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偏微分係数と極大・極小の必要条件

NobuyukiTOSE

April"2018

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傷微分係数と極大･極小の必要条件 1／zロ I･ l pIl ln･P』｜】弓置

」

￨ﾐｸﾛ経済学における基本的な問題

ミクロ経済学では最初に以下の基本的な問題を学びます．

o生産理論(ProductionTheory)

･消費者理論(ConsumerTheory)

傷微分係数と極大･極小の必要条件 z/zO

r1Inh酌'dhu T口'gE

(2)

｜

生産理論(ProductionTheory)

生産物(product)Cが生産要素(productionelements)A,Bから生産されるとします. A,B,Cの価格はそれぞれp,q,rとします. AとBをそれぞれ xとy投入するときcがz=f(x,y)得られるとします．

このときf(x,y)を生産関数(productionfunction)と呼ばれます．またこの状況で利潤関数(profitfunction)を

T(x,y)=rf(×,y)‑px−αy

と定義します．

生産理論の最初のステップは，利潤関数汀(x,y)を最大化して生産要素需

要関数

x＝×(p,q,r),y=y(p,9,r)

を求めることにあります．

｜偶微分係数と極大･極小の必要条件 ^ヨノZロ

''1Flト『Ⅱ T 弓

」

消費者理論(ConsumerTheory)

商品(Goods)A,Bがあるとします. Aをx,Bをy購入するとき，消費者が効用関数(util ityfunction)"(x,y)の効用を得るとします．さらにA,B の価格がp,qであるとします．

消費者が予算/を全額消費してA,Bを購入するとします．ここでの問題は予算制約と呼ばれる制約条件

ノーpx‑qy=0

の下で"(×,y)を最大化して需要関数(demandfunction)

x=x(p,9,/),y=y(p,9,ﾉ）

と所得の限界効用(mariginal util ityof income) 入＝入(p,q,ﾉ）

を得ることです．

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(3)

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(5)

開集合の例

以下のR2の部分集合は開集合です．

eR2

④上半平面

", ;={(x,y)ER2;y>0}

･第1象限(1StQuadrant)

R4+:={(x,y)ER2; x,y>0}

・開円盤

（

QT2キSP

Br(Po) :､PER2i d(P,Po)<r}

7／犯属微分係数と極大極小の必要条件

hlohld,'HI T堵

開集合一反例

以下のR2の部分集合は開集合ではありません．

ePOER2のなす集合{Po}

●閉上半平面

Fi :={(x,y)ER2;yZ0}

●閉第1象限

恵手:={(×'y)R2; ×,yZ0}

●閉円盤

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(6)

半侭

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開円盤CT246p

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K

開円盤(OpenDisc)

r>0'Po(a,b)ER2に対して

Br(Po) :={PER2; d(P,Po)<r}

を中心PO,半径r>0の開円盤と呼びます．ここでd(Po,P)は2点Po,Pの距離です. P(x,y)

のとき

〃

一一一、

︑１１

P[:P）

1

(X−a)2+(y‑b)2 d(Po,P)=

」

注意今後「Poの近くで〜」という言い方をしますが，これはある正数 r>0に対して

任意のPEBr(Po)において〜

■微分係数と極大･極小の必要条件 ^5／Zロ

NDll ,｣qJ上jkィ 1

｢」

￨開集合(OPensubsets)CT246P

〜

価

とします. Uが開集合 Lr Uに対してr>0が存在して

Br(Po) :={PER2; d(P,po)<r}cU ,､(P、）

が成立することです．

注意Uの任意の点POの周りがUに含まれているということです．

侭微分係数と極大･極小の必^要条件 ^5／20

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(7)

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(9)

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2）閉七千平面

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(10)

補足｛い、←(和

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(11)

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(12)

PaltialDifferentiation

R2の開集合〃上の関数

f: 〃→R し

Cx/tj> I‑−−､jfx,3)

が定義されているとします

Po(a,b)EUに対してxの関数 F(x) :=f(x,b)

をX=aの近くで定義できます．さらにy の関数

G(y) :=f(a,y)

をy=bの近くで定義することができます．

6

個微分係数と極大･極小の必要条件 g／麺

N･I 旧h 7

PartialDifferentiation

この状況で，定義の中の極限が存在すれば, Xとyに関する偏微分係数を

F(x)LへJ−FLQ)

F(｡､）

− 二二

&(a,b) :=F'(a) 、ｰ X−ﾅa X−a

f(a,y)‑f(a,b) フー→Qへフc一c，

4(a,b) :=G'(6)=lim

y→b y−b

と定義できます．

Et(1)‑G(e.)

3−途

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1‑se

'0／和

｜優微分係数と極大･梗小の必要条件

『』伯&｡｢ITb l

(13)

」

PartialDifferentiation‑Anexample

R2上の関数

f(x,y)=x3+2xy2+y3 について考えます. (alb)ER2の周りで考えるとして

F(x) :=f(x,b)=x3+2×62+63,G(y) :=f(a,y)=a3+2ay2+y3

と定義します．このとき

F'(x)=3x2+262, and G'(y)=4ay+3y2

から

f<(a,b)=3a2+2b2, i,(a,b)=4ab+362

を得ます．

｜ ■微分係数と極大･極小の必要条件皿ノユ、

nM, j, ， , ！『OS

−−−1

ｰ一七

c、ぐ‑‑s,C‑ c･eS ‑e−

1変数の極大点（極小点）一定義

開区間]a,6[上の関数f: 1a,6[→Rが与えられているとき fがt==cで極小(resp.極大）

今ある6＞0に対してfが1c‑6,c+6[上最小(resp最大）

ー

今ある6＞0に対して

f(t)Zf(c) (c‑6<t<c+6)

c、m､'rf

^{. l .}

(昂

^P

）

resp.f(t)≦f(c)

一紅

イ −−

6

t=C

Ij l I l TI]垂傷微分係数と極大･極小の必要条件狸／

非虫〈，手山痕

(14)

1変数の極大点(極小点) CT104‑105ロ

Q （一セエ

微分可能な1変数関数の極小点（極大点）に関する次の定理を紹介します

Theorem

微分可能な関数f: 1a,bl→Rがあるとします． fがcE]a,b[で極小（極

大）ならば

f'(c)=0

』

注意これは中身を理解して欲しい定理です．

▲=三一一アー＜‑−

｜傭微分係数と極大･極小の必要条件ﾕﾖ／即

Ⅱf]ﾄ,､， 11卜 1．C弓

U

Minimal (Maximal)PointsCT268p

P,｡! RI) z,､晶､j ､

R2の開集合(ﾉ上の関数

f: U→R [｢､岬ボ瞳）

に対して, fがPo(a,b)で極小(resp極大）であるとはある6 ゞ在して

f(×,y)≧f(a,b) ((×,y)EB6(Po))

〜

(resp

f(×,y)≦f(a,b) ((×,y)EB6(Po))

〔弐

61

）

が成立するときです．

｜煽徴分係数と極大･極小の必翠条件 ^14／2ロ

M1jI Ml．『

(15)

Minimal (Maximal)Points-TheoremCT269p

R2の開集合U上の関数

f: U→R

がUの各点PEUでx,yについて偏微分できると仮定します．

Theorem

fがPo(a,b)E〃で極小（極大）ならば

f(a,b)=4(a,b)=0 (1)

』

が成立します．

この状況で(1)を満たす点Po(a,b)をfの停留点と呼びます．

望／

｜傷微分係数と極大･極小の必要条件

NhhM』 Iト 11日弓

l

Minimal (Maximal)Points‑Sketchofproof

fがPo(a,b)で極小とします．このときF(x)=f(x,6)はX==aで極小と

なります．実際

f(x,y)之f(a,b) ((×,y)EBJ(Po))

から従っ

とな

であ気

鱈垣一

特z鞘

15ノ気

｜侮微分係数と極大･極小の必要条件

咄1F1｣､'$I』J 「

(16)

」

Minimal (Maximal)Points‑Anexample

関数

f(x,y)=x2+4xy+2y2‑6x‑8y

q■■ ー

について考えます．

０８６０ −００

０｜｜勺一一

十６十８１−１− ｙｙ・ｙ４４×４ −−４一斗イト斗ｘＸ一ｘ２２０４１ｊｙｙｘｘｉｉｆり

を解くと, (x,y)=(1,1)がfの唯一の停留点であることが分かります

ｰ謂露丁悪電･極小の必要条件 z7/20

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｜

クラメールの公式CT205‑206p

一

工い

連立1次方程式

｛群％二

を考える･ yを消去するために(1)×．

式

･･ (1)

…(2)

×bを考える．

a

β

+bdy +bdy

αd βb adx

bcx

:＝＝

‑）＝＝三

(ad‑bc)× ＝αd−βb xを消去するために(1)×c‑(2)×aを考える．

α即Ｊ︑ａ

＋＋ａａａａ

αC

βa

ﾆーニ

‑） ^二二二

(bc‑ad)y=oIc−βa

偶微分係数と極大・極小の必要条件暉／ZO

￨ lJ トu,｣咄，T⑪弓

(17)

行列式・クラメールの公式

一

行列式

これを用いると

特にD:=￨:31≠0のとき

⑬: '一吉： ③

1

x＝万

これをクラメールの公式と言います．

ト' ･' ・u 1lkT,癌｜傷微分係数と桶大･極小の必要条件 19／調

クラメールの公式一例

｛融iリ麺

を解きます．

。=￨: :'‑24℃ =‑8≠

からクラメールの公式が適用できます．実際

１１１１８８くく

１８１８

１１４６８４４８６２

１１８１８

X:二二一

y=‑

傭微分係数と極大･極小の必要条件加/釦

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