.v — 0)
1.410. Л ю б а я ариф м етическая к ом бинация непреры в
ных в точке л'0 ф ункций (если она им еет см ы сл) непреры в
на в Л'оО) (см. 1 .3 2 2 ). •
• 1.411. Н еп осредствен н о из .определения непреры вности "
в'1точке Хо сл ед у ет т е о р е м а о с о х р а н е н и и з н а к а : если f не-, прерывна в т о ч к е, х0 и /(л*о) > 0 ( f ( x o ) <0 ) , то сущ ествует окрестность U точки Xq, такая, что f ( x ) > 0 ( f ( x ) <0)
Ү х б В Д В Д - - •,>.
Функцию f называют непрерывной слева в точке 1а, если/(хо—0) =
= / ( А'о).-Если f{xo-\-Q)— f(x<>), то / непрерывна справа в точке х0,
1.412. П усть лг0 — внутренняя точка м н ож еств а X . Д л я непреры вности f в точке % н ео б х о д и м о и достаточ н о, чтобы f бы ла непреры вна сл ева и сп рава в точке х 0, т. е. чтобы вы полнялось равен ство f (л'о— 0) = Дл'о) = f (хо+.О) (!).
А, Зак. 833 49
1.413. Вы полнение равенств 1.412 означает, что выпол
няются сл едую щ и е условия:
1) f (Л"о— 0) и*/(л:0 + 0) существуют; . - 2 ) f (л'о — 0} и f (х0 -}- 0) конечны;
3) f {х0 — 0) — f (а'0 -j- 0);
4Х f (л'о ” 0) — f (л’0 -|- 0) = f (л'о) (!),
1.414. Какое из условии 1.413 не выполнено для ф унк
ции [ в точке ,т0 = 0, если:
1) / (% )= jcos ( l/.v),
U , х = 0; 4 to, х = 0;
3) f ( x ) = 1 (*); 4) f [ x ) = f^ sin (i/.v ), Х Ф О ; [1, x ~ 0?
1 .4 1 5 .* Я вляю тся ли непрерывными слева и справа в точке ,Vo = 0 функции из уп раж н ен и я 1.409?
1.416. П ривести примеры функции, непрерывных сл ев а - в точке 1, но не являю щ ихся непрерывными в этой точке.
1.417. Л ю б а я имею щ ая смысл арифметическая к ом би нация функций, непрерывных слева (справа) в точке х 0, непреры вна слева (справа) в х 0 (!).
Функция f называется непрерывной на множества А а Х , если / непрерывна в каждой точке множества А, Аналогично определяется непрерывность слева и справа на множестве А.
1.418. *. М огут ли д в е непрерывные на [а, Ь] ф ункции различаться лишь в одной точке?
1.419. Если [ непрерывна на [а, b] и Y-V'G [а ,
=$~f(x) = 0 ( т о / ( Х ) = 0 иа [а, Ь] (!).
1.420. Ф ункция f непрерывна на [а , с] и на [с, Ь]. Б у д ет ли f непреры вна на [a, b j ?
_ 1.42І. Ф ункция / непреры вна на [а , с] и на ] с , Ь]. П ри каком условии она будет непреры вна на -[а, Ь] ?
1.422. Е сли функция f непреры вна на лю бом [а, Ъ\ с : А', то f непреры вна на X (!). ' ...
1.423. Ф ункция Д и р и хл е (см. 1.238) не является непре
рывной ни в одной точке (!).
1.424. Функция f: x \ ~ y x D ( x ) (см. 1.238)’ непрер’ывна толь
ко в одной точке (!). В какой?
1 .4 2 5 .* П ривести пример функции, непрерывной-, только, в точке Хо — а.
1.426. Пусть f : [а, £>]->■ R, ср : .г' 1->- inf / (t)l ' ip х Ң~
• . л-[
!“ >• sup f ( t ) . - -
tela, x[ . ...
1. Е сли / ограничена па [а, &], то ср и ф непрерывны слева на [а, Ь] (!).
2. Е сли / непреры вна на Та, b [, то ср и ф непрерывны на 3. П усть / непреры вна на [а, Ь ] , Б у д у т ли <р и непре
рывны. и а Га, Ь] ?
4. Если f непреры вна иа [ а , b] , а cpf#) п ф( х ) постоян
ные на [а, Ь] , то f — постоянная на [а, Ь] функция (!)-.
1.427. Ф ун к ц и и '/ и g определены na I, Л4 (х) — m ax { / (.г*), g (.*)}, т (х) = т ш { / (.*), g ( х) } .
2. Если f u g непрерывны на /, то функции rn: л*1—> ш( х ) п ( x j , x&J, непрерывны па / (!).
1.428. Если каж ды й эл ем ен т сходящ ей ся п осл ед ов ател ь
ности ( Тп ) является п ериодом для непрерывной функции / п ТсофО, то и 7\» является периодом дл я / (!).
1.429. Н епреры вная периодическая непостоянная ф унк
ция имеет наименьший неотрицательны й пери од (!).
1.430. П усть ( Тп) — ненулевая последовательн ость, кажды й эл ем ен т которой является п ериодом дл я непреры в
ной функции /. Е сли Тсо = 0, то f — постоянная функция (!).
Если для функции /, определенной в окрестности точки л*0, нару
шено хотя бы одно из условий 1.413, то функция / разрывна в точке А'о, а сама л'о называется точкой разрыва.
1.431. О бъяснить, какое из условий 1.413 наруш ено в точке Л'о, если:
Классификация точек разрыва проводится следующим образом (см.
1)' еслн нарушено условие 1, то хо — тонка неопределенности;
2} если выполнено условие 1 и нарушено условие 2, то А'о — точка бесконечного скачка;
[ Ъ Ч (*)•
д,| ^ _ / (#) -l~ g 00 Ч~ І/ (-*) — g (.у) 1 ,
т(х) = _ Щ ± д . М - У ( х ) - я М 1 ( ! ) .
2) f ( x ) = ■ 8 ’
• [0, х — я /2 + k n , А £ Z, x Q = я/2;
3) / (-^) “ i-v'j/jc, л' =r= 0, / (0) = 0, x 0 ~ 0;
4) / {x) = 1 {x) + 1 ( - x ) , Л'о = 0.
ig.v*, x Ф Jt/2 -j- kn;
1.413):
51 ■
3) если выполнены условия 1, 2 и нарушено условие 3, то Л'0 — точка скачка;
4) если выполнены условия 1—3 § нарушено условие 4, то х0 — точка устранимого разрыва.
Если f(xo—0) и ffcc-fO) конечны, то Хо —- точка разрыва первого рода, в остальных случаях Л'0 — точка разрыва второго рода.
1.432. * Выяснить харак тер точек разры ва функций:
1.433. Точка х а является точкой устраним ого разры ва дл я функции f. И зменив зн ач ен и е функции f лишь в одн ой точке, м ож н о получить функцию , непреры вную в точке
в точках устраним ого разры ва так, чтобы полученны е ф унк ции были непрерывны в эти х точках.
Если функция / определена в окрестности точки хй, за исключением самой л'о, то точку Л'0 условно называют точкой разрыва функции /. Если /(л'о—0) — /(л'о+0), то л'0 — точка устранимого разрыва. В остальных случаях классификация таких точек проводится, как раньше (см. с. 51)*
1 .4 3 5 .* П усть f — н еп реры вн ая'н еп остоян н ая п ер и оди ческая функция и ф — произвольная функция, ф (л:) —vco при x-^-Xq. Ф ункция./оф разры вна в точке Xq (!). Каков х а
рактер разры ва в Xq? ' " ■
1.436. П ривести' пример функций ф' и 'ф, разры вны х в точке Л'о и таких, что их сум м а-и п рои зведение непрерывны В Л'о-
1 .4 3 7 .* Е сли сум м а д в у х разрывны х, в х а функций не
преры вна-в этой точке, то о б е функции имею т в Л'о разры вы одного типа (!). Верно ли эт о для произведен ия дв ух
функций? ' -
1 Е
3 ) , [ ( х ) х
4) f ( x ) ~ ] _ ех/О -*) >
5) f { * )
А х б {0, ' і ■
[sin2 (1 Іх), х ф О\ '6)- / ( v) « ( е 1 / ( 1 ~ ХІ)’ I ^ 1 ’
\ а , " х = 0; ' [0, 1 * 1 = 1 .
1.438. Если ф ункция g: R0- > - R " возр астаю щ ая , а f l x \ - r - g ( x ) / x— убы ваю щ ая,, то g непреры вна (!).
1.439. Ф ункция f оп р едел ен а на ,[— 1, 2]. ф орм улой f - ( l - M ) , х £ [ - \ , 0[;
f { x ) = 0, ж = 0; '
. [2 — .V, .*610, 2]. . .
Построить непрерывную непостоянную функцию ф, такую, что фоf непрерывна'на ГО, 2 J .'
1.440.* Какого типа разрывы может иметь функция / в точке х0, 'если:
J) у s > 0 g б > 0, т§кое, что ү Һ, | Л |^ б =4*-\f (.v„ -f- h)—
— f [x0 — / i ) | < e;
2) ү е > 0 g 6 > 0 , такое, что у Л, /і', |/z| ^ б, |/і'[^ б = > -
=*■ If (л'о + Һ) — f (л'о — /t')J < е ;
3) у в ;> 0 g б ; > 0, такое, что у һ, Щ ^ б =ф- | f (х9 -f- /г)—
— 2 / (Л'о) + f (х0 — /г)| < е;
4) у е > . 0 g б > 0, такое, что у Һ, /г', І / г К Д 6=>-
=>• If (Л'о + Л) -
VМ +
f(Jfo - /01 < в ?
Пусть функция / определена в окрестности точки л*0 и / е — [х0 — в, л-0’+ в]. Величину 0 (/, а*0) — lim (sup f (л) — inf / (*)) называют /.олебани-
е~0 /в /8
ел/ функции f в точке х 0.
1.441. Выяснить, чему равно со (/, л*0), еслн л*0 является для f точкой:
1) непреры вности; 2) скачка; f
3) устран им ого разры ва; 4) н еопределен н ости .
1.442. Вычислить к ол ебан и е функции Д и р и х л е в к аж дой точке .VoGR.
1.443.* Д л я любой непрерывной неотрицательной функции
Ф : X—^R сущ ествует функция г(і; X->-R? такая, что со (г]), х ) ~
= Ф (х) у .г - е Х ( !) .
1.444. П остроить функцию f, так ую , что ш (Д х ) имеет:
1) только устран и м ы е разрывы;
2) скачок; 3 ) бесконечны й, скачок.
1.445.* П остоои ть функцию f, такую , что m ( f , х ) —f ( x ) У х в Х .
1.446. П усть .
f (v) — { 'г* = Р н ^ взаимно простые;
[ 0 , х иррациональное.
Пусть g — непрерывная неотрицательная функция и с р ( х ) ~
= f (х) g (х). Показать, что © (ф, х) = ф (х) у х £ X .
5 3
Величину со7 = sup f (х) — inf / (.v) назовем колебанием функции f на
множестве I . '
■ 1.447. Если I L c z l , то с о / ^ с о Д ! ) .
1.448. Если [ ( х ) = D ( x ) (функция Дирихле), то co/t — со/
для любого промежутка I ^ c z І (!).
1.449. Функции / и g : x \ - y f ( x ) - \ - c имеют одинаковые колебания иа / v ^ R ( ! ) .
1.450. П усть / определена на [а, b]. Функция g : .\'R~
|-^со[С)г1;] возрастает на [a, h] (!).
1.451.* Если f непрерывна на [а, Ь], то g непрерывна на
[я,
Ь](!).
1 .452.* Верно лп утверждение: если / разрывна, то g такж е разрывна?
1.453. Если функция f непрерывна на промежутке / и со/, — (£>/ у / t <= / , то / постоянна на /(I).
1.454. Показать, что со/ = sup (/ ( х г) — / (jfj*)).
t X t,X,£!
1.455. Показать, что со/ = sup \f (л*,)— / (л'2)1.
-Vl.A'iG/
1-456- Пусть % —’ Колебание функции f на / . Показать,
ЧТО (D y ^ ?C D j/[.
1.457. о)а / = [а|о)/ V c t £ R ( 0 -
1.458. ^ со/ + Для любых функций / и g , опреде
ленных на / (!).
1.459. co/_fi, ^ с о / + o)g для любых функции [ и g , опре
деленны х на /( ! ) . Привести пример, когда неравенство ста
новится равенством.
1.460. П усть функция f монотонна иа X , х 0— внутренняя точка множества X и (я„)— последовательность, х п £ Х у п £ N, Хц Ч •
]. Если (хп) монотонна, то ( /( хп)) сходится (!).
2 , з 1Ъ такое, что для любой возрастающей последова
тельности (х„), x n - + x Q^ f ( xn) - + l i (!)•
. 3. g такое, что для любой убывающей последователь
ности (Л'п), х п Л'о =>■ f (хп) ~ г /„ (!).
4. Выяснить, когда 1Х =
1.461. Если функция / монотонна на X и — внутренняя точка множества X, то существуют / (л*0 — 0) и / (.%'„ -j- 0) (!).
1.462. Если функция / возрастает, то f ( x Q — 0 ) ^ / ( л ' о ) ^ ■
^ / (А'о + 0) (0- -
1.463. С ф орм улировать и док азать аналогичное у т в ер ж д ен и е для убы ваю щ ей функции.
1.464. * К акого типа разрывы м ож ет иметь монотонная функция во внутренней точке?
1.465. Функция f монотонна на [а, Ь] и {.vi5 л'п) с : с~ [а, Ь\ —* произвольное «.-точечное множество.
1. Доказать, что ^ \f Cft + °) — — ° ) і < I/ (&) — f{a)\ . 2. Д л я у /г £ N множество (я £ [а, Ь] ||/ (x-j-O) — f ( x — 0 ) | >
> 1/я} конечно (О-
3. О тсю да сл ед у ет в аж н ое утв ерж ден и е: м нож ество т о чек разры ва монотонной на [ a t b] ф ункции счетно или ко
нечно (!).
4. Расп ростран и ть результат на случай функции, м оно
тонной на произвольном п ром еж утк е /c z R .
1.466. П усть функция / : [a, b]-^-R— возрастающая, Ң а ) ~
=, A, f (b) = В , С £ ]А у В[- и Л'о — sup {л: |/ (л‘) < С } . Тогда Д * 0 ~ 0 ) < С < / Ч * 0 + 0 )(!).
1.467. Если функция f возрастает на [g, b] и непрерывна, т о для у С £ ] А , В [ з * 0 £]«> Ь[, такое, что /( .v0) = C (l).
1.468. И сп ол ьзуя р езул ь тат І.464, показать, что м оно
тонная на [а, Ь] функция, для которой м нож ество Е у явля
ется отрезком , непреры вна на [а, 6 ] .
1.469. И з утв ер ж ден и й 1.467' и 1.468 с л е д у е т критерий н е п р е р ы в н о с т и мо н о т о н н о й ф у н к ц и и : дл я непреры вности на [ а, Ь] монотонной функции f н еобходи м о и достаточн о, чтобы м н о ж е с т в о / ( [с, 6 ] ) было отрезком (!).
1 .4 7 0 .'Пусть функция f непрерывна на [a, -f-oo[, возра
стает, f ( a ) — A и lim f { x ) — В . Тогда для у С £ ]/1, В\
3 А'о £ ]а, Ч- 001, такое, что f (х0) = С (!).
1.471. Еслн функция f непрерывна на R, возрастает, lim f ( x ) = A и lim f {x ) = B , то /(R ) = ]/l, £ [ ( ! ) .
х——со I jc-v-j-сю
Г.472. Пусть функция f монотонна и непрерывна на мно
жестве X . Каким может быть f ( X ) , если:
1) Х - - = ] а , Ь[; 2 ) Х = * [ а , Ь [ - , 3) X = [a, -j-oo[; 4) X = R;
5) X = [а, ‘J [с, d], a<C. b < i c < i dff
1.473, Тот Же вопрос для случая, когда функция f тол ь ко непреры вна.
1.47.4. Тот ж е воп рос для случая, когда ф ункция f только м онотонна. .
1.475. Если ф ункция f строго монотонна на X, то VtjMEy ЗхбЛ', так ое, что f ( x ) —y (!). П остроить нем онотонную функцию , об л а д а ю щ у ю таким ж е свойством .
Если функция f обладает свойством 1.475, то на Еи можно опреде
лить функцию со значениями в X по правилу 1.475. Эту функцию назы- 55
в'ают обратной для / и обозначают f" 1. Таким образом, f~l: Ev->-X,
f~l : i/QEv\~>~xBX, так что f ( x ) — y. ~
1.476. f~xo f : х \ - + X] f o f m l : у \ - + у ( \ ) .
1.477. Если функция f строго монотонна, то f ~ l сущ ест- • вует (!).. М ож но лп оп ределить f” 1 для м онотонной (н ест р о
го) функции?
1.478. .М ож ет ли четная функция иметь обратную ? 1.479. Выяснить, имеет ли обратную функция f, о п р ед е
л ен н ая ф орм улой: - ..
- 1) / ( * ) = 1/лг; 2) f ( x ) = x * ^ \ ; - . 3) / (х) = 2‘ ; ■ - 4 ) > (х) = У х , х > 0.
1.480. Ф ункция f: х\-->-х— & sin д:, 0 < s < l , имеет обрат-_
ную на Ну (!).
1.481. Если функция f непреры вна и / “ * сущ ествует, то / и монотонны (!). (М ож н о использовать теор ем у 1.544.) 1.482. Установить связь м еж д у харак тером м онотонно-- сти ф ункций f и f ~ l .
1.483. К акой д о л ж н а быть функция f, чтобы [ ~ 1 бы ла ограниченной?
1.484. Н айти обратны е функции для функции 1, 3, 4
из уп раж н ен и я 1.479. - -
1.485. Функции f u g им ею т обратны е. С ущ ествую т ли обратн ы е функции для f + g и f g ?
■ 1.486. П остроить к акое-либо суж ен и е функции /, им ею щ ее обр атн ую функцию, если:
1) /(A*) = sinA-, x £ R ) ' 2) f ( x ) ~ cos.v, x £ ’R;
3) f (x) = tg.v, х ф п ! 2 ~ { - kn , £ £ Z; 4) f (x) — x z, x £ R.
1.487. Если функция f непрерывна и f ~ l сущ ествует, то
f ~ l непреры вна (!). -
1.488. О бъединяя р езул ь таты 1.481, 1.487, м ож н о п олу
чить утв ер ж ден и е, назы ваем ое ' теоремой о н е п р е р ы в н о с т и о б р а т н о й ф у н к ц и и : если ф ункция f строго монотонна и не
прерывна на X , то обратная функция f ~l строго м онотонна и'непреры вна на Е у (!). ( -
1.4S9. М о ж е т ли разры вная функция иметь- 'непрерывную обратную ? ’ . - . ’ ' - : • ’ -
1.490. Е сли g ~ f ~ :, то g ~ l — f (т. е. f и / _1 взаимно' о б р а т ные) (!).
1.491. Д л я к аж дой функции выбрать в этом ж е списке обратн ую ей:
1) f ( x ) = s m x , x d \ — n j 2 , п/ 2] ; 2) f (х) = х, х £ R;
3) / (х) = .Vй , х 0; 4) f (х) “ ах , а > О, а ф 1;
; 5) f (х) = \ ogax, а > 0 , а ф \ \ 6) f { х ) ~ arcsin л', х£ [— 1, 1J;
7) f { x ) = l l x, х Ф 0; 8) j f (л) = х1 /о, х > 0;
9) f ( x ) = a-£L0, I]; 10) f (x) = *, * 6 ‘[1, 2 ]. - 1.492. П усть ф ункция f оп р едел ен а и строго м онотонна на \а, Ь] , I —-о т р езо к с концами [ ( а ) и f { b) . Д л я того что
бы f была непреры вна на [а, Ь] , н еобходи м о н достаточн о, чтобы во всех точках / сущ ествовал а обр ат н ая функция Г 0 ) .
1.493. П ери оди ч еск ая функция п ериода Т, непреры вная на каком -либо о тр езк е [а, а + Т ] , непреры вна на R (!):,
1.494. Д о к а за т ь непреры вность сл едую щ и х функций f в их естественной о бл асти определения:
0 f (х) = xf1 , a G R; - 2) f (х) = ах , а > 0;
3) f (х) « loga x t а > 0, а Ф І ; 4) f (.v) sin л*;
5) f (ж) « cos л:; 6) / (x) = tg л;;
7) f (x) - - a rcsin ;;; : 8) / (.v) = arccos x.
1.495. А ри ф м ети ческ и е ком бинации ф ункций из у п р а ж нения 1.494 непрерывны в их естественной области оп ре
деления (!)’.
1.496. Д л я функции / : а* |—>- .v— в sin.v множество значе
ний Е и = R при любом e £ R ( ! ) .
1.497. Отсюда, в силу утверждения 1,480, следует, что уравнение К еплера х — е s inх = я, 0 <С г <С 1, имеет единст
венное решение при у a £ R (!).
1.498. Этот ж е результат можно получить с помощью метода, описанного в задаче 1.310(!).
1.499. Пусть ф : х \—у 1 (х), х £ R и Ф; х |->-sin.v, х £ [— я/2, n j2]. И зучить, непрерывность композиций фоі|> и фоф в точ
ках 0 н 1.
1.500.* П усть f: X-+-Y, g: Y—.-Z и h —g ° f: X->-Z. С п равед
ливо ли сл ед у ю щ ее утв ерж ден и е: если последовательн ость . ( х п ) такова, что х п6Ar, x'ti- k v 0, х ф Х , то Һ(х п) -уҺ (х0)? ;
1.501.' Е сли ф ункция f непреры вна, в точке XqB X и g н е
прерывна в точке у в = ! ( х о ) & Ү , то h —g o f непреры вна в точ ке х 0 (!) ( те о р е ма о н е п р е р ы в н о с т и с л о ж н о й ф у н к ц и и ) .
1.502. Если ф ункция f непреры вна на X и g непреры вна на Е у, то непреры вна на А' (!).
1.503. М о ж ет ли быть непреры вной ком позиция g ° f , если:
1) f непреры вна, g разры вна; - 2) f разры вна, g непреры вна;
3) f и g разрывны? . . .
5 7
1.504. П усть f ( x ) — l / x , х ф О . Построить непреры вную функцию g , такую , что композиция g ° f в точке 0 имеет:
1) неопределенность; 2) скачок;
3) бесконечны й скачок; 4) устранимы й разрыв.
1.505. Функции и, и ( х ) > 0 и v непрерывны на R. Д ок а
зать непрерывность функции / : х I— (и ( х ) ) ^ , %(:R.
1.506. Если функция / непрерывна в точке / и g( x) ~>~l при х~у х0, то
lim f ( g (я)) *= / (lim g (x)) = / (/) (!).
х ~ х д х - * х 0
1.507. Используя результат 1.340, доказать замечатель
ный предел:
л-ч-о л: 1па
1.508. Положив в задаче 1.507 х ~ аМ— 1, получим еще один замечательный предел:
= \ Па ( \ у J/-о у
1.509. И з утверждений 1.507 и 1.508 получить:
(1 - f Xf — 1 , л І1ГП —-—-— --- = Y f .1 ^ 0 ;
Л--0 х
1.510.* П усть функция / определена и непрерывна на / и / (ах) = f (х), а > 0, а Ф 1, *
]. Если / = [0, 1], то / ( + 0) = / (1 — 0) (1).
2. Если I — [0, 1], то / — постоянная функция (!).
3. Какой должна быть /, если: а) 1 ~ [1, 4 - оо[; б) / — R?
1.511.* Определить класс всех непрерывных функций /, таких, что f { x z) — f ( x ) у д; >* 0.
1 .5 1 2 .* П усть G — множество непрерывных функций g : R—^R, удовлетворяющих следующ ему условию: g (х4-1/)~Ь + g {х — У) = 2 { g {х) + g (У)) V-V, у 6 R-
1. g ( Q) = 0(1).
2. g^— четная функция (!).
3. y.v' £ R, ү п (nx) = t r g (д)(Г). - 4. ү х £ R, Y p £ Q = ^ g (p x ) = p2g (a)(!).
5. y x , a £ R ^ g (ax) = a 2g (*)(!).
6. Определить функции, входящие в G.
1.5 1 3 .* Пусть F — множество непрерывных функции / : R |—S’- R, удовлетворяющих следующему условию: / (х +
+ y ) f ( x - y ) = f * ( * ) P ( y ) - 58
1. Если /( 0 ) = О, то / (х) ~ 0 у х (!),
2. Еслн g a £ R , такое, что /( я ) = 0, то f { x ) = 0 у х (!).
3. Установить связь м ежду F и С (см. 1.512) и о п р е д е лить функции, 'входящ ие в F.
1.514. Рассмотрим последовательности (r/fl) и (ип), опре
деленны е по правилу: 0 < . К о < . Щ , йднһі == V u nv n , =
— (% + у п)/2| (см. 1.165). Было показано, что обе по
следовательности имеют общий предел, который обозначим L (w0, и0).
1. Ь. ( Ы, Щ = %L ( а, . b) у Х > 0 (!).
2. L { a , b) = L { b , a){\).
3. L (а, ь у = ь ( у ж , ^ ± А ) ( ! ) . 4. a ^ . c i ' = ^ L { a , b) ^ . L (a', b)(l).
1.515.* Пусть / : x \ - * L ( x , 1), л * > 0 .
1. /=(1) = 1 2. / ( - i - j = - l f ( . v ) ( ! ) . ' 3. / * " < / ( * ) < - Ц г ^ (!). 4 - ( т ^ г ) = /М О )- 5. Функция /непреры вн а (!) (см. 1.438).
6. .Функция / им еет предел при х - ^ + о о (I). Найти его.
7. .Функция / им еет предел при х—М - 0. Н айти его.
1.516.* О бозн ач и м / один из п ром еж утк ов [0, 1 [, ]1 , + о о [, '[0, + о о ;[, R. Д л я &GR обозн ач им через В к ( 1 ) м но
ж ество функций, непреры вных на I и удовлетворяю щ их условию f { x 2) — f(а*) = к.
1. П усть һ в Е к ( І ) . Установить связь м еж д у Е 0 (/) и В н ( 1 ) .
2. О пределить Е 0 (Л для к аж дого выбора I.
3. Найти E k ([0, + оо[) для /г = 1п2, убедившись, что / : ж In]InЛ-| принадлежит Е к ([0, + с о [ ) .
1.517. Пусть функция / : R ^ - R такая,, что f ( x - \ - y ) ~
= / (*) + ' / (У) У*, у £ R.
1 . у х £ R у а £ Q =Ф- / ( а х ) = a/ ( х ) ( ! ) .
2. В дальн ей ш ем считаем функцию f ограниченной иа некотором непустом интервале. Т огда сущ еств ует интервал ] —а , а [, на котором / ограничена (!).
3. .Функция f непреры вна в точке 0 (!).
4. .Функция / непреры вна на R (!).
5. .Функция / линейная (!).
5 9
Функцию ф называют выпуклой на промежутке /, если ф (а'0 4*
-|- т {хг — Л'0)) < ф (л-0) - f т(ф (.vj) — ф.(.г-0)) v-vo> * i G 1 » Ут 6 [°» Li- Если на }0, 1[ неравенство строгое, то функцию ф называют строго выпуклой.
1.518. Е сли функция ф выпукла на / , то она вы пукла на л ю бом пром еж утк е, Л с : / (!). • - ~
1.519. Выпуклость функции гр на I означает, что ни одна из точек дуги графика этой функции с концами М 0 (а'0) Ф (л'0)) и Л4, (л'ь ф (^і)) не лежит н а д хордой ' ү х0 £ /{ ! ) .
1.520. М о ж ет ли вы пуклая на [a, 6J функция быть р а з рывной?
1.521. Вы пуклая иа } a , b,\ функция непреры вна (-!)■.
Будем рассматривать непрерывные выпуклые функціТи.
1.522.* И зучить м онотонность выпуклой на / функции.
1.523. Н епостоянная вы пуклая на R функция не м о ж е т быть ограниченной (!). :
. 1.524. Н еп о ст о я н н а я ‘вы пуклая k a 'R ф ункция ’не м ож ет быть периодической (!).
1.525. П остроить две выпуклые на I функции ф и т а кие, что ф°“ф не является выпуклой.
1.526.* С ущ ествует ли вы пуклая иа I функцйя ф, такая, что фоф не является выпуклой?
1.527. Д л я того чтобы ф была выпукла на [a, b], необходимо и достаточно, чтобы щ и х%£ [ а , 6] выполнялось неравенство
1.8. Функции, непрерывные на множестве
1.528. И сп ользуя у тв ер ж ден и е 1.527, показать, что дл я н еубы ваю щ ей функции ф из вы пуклости ф и ф с л ед у ет вы
пуклость К О М П О З И Ц И И ф о ф .
1.529. Пусть Обозначим через М х точку с коор
динатами х г = x ti + ъ ( .v , —>ха), у г = ф (хг ) , а через k (А В) — угловой коэффициент отрезка А В , И з определения получаем для выпуклой функции:
1.530. Пусть функция / выпукла на ] а ; Ъ[, х іг . . . , х п £
£ }а, Ь[, а и . . . , <xn £ R0, причем а х -j- сс2 - f . . . -р = 1.
И спользуя метод математической" индукции, можно доказать неравенство Иенсена:
Ф(
f ( а * к 1 + • - • + a n* n ) < « і / (A’l ) + - . . + c c j ( * „ ) ( !) .
Наибольшее и наименьшее значення функции / на Аг называют экстремальными значениями функции / на X. Если они существуют, то их обозначают max f(x) и min j( x ) соответственно. Точки, в которых [ һринимает экстремальные значения, называют точками экстремума /.
1.531. В сегд а ли сущ ествует .^обХ, так ое, что f (xq) —
— m a x f ( x ) ? ^ ■
1.532. Тот ж е вопрос для: непреры вной f; ограниченной /. П ривести соответствую щ и е примеры. '
1.533. Е сли ф ункция f о п р едел ен а на Х —'[а, Ь] и м оно
тон н а, то &Хо&Х, так ое, что f(Xo) = m a x f ( x ) (!).
1.534. Справедливо ли аналогичное утверждение для:
1) [а, Ь[\ 2) Х = [а, Ь] U [с, d], а < 6 < сл< d?
1.535. Пусть f непреры вна‘на X и A — su p /(я ).
х
1. Если (ап) — возрастающая последовательность, а п ~ ^ А , то существует последовательность (%),' {.vn} c : X , такая, что
y / ? £ N ( ! ) . ‘ .
2. Е сли (а, Ь] , м ож но вы брать сходящ ую ся п о с л ед о вательность (хп) (!).
3. Если х п->-х, то / ( х ) ~ А (!).
1.536. И з за д а ч и 1.535 сл ед у ет т е о р е м а В е й е р ш т р а с с а : непреры вная на [а, Ь] ф ункция приним ает иа {а, Ь] свои экстрем альны е зн ач ен и я (!).
1.537. В ер н а лп теор ем а В ей ерш трасса, если в ее ф ор мулировке:
1) вместо Та, 6] взять [ a t b [; - 2) вм есто [а, Ь] взять [а, &] U [с, d] ; 3) функция f ие является непреры вной?
1.538. Н епреры вная на [а, Ь] функция ограничена (I).
1.539. О бязател ьн о ли ограничена функция, непреры в
ная: па ] а , b [; иа R? Сравнить с утв ер ж ден и ем 1.309.
1.540. Если функция f непрерывна на R и ни на одном интервале ] а, Ь[ не принимает значення sup Ң х ) и inf f ( x ) ,
]я. Ь[ la , i [
то f строго монотонна на R (!).
1.541. Если ф ункция f непреры вна на [а, Ь] и на к а ж д о м отр езк е [ a, Ь] приним ает эк стр ем ал ь н ы е зн а
чения в граничны х точках этого отр езк а, то f строго м он о
тонна на [а, 6] (!).
- 1.542. У казать м н ож ество значений функции /, у д о в л е творяю щ ей условиям за д а ч и 1.541. •
'1 .5 4 3 - Пусть функция / непрерывна на [а; Ь], / (а) < 0, f ( b ) > 0 и М = { х \[ (/) ^ 0 у t £ [ a , х], х £ [ а , Ь\). Если с =
=: su p M , то f ( c ) — 0 (!).
1.544. О тсю да получаем те о р е м у о п р о м е ж у то ч н о м з н а - 61
ч е н и т если функция f непрерывна на / и приним ает на / знач ен и я Л и В, А < В , то [ приним ает на / и л ю б о е п ром е
ж уточ н ое значение С б ] Д 5 [ (!).
1.545. Всякии многочлен нечетной степени обр ащ ается в нуль хотя бы в одной точке (!).
1.546. П оказать, что уравнение х е х — 1 имеет на ] 0, 1[
по крайней мере один корень.
1.547. С ущ ествует ли разры вная на [а, 6] функция, при
ним аю щ ая на этом о тр езк е к а ж д о е п р ом еж уточ н ое з н а чение?
1.548.* М нож еством значении функции, непреры вной на отр езк е (к ом п ак те), является отрезок (ком пакт) (!).
1.549.* Д в е непрерывные на [а, Ь] функции f и g имею т одн о и то ж е м нож ество значении. Т огда сущ ествует сб [а, Ь] , так ое, что [ ( c ) = g ( c ) (!). :
1.550.* Е сли функция [ непреры вна на / = [а, b] и f ( ! ) =
= /, то S.v'oб /, такое, что /(л'о) = х 0 (!).
1.551. Р езул ьтат 1,550 п ерестает быть верным, если / — н езам кнуты й или неограниченный п ром еж уток (!).
1.552. Пусть функция £ непрерывна на [0, 1] и / ( 0 ) —
= f (1). П оказать, что уп б N g n : x\-s- f (я + 1 .In) — f (х) о б ращается в нуль по крайней мере в одной точке из [0, 1 —
— 1/я].
1.553. Утверждение 1.552 неверно, если вместо 1/я взять с с £ ]0 , 1/2[, а ^ 1 / я ( ! ) .
1.554. Если функция f непрерывна иа [а, + оо[ и f ( x ) - + - i при х —> [- со, / > f (а), то [/(а ), Ц а Е у (\).
1.555.* Если функция f непрерывна на ]а, Ь[, то для любых х и . . . , х'д £1я, Ь[ существует с £ ] а , Ь[, такое, что
— 2 д.% ) = /= (Ь)(і).
п * 5
1.556. Пусть f : А'!-?-1Д\ * 6 ]0, + 00[• Непрерывность функции f в точке х 0 б |0, + °°[ означает: у е > 0 а б > 0 , такое, что уд.', \х — А'0] 6 |/ (,v) — f (л'„)| е. Показать, что
при фиксированном в число б зависит от ,v0.
1.557. Н е существует число б, которое годилось бы для всех Л'о (ЕЮ, + £»[(!).
1.558. Пусть < х;>0 и g — суж ение функции / : х\~>~ [ fx на [а, + со[. Д л я функции g число б можно выбрать не зависящим от л*0 б [сс, -{- о о [(!)-
Функция/": X — R называется равномерно непрерывной на Л с ц Х , если ү е > 0 3 6 > 0, такое, что v-^i* *26 A, J.v'i — х*\ ^ 5 =>■ \f (х{) —
— / (*а)| < е .
1.559. .Функция g из "задачи 1,558 равном ерно непре
рывна на .[сс, + о о [ (!).
1.560. Р ав н ом ер н о непреры вная на А функция непре
рывна на А (!), О бр атн ое утв ер ж д ен и е неверно (!).
1.561. Е сли функция f равном ерно непреры вна на А , она равном ерно непреры вна на лю бом B c z A• (!).
1.562.* П усть функция / равном ерно непреры вна на Л и на В.
1. .Функция f равном ерно непреры вна на Л П 5 (!).
2. Е сли А и В — отрезки, то f равном ерно непреры вна на А \ ] В (!).
3. П остроить функцию, равном ерно непреры вную .на [а, b] и ]Ь, с ] , но не являю щ ую ся равн ом ерно непрерывной на [а, с ] .
1.563.* П усть функция f не является равном ерно н епре
рывной на А . ..
1. Зап и сать это по правилу Д е М органа.
2. И спользуя результат 1.315, показать, что существуют с > 0 и последовательности (л'л), (Хп), х'п, х"п £ A y n g N , такие, ЧТО \х'п — Хп\ -Г- 0 и \f(x'n) — f { x ' n ) \ > & .
3. Если А ~ [а, Ь], то g (x « ), (л-л), такие, что xL = x'L £
£ Л (!).
4. Функция / не м ож ет быть непреры вной, если А — Г {а, Ь) (!).
1.564.* Н епреры вная на ‘[а, Ь] функция, равном ерно н е
прерывна ка ,[я, Ь] ( те оре ма К а н т о р а ) (!).
1.565. П ривести пример функции, равном ерно непре
рывной:
1) на [0, 1-]; 2) на ] 0, 2 ].
1.566.* Е сли ф ункция / не является равн ом ерно н епре
рывной на :[а, Ь] , то она разры вна хотя бы в одной точке
из [а, Ь] (!). ■
1.567.* Ф ункции f и g равном ерно непрерывны на [а, Ч- оо,[.
1. П р ои зв еден и е f g м ож ет не быть равн ом ерно н еп ре
рывной на [а, + с о [ ф ункцией (!).
2. Если ф ункции / и ^ ограничены , то f g равн ом ерно непрерывна на [a, -f-'oo [ (!).
1.568.* Если функция / непреры вна на ] а, Ь [ , то Ул'0<3] а, сущ ествует окрестность [ / э х 0, так ая, что f р ав
номерно непреры вна на U (!).
1.569.* П усть f: X- >-У, g: У -у-Z. Б у д ет ли равном ерно н е
прерывной на X ф ункция g ° f , если:
1) / равном ерно непреры вна на X , g равн ом ерно н еп ре
рывна на У; . ' ?=- - . ;
2) / равном ерно непреры вна -на X, g непреры вна на У;
' 3) / непреры вна на X , g .равном ерно непреры вна на У?
1.570. Если функция / непрерывна на [а, + б<?[. и сущ е
ствует конечный предел lim •/ (х), то / равномерно ' непре-
.V-•-*-«> •
рывна на \а> - -f- оо[(1). . . -
1.571. Е сли -ф ун кция / равном ерно непреры вна на А , т о , УВ> 0 / Н 5 > 0 , такое, что н а .л ю б о м пром еж утке I c z A длиной 5 к ол ебан и е функции е (I). '
1.572. Д л я равномерной непрерывности функции / на
] а, b[ н еобходи м о и достаточн о, чтобы ( была непреры вна на ] а , Ь [ и сущ ествовали конечные пределы /(а -Ь 0 ):,
f ( b - 0) (!). . . . . .. ■
1.573. И з у тв ер ж ден и я " 1.572' следует, ч т о '' ф у н к ц и я ./
равн ом ерно непрерывна на Jа, Ь[ „тогда и только тогда, к о гд а она является сужением;:непрерывной на [а. Ь\ функ-
д и н (!). . „
Пусть / определена на [а,' Ь ]\и a = {a = .v a, .v;L,- , \ . , хп — Ь}, Величину
</) = » ? 2 ;IО *яЛлг = 1 H * d ■ . - • называют полной вариацией f на. [а. Ь]. Если V^if) конечна, то / назы
вают функцией с ограниченной вариацией. Множество всех функций ^ о г раниченной вариацией на [a, fe] обозначим В^а
1.574. Если функция ^монотонна на [а, Ь\, то V ba ( f ) —-
; = - !f { b ) - f ( a % \ ) . - . : . .
1.575. Привести пример функции, вариация которой не ограничена. . ...
'1.576. V i ( f ) ^ \ f X b ) - y № ) - ~ ' - -
1.577. ( / ) ' ¥ [ « , K c f e МО)- , ' '
1.578. Если B [fl ,, то f ограничена на__ [а, &](!).
1 .«79. V-:; с / . 1 • v t (f) + v i ( g m . : ■ ' 1.580. Множество В ,а замкнуто относительно операций
•сложения, вычитания и умножения (!).
1.581. Если и g (x )‘; > e c > 0 у х £ [ а , Ь], то f i g £ ®[a, £,](')• ... .
1.582. Пусть f e В [0>ч и с £ ] а , 6[. Тогда VS (/) + Vj 0 =
= VS (/)(!).
1.583.* Пусть a = a a <C,(X1 <c , . . с a h. = b ii функция / монотонна на каждом отрезке а;]. Тогда / £ В [а i;|(!).
1.584.* Если f £ B [tf> fe]> то функция (р: л* I7;! (/) возра
стает {!).
1.585. Пусть f £ B ^ OJI ф : к !->- V I {[) и \р ~ ф — Д Пока
зать, что ф (л + A.v) — ф (л*) = V*+hx (f) — ( f (x - f Дx ) ~ ~ f (x)) y.v* £ [a, b] и Дл; > 0 , rc + Дл: £ [a, £>].
1.586. Ф ункция \\> -(см. 1.585) в о зр а ста ет (!).
1.587. И з резул ь татов 1.584 и 1.586 сл е д у е т н еобходи мость, а из 1.579 и 1.583 — достаточн ость следую щ его утверж дения: дл я того чтобы /б В [ а, щ, н еобходи м о и д о с т а точно, чтобы f была п редставим а в виде разн ости д в у х в оз
растаю щ их функций (!).
1.588. Если / £ B [a>fcl и непрерывна, то ф: .г*і~>У£(/)— не
прерывная функция (!).
1.5S9.* Если /6 B [ a,?j] и непрерывна* то она п редставим а в виде разности д в у х непрерывных монотонны х функций (!).
1.590. И з утв ер ж д ен и я 1.587 сл едует, что если f6 B [a &], то V f ( x + 0) и j { x —0 ) 6 R V x G ] a , b [ (!).
1.591. М н ож еств о точек разры ва функции f6 B [a, b] счет
но или конечно (!) (см. 1.590, 1.461, 1.465, 1.587).