простейших плоских фигур является треугольник. Если Т—■треугольник с вершинами Аіі (лгь i/,). * = 1» 2, 3, то число ST К*1 — *п)(У2
— Уя) — (л‘а— л'з) (i/i—,г/3)| назовем площадью треугольника Т.
-3.239. П л о щ ад ь ST‘р ав н а половине м одуля оп ред ел и теля
•Vi Ух
х2 у г Л'з - Уъ
(О-
135
3.240. С равнить S T с. площ адью треугольни ка, оп р ед е
ляем о й по ф орм улам , и звестны м из геометрии.
3.241. П ри п ар ал л ел ьн о м переносе и повороте системы коорд и н ат площ адь треугольни ка не м еняется (!).
. Точка /VI называется граничной точкой, фигуры F, если в любом круге с центром в /VI есть точки из F п точки, не принадлежащие F.
Совокупность граничных точек фигуры F называют ее границей.
3.242. Всякий многоугольник Р можно разбить на тре
угольники T hl k = l , 2, п, так, что если R t = T t f]
П ( U 'Л«)> то Ri=r= 0 и Rt содерж ит лишь граничные точ- ҺФі
ки f t (IJ.
3.243. Площадью S p многоугольника Р называют сумму площ адей составляющих его треугольников T h> имеющих об
щими лишь граничные точки, $ р ~
һ 1
3.244. П р и р азли чн ы х разб и ен и ях м ногоугольника Р на треугольни ки Т һ ф орм ула 3.243 дает; один и тот ж е р езу л ь
т а т (!). V
3.245. При п арал лел ьн ом переносе и повороте системы коо р д и н ат п лощ адь м ногоугольника не м еняется (!).
Многоугольник Р„ называется вписанным в фигуру Ғ, если P*cz.F.
Многоугольник Р* называют описанным около фигуры F, еслн FczP'.
3.246. (!).
3.247.* Привести пример фигуры, для которой существу ет P.J.. и пе существует Р*.
Число S* = sup Sj, называют внутренней площадью фигуры F, число S* = inf Sp*—внешней площадью фигуры ^.[Отметим, что sup 0 =
= —-оо, inf 0 = -|-со . ЕСЛИ F’5*0, ТО 0 ^ «5* S*s^-f-oo.
3.248. Если Ғ— многоугольник, то д ля него S % = S * (!).
Если внутренняя и внешняя площади фигуры Ғ совпадают, то Ғ на
зывают квадрируемой фигурой, а число SF = S* = S.M—площадью F.
^ 1
3.249. П ри вести прим еры фигур:
I) квадри руем ы х; 2) н еквадрируем ы х.
3.250. П л о щ ад ь фигуры не м еняется при п ар ал л ел ь н о м переносе и повороте системы коорди нат (!).
3.251. Фигура F квадрируема тогда и только тогда, -когда ү е> 0 3Р*> Р т такие, что Sp* — S p, г ^ е {1).
3.252. И з у тверж д ен и я 3.251 следует, что ф и гура F
к в ад р и р у ем а тогд а и только тогда, когда п лощ ад ь ее г р а ницы р ав н а нулю (!).
3.253. Фигура Ғ квадрируема тогда и только тогда, когда д л я любого s > 0 существуют квадрируемые фигуры F cz F и ~F=> F, такие, что S j — S /r s ^ e (! ).
3.254. Пусть функция f непрерывна на [а, 6], / ( л ; ) ^ 0 у x £ [ a , b ] и F — криволинейная т р а п е ц и я, т. е. ф и гу р а,. огра
ниченная прямыми х = а, х - - Ь , у ~ 0 и кривой у ~ f (я).
П усть сг и сг— числа, определенные в зад аче 3.61.
1. П оказать, что существуют многоугольники Р и \ Р, та
кие, что Р с : F cz Р и S p = a, S P = a , .
2. И спользуя интегрируемость функции f иа [а, Ь], по- ь
казать, что F квадрируема и S F = \ f ( x ) c l x . (В этой фор-
а
муле выражен геометрический смысл определенного интеграла от непрерывной неотрицательной функции.)
3.255. К ак о в 'ге о м етр и ч е ск и й смысл и н теграла от о гр а
ниченной неотри цательной функции f, д л я которой с6]а , b [ яв л яе тся точкой конечного ск ач ка (в предполож ении, что других р азр ы в о в / не и м еет)? Р ассм о тр еть Г ( 1 + -f 1 (.*)) dx.
3.256. Фигура F ограничена прямыми я — а, х — Ь, свер
ху—кривой у ~ / (х), снизу—кривой у = g (х) . Т огда ее пло- ь
щ адь S F=
j
(/ (х) — g (.х)) d x (!).а
3.257.* Вычислить площ адь фигуры, ограниченной кри
выми:
1) у = A'S у = х г \
2) у — х 2} у = х3 (1 ^ х ^ .2) и .V = 2; 3) у « -V2, у = ] jx, у = 0, х = е.
3.258. П л о щ ад ь кругового сектора ради усом г с ц ен т
р ал ьн ы м углом ср вы числяю т по ф орм ул е 5 — г2ср/2 (!).
3.259. У равнение г — г(ср), фб [a, J5], о п р ед ел яет в п о л я р ных к о о р д и н атах кривую / = { ( ф , г ( ф ) ) , фб [а, $ ]}.
1. У равнени е ср— ф0 з а д а е т луч, вы ходящ ий из н а ч а л а к оорд и н ат (!).
2. Е сли г: ф1—*-г (ср), фб [a, р ] ,— н ео тр и ц ател ьн ая неп ре
р ы в н ая ф ункция, то вм есте с лу ч ам и ф= а и ф = (3 она
1 3 7
о гр ан и ч и в ает некоторую фигуру Ғ (!). (Эту ф игуру н а з ы в а ют к р и в о л и н е й н ы м сектором.)
3. И сп о л ьзу я результаты 3.253 и 3.258, д о к а за т ь , что криволинейны й сектор я в л я е т с я квадри руем ой фигурой.
4. П лощ адь криволинейного сектора Ғ мож ет быть вы-
1 В
числена по формуле S F — — J (г (ф))Мф (!).
а
- 3.260.* Вычислить площадь фигуры, ограниченной кри
выми:
1) г — шр, 0^ ф < .2п; ф = 2л;
2) г = а (2 + созф). -
3.261. Пусть криволинейная трапеция F ограничена пря- » мыми л: « а, х = Ь, у — 0 и кривой, заданной параметриче
ски- уравнениями х — ф (I), у — ф (/)> [а, р], причем ф (а) =
= а, ф (Р) = Ь, ф' (І) > 0, ф (i) > 0, ф ' и \|j непрерывны на
&
а , р]. Тогда 5 Ғ =* j ф (/) q>' (*) d/ (!).
a
■ 3.262.* Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:
\) х ~ a ( t — slnt), у ~ а ( 1 — c o st), 0^ ^ 2я; у — 0; 2) x — a cos U У — Ъ sin I, 0 ^ . 1 ^ . 2я.
3.263.* Если граница / фигуры F зад ан а уравнением ви
да Ф (х, у) — 0, то д ля вычисления площади этой фигуры можно перейти к параметрическому или полярному заданию I. Вычислить площадь фигуры F в случае, если I задана у; равнением:
1) (х* + У2) 2 = (Хг - г/2)2; 2) (.V-2 + I f f = 2 х у .
Пусть х: и у: t \ —^у (/), tQ \а, /3|,—непрерывные функции*
Множество L— {{,v, у)\ х — .V (/), y = y(t), t g l a , f3j} называют плоской кривой. Кривая называется простой,, еслн у нее нет точек самопересе
чения.
3.264. График непрерывной функции /: {a, p|~:-R есть кривая (!).
3.265. Қ акие кривые определяются на [“ 1, 1] уравне
нием х2 — у2 — 0?
3.266. Отрезок M t$ U с концами M i [xh y L), i ~ 1, 2, яв ляется кривой (!).
Длиной отрезка называют число
Длиной ?. ломаной М 0Л'4 . . . , Л// (хг*, у{), і = 0, 1, на
зывают сумму длин составляющих ее отрезков:
П
7, = 2 У ( xi— x i - i j - -Г-( т — У і - і ) 2 ■ 138
3.267. К акова бы пи была точка М\ { х г у ) , длина ломаной М0М 1 . . . М ҺМ Һ+1. . . М п не превосходит длины ломаной М0М±. . . М ҺМ МҺ+1. . . М п (!).
Ломаная MoAfi.../Vln называется вписанной в простую кривую L, еслн I—0, 1... п, причем точки Л10 и Мп совпадают с концами кривой. Пусть/-— супремум длин ломаных, вписанных в L, Если/ — конечная величина, то кривую L называют спрямляемой, а число I — длиной кривой L.
3.268. Р ассм о тр и м окруж ность L р ад и усом R. И звестно, что д ли н а стороны вписанного в L правильн ого /г-угольнп- ка равн а 2 ^ sin ( д / л ) . Ч ем у р ав н а д л и н а окруж ности L, если предполож и ть, что сп рям ляем о сть L д о к а за н а ?
3.269. Пусть d— наибольшая из длин звеньев ломаной MqMi. . . i \ i n, вписанной в кривую L, % — длина ломаной, Q—множество всех "ломаных, вписанных в L . И спользуя ут
верждение 3.267, можно показать, что sup {?*} — lim&{l).
Q . -rf-H-o
3.270. Если кривая L спрямляема, то ее длина 1 ~ lim % (!).
о 3.271. График функции [: дсі-^-sin (1/а*), я £ ] 0 , Ц, не яв
ляется спрямляемой кривой (!).
3.272. Привести примеры неспрямляемых кривых.
3.273. П усть { ^ } , k — 0, I, . . . , д ,— разбиение [а, [5], б — диаметр" разбиения. И спользуя результат 3.269, пока
зать, что если L спрямляема, то ее дли н а
П
1= lim 2 - х ( h - J ? + W ( У - у ( h -1))2 (!).
Если функции х : Ц-+ х (I) и у: /I-»- у (t), t Q \<х, fi\, непрерывно диф
ференцируемы и (а-' ( / ) ) 2 4- {tf (У) ) ' 2 ч* О у / е |сс, Р|, то кривая L назы
вается гладкой,
3.274. Функция f имеет непрерывную производную на
|а , |5]. Тогда ее график {(,v, / (£))j х £ [се, (5|} является гладкой кривой (!),
3.275. Применение теоремы Л агран ж а (см. 2.131) , дает П
1= о1—{-0™ . /i==12 У ^ ы Ғ + й і7c a m . . где ТГЬ %h £ [ih_ ±, th\ (!) .
3 .2 /6 . П оказать, что
139
I — lim I 2 {^k) ) 2 + J y7 Ы )2 A4. + a ) j . . где сх—у-0 при 5->—(-0.
3.277, И з результатов 3.273 и 3.77 следует теорема:, глад
к а я кривая L спрямляема, и ее длина
Р
i = д .
а
- 3.278. Если функция / непрерывно дифференцируема на [а, р], то, положив x ^ t , у ~ f ( t ) , i £ [се, р], получим форму
лу д ля вычисления длины кривой {{х, Ң х ) ) \ х ( : [се, р]}:
; = ] V r + F w ? * ( ! ) .
СС
3.279. П усть кривая задана в полярных координатах уравнением г — г(ср), Ф ^ [а, р], и функция г непрерывно дифференцируема. Положив ф ~ Г и найдя х = *vit) и у —
= у (І), можно получить формулу
1 = | - / ( г ( ф ) ) 2 + ( г ' ( ф ) ) г * р ( ! ) .
а
3.280.* Вычислить длины следующих кривых:
1) л: = a. (i — sin t), у = a.(1 — cos t), .0 t ^ 2л (арка цик
лоиды);
2) л* — ег sin t, у = efcos /, 0 ^ t л /2; 3) # = cos4if,- г/ = sin41, 0< ^ < 2я;
4) у = сһ ,г% 0 ^ „г* ^ 1; 5) у = х 2, 0 ^ ^ 1;
6) г = а ф (спираль А р х и м ед а), 0 ^ ф ^ 2 л ;
7) г , =& (1 + cos ф) (к ар д и о и д а); 8) г— a s in3 (ф/3)“.
Т е л о м называют всякое множество точек пространства. Одним из простейших тел является тетраэдр. Пусть Т ~ тетраэдр с вершииами Мі(хь г/ь Zi), г = 1, 2, 3, 4. Обозначим
л*і У і zi 1
^ __ Л'2 1/2 г 2 1
Х3 у3 Z3 1 л4 t/4 1
Число У = jri[/6 называют oirse.mu тетраэдра Т.
140
3.281. О бъем те т р а эд р а ие м еняется при п ар ал л ел ь н о м переносе и повороте системы коорд и нат (!).
3.282. Т етраэд р имеет верш ины M i (0, 0, 0 ), M z { \, 0, 0 ), М3(0, 1, 0), Л'/4 (0, 0, 1). В ычислить объем т е тр а эд р а , ис
пользуя д ан н ое вы ш е определение. В ы числить объем т е т р а эд р а , и сп ользуя известную из геометрии ф орм улу
= .S /i/3 , где S — п лощ ад ь основания, к — вы сота т е т р а эдра. С равнить результаты .
3.283. Всякий многогранник G можно разбить на тет
раэдры T h, £ = 1 , 2, . . . , я, так, что если = T t fj Л ( U T k), то Я-х ф 0 и R x содержит лишь граничные точки Ti (О-
3.284. Объемом V G многог ранника G называют сумму объемов составляющих его тетраэдров, имеющих общими лишь граничные точки (см. 3.283), т. е. VG ~ ^ V r .
Һ
3.285. П ри разл и ч н ы х р азб и ен и ях м н огогран ни ка G на тетраэдры Т һ ф орм ула 3.284 д а е т од и н ак о вы е р езу л ь та
ты (!).
3.286. Қ уб им еет верш ины в то ч к ах M i(Q, 0, 0), A ' h i l , 0, 0), М3(І,. 1, 0) ғ ЛГ4(0, 1,0) , М 5(0, 1, 1) , М в (1#0, 1) , М7(0,
0, 1), Л'Хs ( 1, 1, 1). В ычислить объем куба, осн овы ваясь на данном вы ш е определении об ъем а м ногогранника. Вычис
лить объем куба, и сп ользуя ф орм улу К —а 3, где а — ребро куба. С равни ть резул ьтаты .
3.287. П ри п ар ал л ел ь н о м переносе; и повороте системы коорди нат объем м ногогран ни ка не м ен яется (!).
Многогранник G. называется вписанным о тело Т, еслн G*cr7\
Многогранник G’ называется описанным около Т, еслн TczG\ 3.288. V G^ V Q..
3.289. Существуют V # = sup VQ и V* *= inf (!).
3.290. Если Т ф 0 , то К* < V* (!).
3.291. Если Т — многогранник, то К* = V* = V T (!).
3.292. Если Т — плоская квадрируемая фигура, то V* =
= V* = 0 (!).
3.293. П ри вести пример тел а Т, д л я которого У * Ф К*.
Если для тела Т V. — У*, то Т называют аудируемым телом, а чис
ло Уз-— 1/, = У*— объемом тела Т.
3.294. П ри вести прим еры куби руем ы х и некубируем ы х г тел.
1 4 1
3.295. О бъем тела не м еняется при п ар ал л ел ь н о м п ере
носе и повороте системы коорд и нат (!).
3.29.6. Тело кубируемо тогда и только тогда, когд а о б ъ ем его границы равен нулю (!) (см. 3. 252) .
3.297. Тело Т кубируемо тогда и только тогда, когда д ля любого 0 существуют кубируемые тела Т и Т , такие, что Т c z . f c z T и У ү ~ Vт (!) (см. 3.253).
. 3.298. Е сли Т — цилиндр высотой Һ, основанием ко то р о го я в л я е т с я кв ад р и р у ем ая ф и г у р а ,F, то Г ,я в л я е т с я - куби- руем ы м и V t — S f / i (!).
3.299. В сякое ступенчатое цилиндрическое тело (т. е.
тело, состоящ ее из конечного числа цилиндров с п а р а л л е л ь ными основаниям и и п ар ал л ел ьн ы м и образую щ и м и ) ку
бируемо (!). ■ •-
3.300. П усть тело Т образовано вращением непрерывной кривой у ~ }(х), a s ^ x ^ b , вокруг оси Ох . и {.%}> к —
— 0, 1, . . . , 11, - -разбиение отрезка [а, Ь], Каков геометр и-
.... . : • п
ческий смысл интегральных сумм 'с = я ' % f2 ( |h) А х к и а ~
Л- • 1 “
П
^ л 2 / 2ІЪк)Ьхһ* если / ( g ) .= max шіп Д х ) ?
к= I - -1 >•*/{ ] [xk ~ V xkl
3.301. И спользуя р езу л ь таты 3.297, 3.299 и 3.300, м ож но получить ф орм улу д л я вы числения о б ъ ем а тел а Т, п олучен
ного вращ ени ем непреры вной д у г и a ^ Z x ^ b , в о
к р у г оси Ох:
ь ь • . .
V т — sr. j (f {x)JМ х ~ л j* y 2d x (!).
3.302. П усть проекция тела Т на ось Ох равна [а, Ь] и площ адь сечения тела Т плоскостью x ~ t , a k ^ . t ^ 6, равна S ( t ) , причем S зависит непрерывно от Й. Тогда V т —
= | 5 ( 0 , Л ( 0 -
а *
3.303.* Найти объемы тел, полученных при вращении следую щ их кривых: - ■ * "
1) у = sin x , п, вокруг оси Ох;
2) # — sinx, вокруг прямой, у = 1;
3) 1 вокруг оси Ох\
4) ,v = i — s int, у — I — c o st, 2 я , вокруг оси Од>
3.304.* Н айтн объем ы тел, ограниченны х следую щ им и п оверхностям и:
г-
С"
3.305. П усть тело Т об р азо в ан о в ращ ен и ем вокруг оси О у фигуры a ^ x ^ b , 0 ^ y ^ . f ( x ) , где / — н еп реры вная ф ункция. В ы яснить геометрический смысл интегральной суммы
3.306. Вывести отсю да ф орм улу д л я вы числения объем а тела вращ ен и я Т (см. 3.305):
3.307.*. Найти объемы тел, полученных при вращении
• вокруг оси О у фигур, ограниченных кривыми:
1) у = sin x , у=&0, 0 ^ п]
2) x — t —■ sin i, у- = 1 -— cos /, 0; < t ^ 2 л, у = 0;
3.7. И с п о л ь з о в а н и е а на л и ти ч е ск и х - методов п р и построении