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物理学 I （力学）4 回目：

運動の3法則と運動方程式

中野武雄 2012年5月1日

2回目課題の解答 1(a)

 

。 よって

。 より

、 より

の式を得よ。

で微分し、

の式を

えよ。

として以下の問いに答

、

、 において、

等加速度運動

[m/s]

778 . [s] 27 3600

[h]

1 [km]

1 [m]

[km/h] 1000 100 [km/h]

100

[s]

3600 [h]

1 1 [s]

3600 [h]

[km] 1 1

[m]

1 1000 [m]

1000 [km]

1

] [m/s 9.8 [m/s]

8 . ) 27

) ( ( : A

) ( )

(

] [m/s 8 . 9 [km/h]

100

[m]

2 10 ) 1

( :

Q

2 0

0 2 0

0

0 2

0 0 0











































t t

a dt v

t t dx v

t v t

t x

a v

x t

a t v x t x

2回目課題の解答 1(b)

   

[m]

4 . 49

~ 368 . 49

] s [ 8345 . 2 ] [m/s 8 . 2 9 ] 1 s [ 8345 . 2 [m/s]

778 . 27 [m]

10 2 ) 1

(

] s [ 83 . 2

~ ] s [ 8345 . ] 2 [m/s 8 . 9

[m/s]

778 . 27

0 )

(

] m [ ]

[s 0

2 2 2

0 0 0

2 0

0 0 0























 















t a t v x t x

a t v

t t

a v t v

そのときの位置は

。 は

となる時刻

か。

は何 後か。そのときの位置 になるのは何

速度が

2回目課題の解答 1(c)

   

] s [ 01 . 6

~ ] s [ 0086 . 6 ], s [ 33965 . 0

] [m/s 8 . 9

[m]

10 ] [m/s 8 . 9 2 [m/s]

778 . 27 [m/s]

778 . 27

2 2 0 ) 1

(

] s [ ]

m [ 0

2 2 2 0

0 0 2 0 0

2 0 0 0

































a x a v t v

t a t v x t

x となる時刻は、二次方程式の解より 後か。

になるのは何 位置が

2回目課題の解答 2(a)

各ベクトルを図示せよ 軸を描き、

軸・

直交する

について

、 ベクトル

, ,

: ]) m [ 5 . 1 ], m [ 0 . 2 ( ]) m [ 0 . 2 ], m [ 0 . 1 (

b a b a y

x

b

a    

 









a b

-b a-b a-b

y

x

2回目課題の解答 2(b)



3.0[m]

 

0.5[m]



9.25[m] 3.04[m] [m])

0.5 m], [ 0 . 3 (

1.5[m]) [m], (-2.0 - [m]) 2.0 m], [ 0 . 1

2 2

2  













b a

b a

b a

 

 

 

（

、長さを求めよ。

ベクトルを成分表示し

今日の内容

 前回のおさらい

 運動の法則

 第1法則：慣性の法則

 第2法則：運動の法則

 第3法則：作用・反作用の法則

 運動方程式の性質

 位置について 2 階の微分方程式

 積分：微分の逆演算

 微分方程式にあらわれる積分定数と運動方程式の初期値

前回のおさらい

 2次元の運動の表現：

 ベクトル：差分、スカラー倍が定義→微分が可能

 位置ベクトル：「原点」から物体の座標に向かうベクトル

 速度ベクトル：位置ベクトルの時間微分

 加速度ベクトル：速度ベクトルの時間微分

 座標系とベクトルの成分表示

 基準ベクトル（長さ1で互いに直交）によるベクトルの分解

→各基準ベクトルのスカラー係数が「成分」

 デカルト座標：基準ベクトルが不変。

x成分、y成分に分離して考えるだけで良い

 極座標：基準ベクトルがθによって変わる。

位置ベクトルを時間微分→速度ベクトルの成分表現 速度ベクトルを時間微分→加速度ベクトルの成分表現

2次元デカルト座標

y

x

 

 



x y



x y

y y x x

y x y

x y x

a dt a

y d dt

x d dt dv dt dv

dt e t e dv dt

t a dv

v dt v dy dt e dx dt

t e dy dt

t v dx

t y t x e t y e t x t r

, ,

,

) ) ( (

, ) ,

( ) (

) ( ), ( ) ( ) ( ) (

2 2 2

2 



 







 













 

































加速度ベクトル 速度ベクトル 位置ベクトル

平面極座標

x y

 r

 

 







 



 



 



 



 











 



















dt r d dt d r dt r d dt

r a d a

dt v a d

dt rd dt v dr v

dte rd dte dr

dt e rd dte e dr dt r v d

e r r

r r

r

r r r r















2 2 2 2

2 1 ,2 )

, (

, ) , (



 





 









r r

y x

y x

r

dte d dt

e e d dt d dt

e d

e t e t t

e

e t e t t e

 

 

























 





















,

) ( cos ) ( sin ) (

) ( sin ) ( cos ) (

補遺：cos θ (t) の時間微分

dt d dt

t d d t d

t

d d dt t d

 

 

 



 





 

sin ) ( cos )

( cos

sin cos cos

) (















による微分 の

による微分 の

時間微分 の

等速円運動：デカルト座標版

t A

r（一定）, 

y t A a x

t A a

t A v t A v

t A y t A x

x y

y x

2 2 2

2 cos sin

, cos ,

sin

sin ,

cos



















































x y

t A

等速円運動：極座標版

t A

r（一定）, 

0 2

, ,

0

) ( , ) ( ) (

2 2

2 2 2 2













 



 















dt d dt dr dt rd a A

dt r d dt

r a d

dt A rd dt v

v dr

t t A

t r

r r









 









一定

x y

t A

運動の法則



第1法則：慣性の法則

 他からの影響を受けない物体が行う運動は、

（慣性系から観測すると）等速度運動である



第2法則：運動の法則

 物体に力が加わると、 （慣性系から観測すると）

物体には力に比例する加速度が加わる



第3法則：作用・反作用の法則

 2つの物体間の相互作用の作用と反作用は、

大きさが等しく、2つの物体を結ぶ直線上に生じ、

逆向きである

第1法則



「他から影響を受けない」

→物体に作用する力が 0



「等速度運動」



「等速度」とは、「速度ベクトル」が時間によっ て変化しないこと。向きも変わっちゃダメなこと に注意！



速いものは速いまま、遅いものは遅いまま、

止まったものは止まったまま。

座標系・慣性系



第一法則（および第二法則）が成立するのは、

特殊な座標系（慣性系）に限られる。

 前回までは座標系の 目盛の振り方について 議論してきた。

 2つの座標系の間に

相対運動があったら？

 「相対運動、非慣性系」

の回に詳しくやります。 x y

y

x

v

第2法則

 m a f 

m f

a   1    

 m （スカラー量）は物体の「慣性」を特徴づける量で、

「慣性質量」という。

 この関係から、力はベクトル量であることが導かれる。物 体に複数の力が作用しているときは、それぞれの作用を 表わす力の「合力」が物体の加速度を決める。











i

f

i

f f

f 

 





2 1

力の単位 [N]



加速度のSI単位系での表記は [m/s

²

]



質量の SI 単位は [kg]

よって力の SI 単位系表記は [kg m/s

²

]

となるが、これには [N] (Newton)という

名称が付いている。

第3法則

O r 

12

r

1

 r 

2

f

12

 f

21



O r 

12

r

1

 r 

2

f

12



f 

21

斥力 引力

物体1 物体2

作用（1が2に及ぼす力）と反作用（2が1に及ぼす力）は

 大きさが等しく

 2つの物体を結ぶ直線上に生じ

 逆向き

つまり、2物体間の相互作用は引力・斥力の2種類しかない なお第3法則は物体の運動状態に依存しないのもポイント。

「力のつり合い」との違い



「力のつり合い」は、1 つの物体に働く力の 合力が0である、とい うこと



「作用反作用」は、2つ の物体にそれぞれ働 く相互作用が、逆向き で等しい大きさ、とい うこと

抗力（机が物体を押す力）

物体が机を押す力 重力

運動方程式



第2法則を微分形式で書いたもの

m f dt

t r d

m f a

 

 

1 ) (

1

2 2







「2階（2回）微分すると になる関数 を探せ」

は通常、時間・位置・速度などの関数

f

f r

位置←速度←加速度



位置→速度→加速度 の関係は

2回目、3回目にやってきました。

 位置を時間微分すると速度

 速度を時間微分すると加速度

 「位置⇔速度」と「速度⇔加速度」の相互関係は等価



逆向きの演算はどのようになるか？

 とりあえず1次元で「位置⇔速度」を考えてみよう

 速度は時間の関数として既知であるとします

速度から位置を求める



2回目の講義の逆演算

) (t x

t

t )

(t v

) (t x

t

t )

(t v

区分求積と定積分

) (t₀ t v 

 



^{ }































 







1

0

) ( ) ( lim

) ) 1 ( ( )

( ) ( lim

) ( ) (

0 1

0 0

0 0

0 0 0 1

t t n-

t i t

dt t v t i t v

t t n t v t t t v t t v

t x t x

 n

t tt¹ ⁰



t

) (t v

t0 t₁

) (t₀

v v(t₀(n1)t)

不定積分と微分





 ^t

tvtdt t

x t x

t

t

0

) ( ) ( )

( ₀

0は定数のまま）

（下限

と置く。

積分の上限を変数

) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) lim ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

0 0

0

0

t dt v t dx x dt t v t x

dt dx t

t x t t t x v

t t v dt t v t x t t x

t t

t

t t t t











 









 





























よって

t )

(t v

t0

) (t v

t

t

積分：まとめ



微分の逆演算

 速度から位置を得る

 加速度から速度を得る



「積分定数」分の不定性→「初期値」が必要

C dt t f t F t dt f

t

dF

^t

t







 

0

) ( ) ( ) ) ( (





^{は、単に とも書く）}

（なお不定積分 () ()

0

dt t f dt

t

tf

t

いくつかの積分公式

 

   















































 

 ^

dt t g t G dt t f t F

C t g F dt t g t g f

C t G t F dt t g t f

C t aF dt t af

C t dt t C t dt t

n C n t dt

t^{n n}

) ( ) ( , ) ( ) (

)) ( ( ) ( ' )) ( (

) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) (

sin cos , cos sin

1 1

1 ₁

ただし

）

（

位置・速度によらない力

 

 

1 2

2 1 2

2

) 1 ( ) (

) 1 ( ) (

) 1 (

C t C dt dt t m f

C dt dt v dx x

C dt t mf t dt v dx

t mf dt

x d







 



 



 















 



  

0 0 2

1 0

2 0

2 1 2

1 2

2

2 1 0 0

2 ) 1 (

) ) ( (

1 ) (

x t v gt x

C v t

C x t

C t C gt v x

C gt t dt v

t dx

mmg dt

t x d











































における速度 における位置

運動方程式を解くプロセス

 2階微分方程式→積分定数が2つ入る

1. 物体に作用する力を調べ、運動方程式を作る

2. 運動方程式を解く

3. 初期条件から、積分定数を決める

4. 時間の関数として位置を決める



力が位置や速度に依存する場合は？

 単純な積分では解けない。

 常に解けるとも限らない。

 2次元以上の運動方程式は？

 ベクトルの成分ごとの連立微分方程式となる