Будем рассматривать функции, т. е, отображение вида /: Х-+-Ү, X, УсгЯ. Точнее, пусть X, )'c:R, Закон f, сопоставляющий каждому .vGA' единственное число у^У, называется функцией. Число у обозначают
y = f ( x ) . Сам факт задания функции записывают следующим образом:
f: X:-+Y или ! : 'хвХ і-*-у=!(х)вҮ.
Множество X называют множеством задания функции /, множество Еу — {y\!/— f(x)> х£Х} — множеством значений f. Задание функции / уже предполагает задание множества X. Будем рассматривать в основ
3 1
ном функции, заданные аналитически, т. е. одной или несколькими фор
мулами. Если / задана формулой и .множество А" не указано специально, то под X будем подразумевать естественную область определения f, т. е.
множество х, при которых эта формула имеет смысл,
1,233.* Н айтн естественны е области определени я ф унк ций, за д а н н ы х ф ормулам и:
1.234. П остроить ф ун к ц и ю ,.задан н ую ф орм улой , у к ото
рой естественной областью определени я является м н о ж ест во { а } [ } [ Ь , с ) , а $ [ Ь , с] .
1.235. Естественная область определения функции f: х н ~ 1~>- logGfp (jc), О, а ф \ %_ не зависит от выбора а (!).
1 .2 3 6 .* Пусть (л*„) — арифметическая прогрессия с раз
ностью d и /: х Ь Ф - f i x ) ~ 2 х,. Последовательность f { x n) явля
ется геометрической прогрессией (!). Найти ее- знаменатель.
1.237.* Пусть (л:п) — геометрическая прогрессия со знаме
нателем q и f: х!->■ f i x ) = lo g x2.
1. К акова естественная область оп ределени я f?
2. П оследовательность' ( l f f ( x n ) ) является ари ф м ети ч е
ской прогрессией (!). К акова ее разность?
1.238. Ф ункция Д и р и х л е D } R->-R оп р едел яется ф о р м у лой
\ а / Показать, что у /;,д £ Z D (х -І- pjq) = Г) (х).
1 .239.* Функция Х е в и с а й д а определяется на R формулой 3) f (х) - — V ах2 - \ - 1 - | - Ьх2 - \ ~ ! , а Ь > ' 0 ;
4) / (х) = in sin х; 5) f (х) = In In. at;
6) / (.v) = у е х— 1; 7) / (*) - In V х 2- 1.
Пусть a, b £ R, а С Ь.
1. Вычислить 1 ( х—а).
2. Вычислить 1 {х — д) 1 (я — Ь).
с помощью 1 (д;).
3. Пусть /: R - ^ R , Выразить f (х)
4. -Записать с помощью 1 (х) функцию g ,
Функция f: X-*Y называется ограниченной (ограниченной сверху, снизу), если множество Ev ограничено (ограничено сверху, снизу). Гра
ни множества Еу обозначают:
sup Е,. = sup'/ (х) — sup f (x); inf Ev== ini / (x) = inf f (x).
хщХ x xqx x
1.240. Пусть f и g— две функции, определенные иа R.
1. sup (f (*) + g (.x)) < sop / (x) -j- sup g [x) (!).
A A A
2. Построить пример, когда будет равенство.
3. Предположим, что [ (х) < g (х) у х £ X ~ [а, Ь]. Могут ли выполняться .оба равенства: sup f (х) sup g (х) u inf / (:c) —
- A' X x
--= inf g { x ) 7 ...
Л’
4. Допустим» что sup / (я) < sup £ (л*) и inf / (.v) < inf g (x),
'■ . X X X X
X — ,[a,b]. Следует ли отсюда, что f (а')< g (х) у х £ [ а , b\?
Пусть /; X -► Y и Л с Х - Функцию g: Д-- Y, определяемую по пра
вилу: g : x g Л !->-£(.*) ~ Ң х ) , называют сужением [ на А.
1.241. Пусть f: x i - ^ - x 2 y ^ £ R и g-— сужение f па [0}~j-oo[. Сравнить Е у для f и для g/
1.242. Сравнить м нож ества значений произвольной ф унк
ции f и ее произвольного суж ени я.
1.243. Если ф ункция f ограниченаі то -и л ю бое ее с у ж е ние ограничено (!)’.
1.244. М н ож ество всех оп ределенн ы х на [а, Ь] и о г р а ниченных функций зам к нуто относительно слож ен и я и -ум н ож ен и я (!■). Зам к н уто ли оно относительно деления?
(А риф м етические операции над функциями оп ределяю тся естественны м обр азом :
f + g ■ x l - *. f ( * ) + g (x), f g : x I - > ,f (x) g (xj, f i g : x I-»-/ ( x) l g (x).) 1.245. Если f ограничена иа [a, b], то функция g: [a, b ] —>
- y R > 8 (x) — Г {x)-\- CL\fn- 1 (x) + . . . -\~ an_ J (x) + O-n V ° i >
Ог> •••> а п €R> ограничена на [a} b] (!).
1.246. Привести пример функции, для которой f (л) Ф Ф sup f (,v) у .v 6 если:
f) X « R ; 2) X = 10, I]. '
П у с т ь f : Х - Ү и g : Y 1 - * Z , V c z Y u X , Z c z R . Т о г д а к а ж д о м у x q q X м о ж н о с о п о с т а в и т ь z q Z п о п р а в и л у : h : л —k Z = * g ( / ( x ) ) , т . e . м о ж н о о п р е д е л и т ь ф у н к ц и ю h : X - + Z , к о т о р у ю н а з ы в а ю т к о м п о з и ц и е й ф у н к ц и й g и / ( с л о ж н о й ф у н к ц и е й ) и о б о з н а ч а ю т h ~ g o [ .
1.247. Выяснить, в каком из следующ их случаев можно построить композицию g ° f :
1) f : x \ - + l n x у л * £ ] 0 , 1], д: х i->- Inх y . v £ 1 0 , + о о [ ; 2) f: х Н-л'2 V .г' £ R, g: х i-э- cos х у л* £ R;
3) /: * [-> tg * у х £] — я /2 , я /2 [, g: х t- > е* j( у х £ R0.
1.248.* М ожно ли составить композиции f o f , f o g , g ° f , g ° g , если:
1) f (x) = ex y x PR, g (x) = In x y x £ ] 0, + o o [ ; 2) / (л) = 2 х у .v £ R , g (x) = x2 y .v £ R ? .
1.249. К ом позиция ограниченны х функций огран ич е
на (!). .
1.250.* Б у д ет ли ограниченной композиция fog, если:
1) f ограничена, a g ■— нет;
2) g ограничена, a f — нет?
1.251. К омпозиция Dof ограничена для лю бой ф ункции f (!) (см. 1.238).
1.252.* Рассм отрим функцию Е: ( я ) , где Е ( я ) — ц е лая часть числа х, xGR. К акие значения приним ает /, если
£ 4 W ?
1.253. Функции f: [a, 6]->-R и E ° f о б е ограничены или о б е не ограничены (!),
1.254. Функция /: [0, 1 ]—>*R ограничена на любом отрез
ке — . , , /г ^ N. Ограничена ли f на [0, 1]?
Jl '•j* 1 Л
1 .255.* Пусть /: х \~>-ах + b, .\'£R , а и- b — фиксирован
ные. Найти f o f ° . . . of.
я раз
1.256.* П усть f — произвольная функция, С ущ ествую т ли функции ср и ф, ( р ( х ) ф х , \[i (л') ф х , такие, что f = ф°ф?
1.257. Ф ункции f и ср определены и а м н ож естве X. С у
щ ествует ли функция ф, так ая, что фоф— f?
1.258. Ф ункция / представим а в виде /= -ф с ф . Является . ли так ое представлен и е единственны м?
Пусть функция / определена на множестве X, таком, что д Т Ф О
V , v g ^ = ^ ^ + T £ X , Если / (.V-}- Т ) — / (,v) ү x q X , то / называется периодической функцией с периодом Т.
1.259. Является ли периодической функция Д если:
1) f (л') — sin.v -j- cos (л'/2) -|— 1; 2) f (х) — Sivrx
3) Ң х ) = Е { х ) + 1; 4) f ( * ) - £ ( * ) + ! ( * ) ? 1.260. П ривести пример периодической функции с пе
риодом:
1) 1; 2) 1/2; 3) 3; 4) е.
1.261. Если Т — п ери од функции Д то к Т т а к ж е являет
ся периодом / при лю бом /гбZ (!).
В дальнейшем под периодом будем понимать наименьший из поло
жительных периодов функции (если он существует).
1.262. Ф ункция / периодическая с п ериодом Т. О п р еде
лить, б удет ли периодической функция g, если:
1) g ^ , = а), 0 £ R фиксировано;
2) g (л') = a f {х 4* Ь) Ң- с, а, Ь, с £ R фиксированы;
" 3) g (.*) = № ) ; 4) g w = / ( i / . 7 ) .
1.263. Ф ункция f периодическая, и f©q> оп р едел ен а. Б удет ли периодической ср?
1.264. То ж е для фо/ в п редполож ен ии , что фо/ о п р ед е
лена.
1.265.* Если функция f периодическая с периодом Т, то / 2 — т а к ж е периодическая с периодом 7 \ ^ Т , П ривести при
мер, когда Т \ < Т .
1.266. Ф ункция Д и р и х л е (см, 1,238) п ериодическая, но не имеет наим еньш его п олож и тельного п ериода (!).
1.267. М ногочлен м ож ет быть периодической функцией только тогда, когда он нулевой или степень его равна ну
лю (!).
1.268. О тносительно каких ариф м етических операций з а м к н у т о м нож ество -всех периодических ф у н к ц и и с перио
дом Г?
1.269. Функция f: X — R. удовлетворяет условию f (ах) —
~ f [ x ) у х £ Х , а!> 0 — фиксированное. Показать, что усС>0, с - - / - ] , функция ф: х I—?- f (сх) периодическая. Определить ее период*.
1.270.* Ф ункции f u g периодические с ненулевы ми п е
ри одам и Т г и Го.
1. Е сли f j /Т г б Q, то функция f + g периоди ческ ая (!)'.
Каков ее период?
2. Б у д ет ли периодической f + g , если T i / T ^ Q . ?
Функцию j, определенную на X, называют четной, если VxGAr=>
— хЬХ и f ( —х ) — [(х). Еслн V.v6A"=i— .vGA' и f ( ~ x ) — —!(х), то / на
зывают нечетной.
1.271. Выяснить, являю тся ли четными или нечетными функции, определенны е ф ормулами:
i y f ( x ) = x2K ' K N , . * £ R ; "
- 2) f ( x ) = x ^ / k £ N, * £ R ; '
3) /(.v) = c o sx -j- sin2x, x £ R ; - . - 4) f (x) — Ф + sin Xt x £ R;
5) f ( x ) ' ~ e x! + x, x c \ l . - •• .
1.272. Функция f определена на R. Выяснить, являются ли четными или нечетными функции, заданные формулами:
1) ф (х) - f (х) + / Г— v); 2) ф (х)]=[[ (х) - f(—л);
3) ■ 5) < p (* )« /(J * |);
6) ф = f o g t гдеГg-— четная функция;
7) = f o g , где g — нечетная функция.
1.27$* Пусть а £ R, а ф О , f: R - v R (И g: х 1-4- / (х + а) — четные функции. Тогда функция f периодическая (!). Опре
делить ее период. • . '
1.274.* Л ю б а я функция ft ] —I, L [ - +R представи м а в виде сум мы четной и нечетной функций (!)'.
1.275. П редставить в виде суммы четной и нечетной ф ункции следую щ и е функции: • .
1) /: х \ - + { х + l)\ х£Я; 2.)'/:* ң н * "" ..
• 1.276. О тносительно каких 'арифметических оп ераци й зам к н уто м нож ество всех четных (нечетны х) функций?
Функция }: Х-н-R называется возрастающей, если Va*i, XiGX, Х \ С
< х 2=>-}(хх) I( щ ) , и убывающей, если Т Х у х 2вХ , х< < 'х 2= ^}(хі) . ^ [ ( х2).
Если неравенства строгие, то. / называют строго возрастающей или стро
го убы ваю щ ей соответственно. Все эти функции называют монотонными.
1.277. Л ин ей н ая функция /г х \-~>ах-~ b м онотонна на
R ( O ' . . ■ . . . .
1.278. Если f монотонна, то и л ю бое ее су ж ен и е м оно
тонно" (!)'. В ерно ли обратное?
1.279. Показать» что .функция /: х \~*-ах2 + Ьх + с, а ф О, л с R* немонотонна. М ожно ли построить ее монотонные су
жения? __ . . .
‘ 1.280. Д л я функции 7 из за д а ч и 1.279 найти a , b , c QR, такие, чтобы суж ен и е f на [0, 1] было монотонным.
1.281. П усть f y [a, b } ~>-R i fс &] а , b [. Если с у ж е н и я н а [а, с] и [с, Ь] возрастаю т, то / в озр астает (!)'.
1.282. М о ж н о - , ли в за д а ч е 1.281 зам енить [с, Ь] на
]с , Ь ] ? г - - '
1.283. П остроить м онотонную функцию /, так ую , что функция ! /] : л 'Н Н /М [ нем онотонна.
1.284. Если |f 1 м онотонна, то о б я зател ь н о ли м онотон
на /? .
Пусть /; X-)-R, Л с Х и g — сужение f на Л. Если функция g имеет свойство Р, то будем говорить, что f на А имеет свойство Р.
1.285. Ф ункции If j и р имею т сов п адаю щ и е п р о м еж у т
ки м онотонности (!).
1.286. Функции f и g “монотонны на [a, h], f { a ) < C g { a ) и f { b ) < g { b ) . Верно ли, что f { x ) < g { x ) у х £ [й ,& ]?
1.287. Определить \ промежутки монотонности функций, заданных формулами: .
1 ) | f (я) = sin 2#; 2) f ( x ) ~ E (х) — х;
3) f ( x ) = t g x * 4) f(x ) = l / ( x - l ) ; . 5 Г д а » : і ( * ) ; 6) =
1.288. Если f я g возрастают иа X = [а, 6] и ограниче
ны, то:
sup {f (х) + g (х)) = sup f (.х) + sup g (x);
X X X
. inf (f (x) + g (x)) = inf / (x) + inf g p l { \ ) .
x gx X
С праведливо ли ан алогичное у тв ер ж ден и е дл я убы ваю щ их f n g ? .
1.289. П усть f и g — в озр астаю щ и е на X функции. И зу чить м онотонность ф унк ции f + g , f—g , f g , f / g (в п оследнем случае g ( x ) ф О , x Q X)'.,•
1 .2 9 0 .„Если f: R-^-У и У — конечное м н ож ество, то f не лю жет быть строго м онотонной (!).
1.291. М о ж ет ли м онотонная ф ункция быть четной (н е
четной) ?
1.292. М о ж ет ли м онотонная функция быть п ериодиче
ской?
1.293. У к азать функцию /: R—^R, такую , что tp: х
|- н з і п / ( х ) м онотонна. :
1.294. П усть функции f н ф определены на R и f м оно
тонна. Б у д ет ли м онотонной композиция /оф?
1.295. И зучить м онотонность ком позиции /оф (считая, что она м о ж е т быть о п р едел ен а) в случае, когда:
.1 ) / и ф возрастаю т;
2) / в озр астает, а ф убы вает;
3) / убы вает, а ф возрастает;
4) / н ф убы ваю т.
37
Важнейшим классом функций, изучаемых в курсе средней школы, является класс функций, условно называемых элементарными. Обозна
чим этот класс Е. Характерными свойствами класса Е являются:
1) функции: постоянная f ( x ) — c, степенная f ( x ) = x ^ , синус f (x ) —
= s if iX показательная f(x) — ax -принадлежат Е;
2) класс Е замкнут относительно арифметических операций;
. . 3) если /GE, то MGE;
4) если f, gBЕ, то /о ^ б Е (если f ° g имеет смысл).
В частности, элементарными являются:
гиперболические функции
sh х — —— (ех — е ~х)—синус гиперболический х ; z Y \ x - —^ - ( e x -\~e- x) —косинус гиперболический х;
th х — — тангенс гиперболический х;
ch Л"
об ратные, гиперболические функции
arshх = In (.V V х- -г I)—ар еа-синус гиперболический х;
arch х = In (л'-j- V 1) — a pea-косинус гиперболический х;
1 1 + л- ^ „ • -
arthx = ‘ ^ In -— — — ареа-тангенс гиперболическим х (!).•
Основанием для таких названий является глубокая связь этих функ-' ций с тригонометрическими функциями. Для гиперболических функций выполняются следующие соотношения:
сһЧ' — sh2.v — 1; ch".v -j- sh2,t = ch 2x; 2sh x ch.v = sh 2x\
_ 2 t h X 1
th 2x ~ , , , 0 ■; 1 — іһед: == — — ; 14* th2* * сһ-д:
sh-x* = —- (ch 2x — 1); ■ сһ2д* = “ (ch 2x 4- 1);
sh (a: ’+ y) = sh a: ch у - j- ch x sh y; ch (л; + У) — ch л; ch у -f- sh x sh y\
д'4-y x — y _ x — у x + и
sh x -f- sh y — 2sh - — ch •——— ; sh x — sh у — 2sh -— ~—■ ch — —— ; .v + у x — у , x 4- и , x — и ch х 4~ ch у ~2ch — — ch - - ^ •; ch х—cl: y= 2sh •— ^— sh — —— ; sh x' sh у = — (ch (.v-f y) — ch {x — у)); 1
sh x ch у = ~ (sh (л* -j* У) + sh (* — У) );
ch x ch у = ~ (ch (x + y) 4- ch (a: —• y)) (!).
1 .2 9 6 . Показать, что следующ ие функции элементарные:
1) [: х ^ х + logaarctg х\ 2) [ i [— 1, 1] —»-R, f { x ) ^ = x . 1.297.* Будут ли элементарными • функции, определенные по закону:
1) <p: [— 1, 2] ->-R, ц>{х) = х] 2) <p: ] 0, + со Ң -R, <р(д)=
x?
1.298.* Пусть /: Л'- ^ R , f и ] а, Ъ [ c z X . Будет ли суж ен и е / на Jа, Ь [ элементарней функцией?