예측모형 및 평가기준

3.1

예측력 평가기준

본 연구에서는 먼저 예측모형별로 예측오차 측면에서 개별적으로 비교하기 위해, 네 가지의 평가기준을 활용한다. 이들 평가기준은 평균오차(mean error :

ME),

평균절대오차(mean absolute error : MAE), 평균제곱오차의 제곱근(root

mean squared error : RMSE),

그리고 평균제곱백분율오차의 제곱근(root mean

squared percent error : RMSPE)

등이다. 이들 평가기준은 다음과 같은 수식으 로 표현된다.

평가기준-1 :ME= 1

T ∑

T

i=t(Qt-Qt,i) (1)

평가기준-2 :MAE= 1

T ∑

T

i=t|Q_t-Q_t,i| (2)

평가기준-3 :RMSE= ∑

T

i=t(Qt-Qt,i)² 1

T (3)

평가기준-4 :RMSPE= ∑

T

i=t

(

^{Qt,Qi-Qt t ×100}

)

^{2T1 (4)}

여기서 _T는 표본수, _Qt는 석탄가격의 주별 실적치, _Qt,i는 _i개월 이전 주 별 예측치를 의미하고, _i = 1, 2, 3, 4, 5 , 6개월이다.

3.2 AGS

예측력 검정기법

본 연구에서는 상기 평가기준에 따른 예측력 비교 이외에 예측모형을 활용 한 주별 예측오차의 차이가 통계적으로 유의한지에 대하여 보다 정밀하게 검 정하고자 한다. 이를 위해, 본 연구에서는

Ashley, Granger and Schmalensee

(1980)가 개발한 검정기법을 활용한다.

²⁾

AGS

검정에서는 기본적으로 예측수단

들의 평균제곱오차(mean squared error : MSE) 사이의 차이를 일정한 방식으 로 분리하여 통계적 검정절차를 거치게 된다. 주어진 예측기간에 대하여 이러 한 분리과정은 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다.

MSE(e₁) -MSE(e₂) = [Var(e₁) -Var(e₂)] + [e₁²-e₂²] (5) 여기서 e1은 첫째 예측모형을 활용한 예측치의 오차벡터를, e2는 둘째 예 측모형을 활용한 예측치의 오차벡터를 의미한다. 또한, _Var(e1)과_Var(e2)는 각각 이들 예측오차의 분산을, _e1²와 _e2²는 각각 이들 예측오차

(표본)평균의

제곱을 의미한다.

이들 오차벡터의 차이와 합계를 각각 ^Δ_t=e₁-e₂와 ^Σ_t=e₁+e₂로 정의하 면, 다음과 같이 식

(5)는

^Δ_t와 ^Σ_t의 공분산으로 전환할 수 있다.³⁾

MSE(e₁) -MSE(e₂) = Cov(Δ

t,Σ

t) + [e₁²-e₂²] (6) 이들 예측오차의 차이가 통계적으로 유의한지 검정하기 위해, 귀무가설은

2) 이 검정기법을 활용하여 Irwin, Gerlow and Liu (1994)는 생우와 생돈의 선물가격과 미국 농무부에서 발표하는 전문가시스템에 의한 예측치의 정확도를 비교하였다.

3) 전환과정은 Ashley, Granger and Schmalensee (1980)에서 찾을 수 있다.

Cov(Δ_t,Σ_t) = 0 및 _[e1²_-e2²_{] = 0} 여부를 검토하는데, 결국 이들 예측수단 의 예측오차의 차이가 없다는 것을 검정하게 된다. 대립가설은 이들 값이 비음 이면서 적어도 하나는 양의 값을 가져야 한다고 설정된다. 이를 해석하면, 둘 째 예측모형을 활용한 예측이 첫째 예측모형을 활용한 경우에 비해 보다 정확 하다고 할 수 있다는 의미이다. 이렇듯, 예측오차의 차이가 없다는 귀무가설은 다음과 같은 회귀식을 통해 검정할 수 있다.

Δt=α+β[Σ

t-Σ] +ε

t (7)

여기서 ^Σ는^Σ_t의 평균을, ^ε_t는 백색오차를 의미한다. 한 가지 주지할 사항 은 식

(7)을 추정하기 위해서는 예측오차의 평균치인

^Σ가 양수가 되어야 한다 는 점이다. 그렇지 않을 경우, ^Σ를 양수로 만들기 위해 추정하기 전에 모든 예측 오차에

-1을 곱해야 한다.

식

(7)의 최소자승법(OLS)에 따른 추정계수는

다음과 같이 표현할 수 있다.

α= Δ =e₁-e₂ (8)

β = Cov(Δ

t,Σ

t) Var(Σ

t) = Var(e1) -Var(e2)

Var(Σ

t) (9)

식

(7)을 활용할 경우,

귀무가설은 ^α₌^β_{= 0}이 되고, 대립가설은^α_{≥ 0}

,

^β_{≥ 0} 을 만족하면서 적어도 이들 추정치 가운데 하나는 양수가 되어야 한다. 만약 귀무가설이 기각되는 경우 둘째 예측모형을 활용한 예측치가 첫째 예측모형을 활용한 예측치보다 정확하다는 의미이다. 만약 계수 추정치들 가운데 하나가 통계적으로 유의한 음수이면, 귀무가설을 기각할 수 없다. 만약 추정치들 가운 데 하나가 음수이지만 통계적으로 유의하지 않다면, 다른 추정치에 대하여 단

측 t

-검정을 거쳐야 한다.

만약 추정치 모두가 양수라면, 귀무가설에 대하여

F

-검정을 활용해야 한다.

여기서, F

-검정은 추정치의 부호를 고려하기 위해

사측(four-tailed)임에 유의해야 한다.

3.3

예측모형

다음에서는 표본자료를 대상으로 예측력을 비교하기 위해 설정된 예측모형 에 대하여 설명한다. 본 연구에서는

OLS와 간단한 형태의 시계열 계량모형을

활용하여 주별로 석탄가격의

1개월에서 6개월 이후의 예측치를 추정하고자 한

다. 본 연구에서 활용된 예측모형은 가능한 간단한 형태로 설정되어 실무적인 차원에서 활용할 경우 손쉽게 사용할 수 있도록 한다. 이와 함께, 자기회귀이 동평균(ARMA) 모형과 외생변수를 포함한 자기회귀(ARX)모형 등 간단한 형태 의 시계열 계량모형에 근거한 예측모형을 설정하여

OLS와의 예측력을 비교하

고자 한다. 본 연구에서 후술되는 바와 같이, 현재 시점의 각 주별로 이전 주 간자료를 내표본(in-sample)으로 하여 구조모형을 추정하고, 추정된 모수를 활 용하여 외표본(out-of-sample) 기간 동안의 예측치를 생성시킨다.

모형-1 : OLS-1

yt=a+βxt-i (10)

모형-2 : OLS-2

yt=a+β₁xt-i+β₂x²t-i (11)

모형-3 : OLS-3 yt=a+β

1xt-i+β

2x²t-i+β

3x³t-i (12)

모형-4 : OLS-4

yt=a+β₁xt-i+β₂wt-i (13)

모형-5 : OLS-5 yt=a+β

1xt-i+β

2x²t-i+β

3wt-i+β

4w²t-i (14)

모형-6 : ARMA(1,1)

φ(L)[ ( 1 -L)^dy_t] =θ(L)ε

t (15)

L^jyt=yt-j

단, ^φ_{(L) = 1 -}^φ_1L-^φ_2L²_{- ... -}^φ_pL^p

θ(L) = 1 -θ

1L-θ

2L²-...-θ

qL^q ε_t∼ N( 0,σ²)

모형-7 : ARX(2)

y_t=w_tβ+u_t (16)

단, ut-φ₁ut- 1-φ₂ut- 2- ... -φ_put-p=ε_t, ε_t∼N( 0,σ ²)

여기서 _yt는 _t

-시점에서의 석탄가격,

_xt-i와 _wt-i는 _i주 이전 시점에서 의 석탄가격과 서부텍사스중질유(WTI) 원유가격을 말한다. i= 4,8,13,17,21,26 등으로 각각

1개월에서 6개월에 해당한다.