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基礎解析学１ (S3)  2011-04-12 ^（ 2011-06-11 ^{改訂） 正誤表} . i

正誤表 : 南和彦『微分積分講義』 ( ^裳華房 , ^第 1 ^版第 1 ^刷 )

※ この正誤表は完全なものではない;他の誤りに気づいたら知らせてほしい.

※ 大学以上の専門書にはミスが少なくない;訂正できる編集者が少ないから.

※ ミスを訂正しながら読むのは読者の仕事;訂正力に応じて数学力もアップ.

全体

例題: (^誤)^{各節の最終小節に続く} (^正)練習問題とともに各節末に独立させるべき

※ 番号では, ‘9’^が‘^章’, ‘9.9’^が‘^節’, ‘9.9.9’^が‘^小節’; ‘^章’>‘^節’>‘^小節’.

第 1 ^章

p.4,^例1.1: (^誤)a (^正)A

p.4,^下から4^行目: (^誤)b1a2 (^正)b1a2i

p.9,^例題1.2^解答: (^誤)k 2^のとき (^正)k >2^のとき p.14, 2^行目: (^誤)x2I (^正)a2I

p.20,^例題1.6^解答: (^誤) A <0< A (^正)f( A)<0< f(A)

pp.21–22,^本文: (^誤)^整関数(entire — ) (^正)^{多項式関数}(polynomial — )

※「整関数」はC^{全体で正則な複素関数};「整式関数」ならよいが,^{大学以上ではまれ} p.21,^無理関数: (^誤) (k^{に制限なし}) (^正) (k^は2^{以上の整数})

※「べき根」という表現から通常はk 2と解釈されるので訂正不要かもしれない p.28, 3^行目: (^誤)^巻末 (^正)^前見返し

※p.40^{の「後見返し」と対},表表紙の裏の見開きのこと p.30,^例題1.9^解答(2): (^誤)^下の(a)–(e) (^正)^下の(A)–(E)

(a) 1/2>0 (b)✓1< ⇡/2 (c) 1/3>0 (d)✓2< ⇡/2 (e)✓1+✓2< ⇡ (A) 0<1/2<1 (B)✓1< ⇡/4 (C) 0<1/3<1 (D)✓2< ⇡/4 (E)✓1+✓2< ⇡/2

※|✓1+✓2|< ⇡/2^ならtan(✓1+✓2)^{が定義できる};|✓1+✓2|< ⇡^{では定義もできない}

付録 : ^第 1 ^{章に関係するもののみ}

p.263, (R17-K): (^誤)^列 (^正)^{広義縮小列}

※a1a2a3 · · · b3b2b1ということ

p.265, 3^行目: (^誤)"- ^論法 (^正) (^{強いて言えば})"-n0論法

※ 通常はn0をN ^として, ‘"-N^論法’^という; ‘"- ^論法’は関数や写像に関するもの

あとがき

p.291, [^杉浦]: (^誤)^光彦 (^正)^光夫 p.291, [^斉藤]: (^誤)^斉藤 (^正)^齋藤

基礎解析学１ (S3)  2011-05-13 ^正誤表 . ii

全体 : ^第 2 ^章も

例題: (^誤)^{各節の最終小節に続く} (^正)練習問題とともに各節末に独立させるべき

※ 番号では, ‘9’^が‘^章’, ‘9.9’^が‘^節’, ‘9.9.9’^が‘^小節’; ‘^章’>‘^節’>‘^小節’.

第 2 ^章

p.39, 1^行目: (^誤),, (^正)<,<, >

p.47, 3^行目: (^誤)> (^正)<

p.47, 5^行目: (^誤)< (^正)>

p.47,^図2.4^のy^軸の値: (^誤) f(x1) +µ(x2) (^正) f(x1) +µf(x2) p.48,^定理2.11: (^誤)f^{00が連続で} (^正) (^{不要なので削除})

p.48,^定理2.11 [^証明]: (^誤)a, b (^正)ax1< x < x2b^をみたすx1, x2

※p.47,^定義2.6の「下に凸」の定義に注意（証明の流れはOK^）

p.58, 1–2^行目: (^誤) Legendre (^{ルジャンドル}) (^正) Lagrange (^{ラグランジュ}) p.59,^図2.10: (^誤)y= 1 +x+¹₂x^2のx <0^の部分 (^正)y=e^xより上 p.66,^例2.20^{の下の段落の}1^行目: (^誤) 2^次, 3^次 (^正) 1^次, 2^次 p.67, 4, 5^行目: (^誤) = 0 +· · ·,> (^正) _(n¹_1)!+· · ·,

※ 極限の計算にlimを付けた等式変形は間違いのもと; limを使わず不等式と矢印を使え

※ これ以降のlimを付けた等式変形は間違いではないが, limを使わない議論に慣れよ p.72,^{ロピタルのスペル}: (^誤) L’Hospital (^正) L’Hˆospital

p.78, 2^行目と5^行目: (^誤) (x!0) (^正) (x!a)

練習問題の解答 : ^第 2 ^{章に関係するもののみ}

p.280, 2.6: (^誤)^単調 (^正)^単調増加

基礎解析学１ (S3)  2011-06-10 ^（ 2011-07-07 ^{改訂） 正誤表} . iv

全体 : ^第 4 ^章も

例題: (^誤)^{各節の最終小節に続く} (^正)練習問題とともに各節末に独立させるべき

※ 番号では, ‘9’^が‘^章’, ‘9.9’^が‘^節’, ‘9.9.9’^が‘^小節’; ‘^章’>‘^節’>‘^小節’.

第 4 ^章

p.131, 8^行目: (^誤)^{二つの開集合に} (^正)二つの空でない開集合に p.150,^練習問題4.7, 4.8: (^誤)^小問(1), (2)^の順 (^正)^{逆にすべき}

※ 例題4.4^と同様に,微分可能性を示した上でないと接平面の存在がいえない p.158, 5^行目: (^誤) ^@f_@' (^正) ^@f_@✓

p.161, 6^行目: (^誤)t= 0^およびt=✓ (^正) 0^および✓t p.164,^下から4^行目: (^誤)y^{n k} (^正)y^{m k}

p.165,^例題4.8: (^誤) Virial (^正)人名ではないので英語ではvirial^とすべき p.166,^練習問題4.20: (^誤)^小問(1), (2)^の順 (^正)^{逆にすべき}

p.171, 4–5^行目: (^誤) (a, b)^の近傍で (^正)x=a^の近傍で

p.172, 6–7^行目: (^誤)^{連続 …… 存在} (^正)単調増加で連続 …… 唯一つ存在

練習問題の解答 : ^第 4 ^{章に関係するもののみ}

p.284, 4.1 (5): (^誤)^{存在しない} (^正)1^とすべき p.285, 4.11 (2): (^誤) ¹_r^@_@r^2g2 (^正) ¹_r^d_dr^2g2 (^{とした方がよい})

基礎解析学２ (S3)  2011-10-04 ^（ 2011-11-16 ^{三訂） 正誤表} . iii

正誤表 : 南和彦『微分積分講義』 ( ^裳華房 , ^第 1 ^版第 1 ^刷 )

※ この正誤表は完全なものではない;他の誤りに気づいたら知らせてほしい.

※ 大学以上の専門書にはミスが少なくない;訂正できる編集者が少ないから.

※ ミスを訂正しながら読むのは読者の仕事;訂正力に応じて数学力もアップ.

全体 : ^第 3 ^章も

例題: (^誤)^{各節の最終小節に続く} (^正)練習問題とともに各節末に独立させるべき

※ 番号では, ‘9’^が‘^章’, ‘9.9’^が‘^節’, ‘9.9.9’^が‘^小節’; ‘^章’>‘^節’>‘^小節’.

第 3 ^章

p.82,^定理3.1: (^誤) (^条件なし) (^正)f ^{の定義域は区間と仮定}(‘)’^{の成立に必要}) p.83, 1^行目: (^誤)^{原始関数の全体} (^正) (^通常は)^{個々の原始関数}

※「不定積分という言葉の定義は一定していない」が, 前者は初学者向けではない p.84, 5^行目: (^誤) Riemann^和(Riemann’s sum) (^正) Darboux^和(Darboux sum)

※「Riemann^和」は式(3.1)^{で上下から}Darboux^{和にはさまれた和} p.84,^定理3.2: (^誤)^有界で (^正) (^定理1.11^{により不要なので削除}) pp.87–88: (誤) Schwartz (3箇所) (正) Schwarz (Schwartzは別人)

pp.94–95,^例3.8–3.10: (^誤)^極限が(^は)^収束(3^箇所) (^正)^積分が(^は)^収束

※ 数学では通常, “^{極限は存在する}”, “^{極限値に収束する}”,^という p.95,^図3.3,y-^切片: (^誤) 1 (^正) p¹

2

p.95,^定義3.2: (^誤)u2I (^正)u2(a, b)

p.95,^定義3.2: (^誤)^{収束するなら} (^正)^{存在するなら}

p.95,^定義3.2^の下, 2^行目: (^誤)^{極限が存在するとき} (^正)有限の極限が存在するとき

※ 有限でない極限が存在(±1^に発散)^するとき, “^収束する”^{とは言わない} p.95,^定義3.2^の下, 3^行目: (^誤)^{極限が存在しないとき} (^正)^{収束しないとき}

※ 極限が存在して収束しない(±1^{に発散する})^{ことがある}; ‘^収束’^{の対義語が}‘^発散’ p.103,^例3.16,^下から2^行目: (^誤) +C (^正) (^{不要なので削除})

p.105,例題3.7,参考: (誤) (仮定なし) (正) (a, b)でf(x)>0をみたすなら

※ 例題の‘f(⇡ x) =f(x)’^{の代わりに}‘(a, b)^でf(x)>0’^{と仮定すれば},^{ということ} p.117,^例3.24: (^誤) +C (C^は定数) (^正) (^{不要なので削除})

p.119,^下から8^行目: (^誤)g(x) (2^箇所) (^正)g(y)

p.122,^下から5–3^行目: (^誤) +C⁰ (2^箇所),^ここでC^{0は定数である}. (^正) (^削除)

付録 : ^第 3 ^{章に関係するもののみ}

p.276, 6^行目: (^誤)f(⇠)^に収束 (^正)f(x)^に収束

練習問題の解答 : ^第 3 ^{章に関係するもののみ}

p.282, 3.5 (3): (^誤) log|tanh²x 1| (^正) log (1 tanh²x) (^{とした方がよい}) p.283, 3.15 (7): (^誤) log|1 +p

1 +x| (^正) log (1 +p

1 +x) (^{とした方がよい})

基礎解析学２ (S3)  2011-11-22 ^（ 2012-01-09 ^{改訂） 正誤表} . v

全体 : ^第 5 ^章も

例題: (^誤)^{各節の最終小節に続く} (^正)練習問題とともに各節末に独立させるべき

※ 番号では, ‘9’^が‘^章’, ‘9.9’^が‘^節’, ‘9.9.9’^が‘^小節’; ‘^章’>‘^節’>‘^小節’.

第 5 ^章

p.189,^定理5.1: (^誤)^{境界は連続} (^正)境界は連続関数のグラフ

※‘^連続’^だけでは,境界の一部が面積を持つ場合(Peano^曲線など)^もあり,^定義5.5^に矛盾

※p.131^の仮定“^{区分的に滑らか}”^{のままなら問題ないが},^定理5.3^{との整合性が取れない}

p.190,^定義5.6^{とその下の}2^行: (^誤) (^すべて) (^正) (^例えば, ^{次のように修正する}) 定義5.6^{⇤ 有界な領域}Dnは,^定義5.5^でf ⌘1^がDn上で積分可能であるとき,^面積確定 であるという. Dに収束する有界で面積確定の領域の列{Dn}^が存在し,^関数f^はD^上で 定義され任意のn^に対しDn上で有界で積分可能であり, limn

R

Dn|f(x, y)|dxdy^が存在す ると仮定する. ^このとき, ^極限値limnR

Dnf(x, y)dxdy^{が領域の列}{Dn}^{の取り方によら} ず存在するので,^{その極限値を}R

Df(x, y)dxdy^で表し,f^のD^{上の広義積分と呼ぶ}.

※ 定義5.5^以降,^積分範囲Dが面積確定であると仮定しないと,^{積分が定義できない}

※ 仮定の|f|^{の積分が収束するとき},^結論のfの積分は絶対収束するという

※fの積分が絶対収束しないと,極限が{Dn}^{の取り方に依存し},広義積分が定義できない p.192,^下から3–2^行目: (^誤) ‘^つまり’ (^正)^下から2^行目の‘^演算子’^{の前に移動} p.224,^例題5.10^解答: (^誤) (x, y, z)7!(r, ✓, ') (^正) (r, ✓, ')7!(x, y, z)