります． このこ

、

／

1I関数

Z="2−鉱I/+"2+2野一y

＝｡ー 上の点(0,0,0)における接平面を求めましょう．

、 ノ

解答

zz=2z‑Z/+2, Z"=一切+2Zノー1

から 一

z､0,0)=2, z'(0,0)="‑1̲1F

が分かります。 よって

z=2(範−0)‑(z/‑0)+0すなわち z=2z−y が求める接平面の方程式です．

、

f=j‑cx,:､ 。、 (q(t'! j (c'(e‑)) (二寂Ⅷ蒋卑砲

7

2=t,:(q(c)[エー｡､) ‑やす；(q(c)(1‑句÷j (q!c)

’

曲線の接線

，〔ユャV工−I=o

曲線Cが2変数関数gを用いて

g(x,y)=0 と与えられているとします．例えば単位円は

g(×,y) :=x2+y2‑1=0

3）

）

と表されます． C上の点Po(a,b)が与えられているときに, Cの

における接線を求めます．

Qエ十e3

^＝

14／10 接平面（砥'堰eI1tPIane）

｢, ￨ I ﾘt山T 宮

a(メーGLj+e,〔7−痕)=｡

(昼)半 (ﾒｰ．） V−G

1,ｪ,1)=I

曲線の接線‑3次元的には

｝ ^＝。

2=$cx,U)

z=g(×,y)

/−−ヘ

(a,b,0)で考えると

;『湖)＝。

をｂ

７

１１

６２

)･(x‑a)+g),(a,b)･(y‑

（

Q(Cl

となります．

接平面とx−y平面の交わりは× ‑y座標では ^C虻〆

3

^{4 。}

）

g><(a,b) ･ (x‑a)+gj,(a,b)･(y‑b)=0

となります． これは接線の方程式となります．

｜ 楚平面(T泡埋唾nkF画I巳〕 1岳／釦

tUL山叫uL −Iし制世

そ＝＄

^凡メダ

､

子〜3 血

１４

〔 フィo)

(q! ､e,。）

〜

0

2=1,<(q!c.)[x−c､‐1−

M

一一〜

‑r :3(41 81(3‑LH‑3(",6)

o= 1,(ccirE,) (x− 十33(q( ‑6､> (3‑e‑)

GradientVector

方程式(2)は内積を用いて

（:剛

Ⅷ

と表されます． ⁻

(茸： 3 ）

これからベクトル

マ( ﾙ｡ ) :‑(:鯛）

が接線に垂直であることが分かります.v(9)(a,b)をgの(a,b)における 勾配ベクトル(gradientvector) と呼びます．

16／加 接平面（涌ngm'tPIane)

111,北』, !Ⅲ, q， ・1． ]f

1'､cJDIQ，

GradientVector‑その'可きは？

▽("lIflD1 ）

勾配ベクトルはgが大きくなる方向に向いています．登っていくときに

最もきつい方向です．

愚平面何討咽enEPInne） ｴ7／麺

F lnhuT,､￨町

，(;7：

例

単位円g(x,y) :=x2+y2̲1=0について考えます･ gの偏導関数は

gX=2x, gy=2y

ですから， したがって単位円上の点(a,b)の接線は 2a(x‑a)+2b(y‑b)=0

となります．

接平面WTan9a3tPbhe) ﾕBノユロ

IInl， 刷HT串q

8

^一一

;c'w)

二二つ

ｸc−7卑晶

陰関数の微分

曲線cが(a,b)の近くでy=P(x)と表されていて, gy(a,b)≠0が成立 するとします． このとき(a,b)における接線は

：鰐(源一｡)+

y=‑

となりますから，接線の傾きを考えて

州=‑:鰐

であることが分かります．例えば曲線(単位円)g(x,y)=x2+y2‑1=0 をb>0を満たす(a,b)で考えると，曲線は直接的には

y=(P(x)=､/1‑x2

と表されますが，

'(副)=‑差=‑；

が成立することが分かります．

接平面（T品向呂、上Phn且） 理ﾉｭﾛ

｢. ｜ lmLlhlh l

｜

限界代替率(MarginalRateofSubStitution(MRS))

消費者が商品A,Bをそれぞれx,y購入するときの効用が効用関数"(x,y)

で与えられるとします．

このとき

u(×,y)=u(a,b)

を(a,b)を通る無差別曲線(IndifFerenceCurve) と呼びます． このとき

(a,b)における限界代替率(MarginalRateofSubstitution) を

′×(a,b)

MRS=

uy(a,b).

と定義します. Aの購入量をaから微小量△xだけ効用一定の下で（無差 別曲線に沿って）増加させると,MRS×△xだけBを減少させることに なります．

接平面（面嘔蛙ntPlane） zロ／zロ

『11‐｜ lJmlk1T＝

2行の行列

(爵) =(:)㈱ (:）

→

a＝二

→

C二＝

第1列 1,2)成分

ウヂ23！

鯛 I

"‑(")12行2列の行列）

侭5 )‑(::鯉)(2行3列"行列）

、

^第2行

ﾖﾉ･'5 2次正方行列(No.1)

Ilr1 tj､ ･IlNl lr■F

行列×列ベクトル

(55)(7)=x5+y5=x(3)+y(:)‑(":) IK Iくるいf‑&‑､〃

(355)(#)=%5十y5+z5=x(2)+y(2)+z(2)=("":)

連立1次方程式の表現は次のようになる．

｛

^{ｌ２ ｙｙ}

６６＋＋×ｘｌ２ａａ

二；今x/y5=(:)‑(")(;)､;)

{:期；軽二：−…ｾ =(;)‑(蝿)(§)=(;）

注詐5)(;)=x3+y5, (調で)(#)=x5+y5+'では罰,5,EE⑧卿亨

定義できる．

iRo卜に

2次正方行列INn.1) 4／15

￨ ,｣Ⅱ1 ， 』』｜ T尋品

ＪＬ

︑ｌヨ

2次正方行列(No.1)

NobuyukiTOSE

MSF2019,Apri l30￨ 2019 (平成最後の講義）

fI 上山hl丁轌 Z次正方行列(No.1) ユ／ユ目

行列の掛け算

1行ベクトル×列ベクトル

（鳥)=｡"手麺

(a, a2)

③‑,……

(a, a2 a3)

(;W) (q( QL)

＝1

１Ｊ

鞄鞄︒：湖

ＩＩ

）

(a' a2

^{■ ｡ ■} an =alxl+a2x2+・ ･･+anxn

fp Ixn/

IR､､)× h衆偏へ…ﾗﾄ ‐今圷の喜令

z次正方行列(Nd.1I コノ15

P ｜ I君LlqlhLE 「 ヨE

3行の行列

催) ‑(勘＝③

→

a＝二

に対して

(；)＝

(W)‑

(55）

^{=x3+yb＝xa＋yb→}

(｡, )(；）

(蘂堕)(;）

(．｡")(；）

Ｉ︑冬

ｅ６角

）

八Ａへう

(;） （ ）

切比島ｙｙｙ＋＋＋１２３ａａａＸ又×

(爵）

X +y ^{二＝＝ ﾆーニ}

E/'E ￨ 2次正方行列(No.1)

￨ , ￨,．1 ，J,JL掘， 1．お里

3行の行列(2)

②

(冒5ウ

チ

僅)寺,(;)非ゞ(§）

→

=x3+yb+zE=x

︑１１Ｊノｑの亀Ｚｚｚ＋＋＋幽幽池十十十罰趣奄

Ｉ

Ｌマヅー

＆Ｑ ｌＬ竃︾ Ｅゼゼ

ー︑く式︾

ｑ︑ＱＧ Ｉ

:＝＝

1

2次正方行列{NIj.1) ロ／ユ且

f1MIILnmkT 瑞【

2次正方行列の積

(:::)｡ γ=("1−（' 鮒）

〉くず／ x:･ 3(S

‐

詮T俵

→

x=(3b)=

に対して

仇比仰煙い煙

↓６陸陣／Ｊ１︑／１︑

司煙十十帥助 獺偲心い

Ｘ

ＹⅡ・ ｜ｂ や／

, 3

+ p

2 6

﹃Ｇ

べ GA +

F1 PL

一

→ 一

9'3+q2b) '5＋p2b q'a＋q2b）

'lal+p2bl qlal+92bl

）

91a2+p2b2 qla2+9262

(M) ("bJ(M)

）

(a,6')

（:ルュ 2)(::）

(a2b2)

7／1日 2次正方行列(No.1)

N凸凹製uhlT1週畠

ｐ

︾

Ｑ

一 一 ｊ

ｌ

Ｍ司寸 １Ｊは

一 一

Ｙ ︵×

１１３

踊

×写"）

行列の積の基本性質

線型性

X(5+9)=Xp+X5, X(入β)=A(x6)

↓ｑ↓６Ｘｊ

唖十

一↓ｐ

十Ｘ 伽二↓北 ＋↓句座 頂戦いｊ 岨十十率 廿娠娠ｊＭ

ｐｒｌｐ↓ｂ一一

斗叶い低訓 ↓ｂ｜入煙 １２

軌恥ｐ︑−ノ＋一

僻計蝿呵耐 ＸいＸ刈刈 妬柘止Ｌ

工次正方行列〔随回､]】 B/'5

1,1, ｜ lJdpml ・I副gE