PDF Ю. С. БОГДАНОВ О. А. ҚАСТРИЦА

Ю. С. БОГДАНОВ О. А. ҚАСТРИЦА

Н А Ч А Л А ' .

А Н А Л И З А

в з а д а ч а х

и у п р а ж н е н и я х

Д оп ущ ен о М инистерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебн ого пособия -дл я студентов математических специальностей

университетов

/

Минск

«Вышэйшая школа»

1988

Ц елиноградский пединститут и*ени С. Сеііфуллина - У Я К Б И Ы Й ' ‘ А Б О Н ь М Ш Т

ББК 22.І6ІЯ73 Б73 У Д Қ 517(075.8)

Р е ц е н з е н т ы : кафедра математического анализа Грод­

ненского государственного университета; чл.-корр. АН СССР Л , Д. Кудрявцев

• ■ W - . .

ч 1702050000— 016 ^ Б--- і гі — 88

A \30.4(03j)j-;8a - <. '

© И здательство

IS B N 5 — 33 9 — 00009“ 5 «Вышэйшая школа», 1988.

П Р Е Д И С Л О В И Е

При написании данного пособия авторы опирались на опыт преподавания математического анализа и а факульте­

те прикладной математики Белорусского государственного университета им. В. И. Ленина.

Материал пособия разделен на три главы, соответствую­

щие трем важнейшим разделам математического анализа:

«Непрерывность», «Дифференцируемость», «Интегриро­

вание». .

Авторы пользуются в основном эвристическим методом.

На базе минимума теоретических сведении (исходных по­

нятий, определений) даются специальным образом подо­

бранные задачи, подводящие читателя к формулировке и доказательству утверждений, которые в большинстве учеб­

ников приводятся как теоремы, В последующих задачах эти утверждения углубляются и обобщаются, а также на­

мечаются пути для дальнейших исследований. Прн выборе терминологии и обозначений авторы отдавали предпочте­

ние терминологии, принятой в средней школе.

В пособии использованы наиболее удачные задачи, по­

мещенные в известных книгах, без прямых ссылок иа них (задачники Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина, J3, П. Деми­

довича, Я. И. Рпвкиида, Н. А. Давыдова, П. П. Коровкина и В. М. Никольского, Ю. С. Очана, Н. Я. Виленкина и др.).

При самостоятельной работе с пособием полезно обра­

щаться к ответам и указаниям, помещенным в конце книги.

Задачи, к которым даны пояснения, отмечены звездочкой.

Знак (!) в конце утверждения означает, что читателю сле­

дует самостоятельно убедиться в его истинности.

В качестве дополнительной справочной литературы ре­

комендуется использовать книги «Математический словарь средней школы» и «Математический словарь высшей шко­

лы» В. Т. Воднева, А. Ф. Наумовича и Н. Ф. Наумовича.

Можно сказать, что у книги есть «третий автор» — кол­

лектив кафедры высшей математики Белорусского госу­

дарственного университета. В пособии широко использова-

3

ны как общие установки, разработанные на кафедре, так и многочисленные конкретные замечания „сотрудников ка­

федры. ' . - •.

-Авторы выражают глубокую признательность рецензен­

там книги — чл,-корр.-АН С С С Р Л. Д. Кудрявцеву и кол­

лективу кафедры математического анализа Гродненского государственного университета ■■— за ценные и принципи­

альные замечания и советы,‘побудившие существенно пере­

работать содержание и структуру книги.

- Пособие адресовано в первую очередь студентам мате­

матических специальностей университетов' для использова­

ния как на учебных занятиях; так и при самостоятельном изучении математического анализа. Авторы надеются, что оно окажется полезным и преподавателям.

Все отзывы и пожелания, направленные на улучшение пособия, просьба присылать по адресу: 220048, Минск, проспект Машерова, 11, издательство «Выш эйш ая школа».

А в т о р ы

О С Н О В Н Ы Е О Б О З Н А Ч Е Н И Я

. N — множество натуральных чисел

N0 — множество неотрицательных целых чисел Z — множество целых чисел

J Q — множество рациональных чисел ' R — множество действительных чисел

R0 — множество неотрицательных действительных чисел

G — множество комплексных чисел D — множество десятичных дробей^

{rv } — конечное или бесконечное множество, состоя­

щее из элементов х, в частности {%, .« } — .Vi}u {д'ь лг2} = {*1^{} при XL — Хп} {л:[Р} — множество элементов х, удовлетворяющих ус­

ловию Р '

0 —• пустое множество A f | В—7 пересечение множеств А и В А '[}В — объединение множеств А и В

А \ В — разность множеств (множество элементов из А, ие принадлежащих Б)

a q А — & является элементом множества А а (£ А — а ие является элементом множества А

■В С

2

^{А — В} является подмножеством множества /1 ү — квантор общности 'Qfx Р (.г) означает; «для

каж дого х истинно утверждение Р (*)») 3 — квантор существования (Ях Р (х) означает}

«существует х, для которого истинно утверж­

дение Р (я)»)

“1Р — отрицание утверждения Р (утверждение, про- тивоположное утверждению Р )

Р=^- Q — знак следования («из Р следует ф>)

■ P^==^G — знак равносильности («утверждения Р к Q равносильны»)

}• X — Y— отображение f множества X в множество У|

/ : х gUC (->• у g У — отображение / переводит элемент х множества X в элемент у множества Y _

Е у — {у\ У ={"/ (л'),(л'в'А'}— множество значений функции /

f И ) " i f ix) [д;’о А ) — образ множества А при отображении f rniri А — наименьшее число в множестве А шах А — наибольшее число в множестве А

sup Л .— точная верхняя граница множества А _ inf А — точная нижняя граница множества А

5

U АI — объединение множеств А%, Ап, . . . І—І .

\ J А — объединение множеств, удовлетворяю щ их ус- р

ловню Р

ОО -

a A i — пересечение множеств А±, A'i, , . . i ~ l

п\ — п\ — 1 - 2 ' 3 • • - п ( о т -фактор нал»)

п\ \ — произведение натуральных чисел одинаковой с п четности, ие превосходящ их л

С;?— число сочетаний из я элементов по т а j а, b\ — промежуток с концами а и &

[а, b] — отрезок (замкнутый промежуток) с концами и b

} а , Ь [ — интервал (открытый промежуток) с концами а

и b ' ■ _ '

}а, b], [а, Ь[ — полуинтервалы с концами а и b

(% ) “ последовательность аи а.,, . . . . а п , . . . е д - м членом с п

{ а п } — множество значений, которые принимают члены последовательности (ал)

(dj. j — подпоследовательность последовательности (ап) , причем kx < k 2< i . .. .. < й ? г < . . .

ап а — апстремится к а „

- а м — предел последовательности (а п )

П т а п — предел последовательности (а п)

П-+оа ,

lim а п— верхний предел последовательности (а п)

lim нижний предел последовательности (ап) n-fM

п

. а1и'~~сумма а\ -j- а<* -j- . . . -j- ап k=i

ОО

2 % — ряд % - f а2+ • * • + • *3* с ^ 'м ч леном

/г— 1 •

£ (.v) = ' [х] — целая часть числа х [jsf — модуль числа х

sup f (а:) — точная верхняя граница множества значений X

функции / , принимаемых на множестве X inf f (х) — точная нижняя граница множества значений

к , _

функции / , принимаемых-на множестве X , f (х0 — 0) — левосторонний пр едел функции f в точке а*0 f (*о 4* 0) " правосторонний предел функции / в точке х 0 П т / (д;) — предел вдоль множества V функции / в точ­

нее/0 ке " ■

Vba (/) — полная вариация функции / на [а, b]

Cj — множество функций, непрерывных на проме­

жутке /

Cnj — множество функции,^имеющих на промежутке / непрерывную производную порядка п

С ү — множество функций,"имеющих на промежутке / производные всех порядков

f+ (x0) — правосторонняя производная функции / в точ­

ке -С0

/L(*a) — левосторонняя производная~функции f в точке л.-0

ь и

— интеграл Римана J / (.v)

^dx

от функции / на

а а

промежутке [о,

Ь\

ъ

(S) j / (х) dg (х) — интеграл Стилтьеса от функции / по функ- а

цда g на промежутке \а, Ь\

Ь '

‘ (L) s [ (х) dx — интеграл Лебега от функции / иа промежутке

О \0, *1

D (х) — функция Дирихле 1 (х) — функция Хевисайда

1. Н Е П Р Е Р Ы В Н О С Т Ь

1.1. Числа и числовые множества

■ В средней школе введены множества натуральных, рациональных и действительных чисел, а также указаны основные действия над элемен­

тами этих множеств. Для дальнейшего развития анализа необходимо несколько уточнить и углубить соответствующие понятия, построения

и определения. _

Множество N состоит нз натуральных чисел (номеров), используе­

мых для определения количества элементов в (конечном) множестве и v для упорядочения этих элементов. Наиболее распространенная запись номеров основана на позиционно-разрядном принципе с привлечением десяти базовых цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, т. е. на использовании десятичной системы счисления. Такая запись компактна; с ее помощью легко строятся алгоритмы сравнения, сложения и перемножения дейст­

вительных чисел (все эти действия выполнимы в N). Кроме десятичной системы счисления, в настоящее время широко используется двоичная система с базовыми цифрами 0 и -1. Римская система (I, II, III, IV,...) записи чисел применяется в специальных целях, например при класси­

фикации' (V разряд) и маркировке (IX глава). Существуют и другие системы счисления и изображения чисел.

Множество Z целых чисел состоит из номеров, нуля и чисел, проти­

воположных номерам (/zGN, m — (—л ), mGZ, ii^ t n —0). В множестве Z выполнимы операции сравнения, сложения, вычитания и умножения

(с привлечением известного правила знаков). Если на числовой прямой выбрать начальную точку 0 и направление (чаще всего «слева направо»

или «снизу вверх»), то целые числа дают градуировку (через единицу) этой прямой, а прямая е нанесенными на ней целыми числами превра­

щается в шкалу, бесконечную в обе стороны.

Множество целых чисел Z, пополненное множеством отношений

{p /cj}, где р, q B I , причем 0, образует множество Q рациональных чисел. Отношения pfq и p'jq1 считают равными (представляющими одно и то ж е рациональное число г), если p q '— p 'q. Таким образом, у каж­

дого рационального числа r^=p/q имеется бесконечно много изображе­

ний r = ( t n p ) / ( m q ) , т б Z, ш ^ О , что позволяет, з частности, два числа г, r'QQ изобразить в виде дробей с одинаковыми знаменателями. В мно­

жестве Q выполнимы операции сравнения, сложения, вычитания, умно­

жения и деления (т. е. псе так называемые арифметические операции) над, его элементами, кроме деления на нуль. Элементу r6Q на число­

вой прямой отвечает точка-Л-1, такая, что отрезок ОМ соизмерим с от­

резком, длина которого принята, за единицу (длина ОМ, таким обра­

зом, равна г при г ^ О и w при г < 0 , т. е. всегда равна 1г|).

Если рациональное число можно представить в виде дроби,_ знаме­

нателем которой служит степень 10, то такое число называют десятич- ным. Множество всех десятичных чисел обозначают D. Для деся­

либо (особенно часто в естествознании) приведенная запись:

0 , 1 0 3 = 1 , 0 3 . К Ь 1; — 221,1 * = - 2 , 2 1 1 . -10*. .

Десятичные точки на числовой прямой образуют десятичную шкалу, с помощью которой, в частности, можно производить измерение длин отрезков с любой наперед заданной степенью точности. Десятичуые числа используются при вычислениях, в том числе приближенных.

1.1. N c Z c D c Q ” N=#=Z=^D=£Q (!).

Если применить обычное правило деления одного целого числа на другое {не останавливаясь;.и при нулевом промежуточном остатке), то каждому рациональному числу можно сопоставить бесконечную деся­

тичную дробь. При каждом представлении rGQ в виде-отношения со­

поставимая бесконечная десятичная дробь оказывается одкой_и топ же, к тому же периодической• (делитель фиксирован, остатки/принимают конечное число значений и поэтому должны хоть, однажды повториться, что ведет к появлению периодичности в разложении).

1.2. 103/3 — 34,33 . = 3 4 , (3); — 103/2 = — 51,500 ... =

^ — 51,5(0)

Воспользовавшись правилом вычисления суммы членов бесконечной геометрической прогрессии, можно получить алгоритм сведения каждой периодической бесконечной десятичной дроби к рациональному числу.

1.3. 3,4 (3) = 3 —— Һ — + — + = 3 — Н— — X

w 10 1 Юз ' 104 1 Ю юг

х — ---= 3 — + — = 3 — (!).

1 — 1/1 0 10 30 30 w

Каж дом у иедесятичному рациональному числу отвечает одно един­

ственное разложение в периодическую десятичную дробь,

1.4. Число 0,25 можно представить в виде бесконечной десятичной дроби двумя способами:

1) 0,25 = 0,2500 . . . 0 . . . {!); 2) 0 , 2 5 - 0,2499 ... 9 ... (!).

1.5. Любое число

а £ 0 , а-

=£0, представимо з виде беско­

нечной десятичной дроби двумя способами (!).

Иногда во избежание двузначности представления rGD десятичные

„числа переводят р некоторую «правильную форму» (например, с ’ ну­

лями в периоде), что, однако, может привести к осложнениям, так как в построенной-каким-нибудь способом бесконечной дроби нужно отыски­

вать десятичный период и преобразовывать дробь к правильной форме.

Для изображения десятичных чисел и виде бесконечных десятичных дробей ниже допускаем дроби как с нулем, так и с девяткой в периоде.

Д ля построения 'утверждения ”1 Р, противоположного утверждению Р , применяют правило Д г Моргана: если в формальной записи утверж­

дения Р содержатся .символы 3 , У и условие В, то для построения утверждения *1Р в утверждении Р символ. Я заменяют символом У, символ У — символом Я и условие В — условием “1 В, .Например, 1 ( Я с Р ) = У а ~ 1 Р, т. е. отрицанием утверждения «существует а со свойством Р » является утверждение «все а не обладают свойством Р »

Как было отмечено выше, рациональные числа можно изображать периодическими бесконечными десятичными дробями, причем для д е ­ сятичных чисел имеется по два изображения.

Универсальным 'средством для изображения действительных чисел,' в частности иррациональных (нерациональных), являются бесконечные

десятичные дрбби (в том числе непериодические), т. е. выражения а

вида . . .

(X — O.Q, «1 ССо . . . '<У*п . . . .

где а 0 = м 6 Z, ' а п G {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} причем - знак числа m определяет знак дроби а {при гп — 0 символ а э принимает одно из двух значений Н^О). Две-, дроби а — ао, dieXg . . . а п . . . я о/ —

■— OC.Q, « j а 2 . . . а п . . . тождественны или совпадают, а 5= а / , если а 0—

= а 0 , а п ~ а п y n g N . Если а и а * — изображения в виде .бесконечных десятичных дробей двух недесятичных чисел . а и \ а ', то а — а ' ~фф- «. =

= а '. Если ж е а = а ' и одно из этих чисел десятичное ’(а следователь- .но. десятичное и второе), их изображения а и а ' могут быть различными - (см. упражнения 1.4, 1,5). Таким образом, всегда г/. =г «/гг>- а == а', но

обратное утверждение неверно, г(

Наряду с бесконечной дробью а рассм отрим ее усечение ап —

= а 0, a i a g . , . а п< которое представляет собо й число (десятичное), яв­

ляющееся приближением соответствующего а числа а с п знаками после запятой. Иногда рассматривают приблиустия по недостатку ап и по и збы тку ап

'сс0 > 0=j>-% = а П1 ап = ап + 10"п ; ао < 0=^-_ап = а п — 10~п , ап = ап.

1.6. Пусть

a f

и

а

— два представления числа 0,25 в виде бесконечных десятичных дробей (см. упражнение 1.4). Тогда

К — % ! < Ю~л V t t G N (!).

1.7. Сформулировать и доказать утверждения, аналогич­

ные утверждению 1.6, для

а'п,

% и

а'г, ап.

1.8.

а = Ъ

-<=

>an = b n yn.QN 0

(!). '■

1.9. Пусть

Ъ

= 0,137682, а = 0,13767928. Тогда

< ь п- х п - е К (О-

1.10.- Если

ah =‘bh,

то

ап

~

bn

у я, <

k

(!).

1.11. Если

ah

С

bk,

то

ап

^

Ьп

у

п С k

(!).

1.12. Если-

аһ <. ЬҺ,

то

ап

<с

Ьп

у л >

k

(!).

В дальнейшем используются символы математической логики Э , V,

1.13. И з утвер ж д ен и й 1 .1 1 и 1.12 след у ет, что если а т <

<С&т д л я некоторого m £ N 0 и а ф Ь, то & <;£>(!),

1.14. В ели д л я y m £ R g /г £ N, к > т , т акое, что ah — bh, то а = b (!).

1.15. П у с т ь g //((;N , т гк с е , что г г - f Л 0_/ = b f y l ^ m .

Т огда а = b (!). '

1.16. И сп о л ь зу я м етод от противного, из утверж ден ий 1.13— 1Л 5 получаем : если a < .[b , т о д / ^ N , такое, что а г + + 1 0 - ' < Ь , (!).

1.17. И с п о л ь зу я р е зу л ь т ат ы 1.11 и 1.12, п ок азать, что если я г + \0 ~ 1<С bt д л я какого-либо /, то а < . Ь ,

Т аким образом, результаты 1.16 и 1.17 д аю т критерий различия- чисел: а < b . < ^ g / £ N , такое, что щ - \ -1 0 ^ < b t .

Значение этого критерия состоит в том, что он охватывает как де­

сятичные, так и недеентнчпые числа, ие различая эти случаи.

1.18*. Пусть k, п £ N. Тогда- }Уп £ N [j (R \ Q ) (!).

1.19*. Д о к азат ь, что ЮАГ^ 2 ү . т ^ О .

1.20. И м е е т ли у р а в н е н и е 3* = 2 р е ш е н и е в Q ? 1.21. Ч и с л о 0 ,1 0 1 1 0111011110... и р р а ц и о н а л ь н о (!).

1.22. Ч и с л о 0 , 123456789101112... и р р а ц и о н а л ь н о (!).

Пусть В п — множество, содержащее п элементов. Еслн каким-либо образом упорядочить (пронумеровать) его элементы, получим множест­

во, называемое перестановкой из п элементов ( В п может быть и не числовым множеством). Различные перестановки различаются только порядком элементов.

1.23. С к о л ь к о есть сп о со б о в д л я в ы б о р а д в у х п ер в ы х э л е м е н т о в п е р е с т а н о в к и м н о ж е с т в а Вп ?

1.24. Ч и с л о Р п п е р е с т а н о в о к п э л е м е н т о в р а в н о п\ (!)’, Всякое подмножество множества В п, содержащее m элементов, на­

зывают сочетанием :tn элементов из п. Число сочетаний из п элементов по m обозначают С™.

1.25. В се п е р е с т а н о в к и п э л е м е н т о в м о ж н о п о л у ч и т ь сл е д у ю щ и м о б р а з о м : в ы б и р а ю т п р о и зв о л ь н о е с о ч е т а н и е m э л е м е н т о в из п, с т р о я т п е р е с т а н о в к у э т и х гп э л е м е н т о в , с т р о ­ я т п е р е с т а н о в к у п— m о с т а в ш и х с я э л е м е н т о в . У к а з а н н ы м сп о со б о м не п о л у ч и т с я д в а ж д ы о д н а и т а ж е п е р е с т а н о в к а , н в се п е р е с т а н о в к и б у д у т п о л у ч ен ы . У ч и т ы в а я р е з у л ь т а т

1.24, и м еем : — (п— лг) 1 (!), Пусть а п < bn у д и а ф 'Ь %Тогда а < Ь .

1-1

1.26. Из формулы 1.25 следует

С™ —

— ——--—« (I).

n i\ (t i — m)\

1.27.

СЦ— СУГ"1

(!). : '

1 . 2 8 . с ” + С , Г ‘ = С,Т+ 1 (1). ■ ■

1. 29. С Й = 1 = С ° + 1 , С " = 1 = С ^ 1 •

1.30. По' индукции, используя результаты 1,28 и 1.29, можно доказать формулу, которую называют

биномом

Ньютона

;■ _ '

{ a + b f = 2 C n ^ b ^ i l ) . :

rr.^G

• 1.31.* Число всех подмножеств множества

В п

равно

2 » ( t ) .

1.32.* Число всех п одм н о ж ест в .Л со д ер ж а щ и х четное число элементов, равно числу всех его подмножеств, содер­

жащих нечетное число элементов (!)\

Бесконечное множество Р ' называют счетным, еслн его элементы можно перенумеровать, т. е. каждому элементу из Р оопостаинть число из N, причем различным элементам из Р соответствуют различные числа из N.

1.33. Множество

^Z

счетно (!)’.

1.34. Каждое число

р/qQQ, pjq>0,-p,

запишем в таблицу в столбец с номером

р

и в строку с номером

q.

По­

казать, что Q. счетно, . --

1.35. Множество

D

счетно (!)’.

1.36. Если

А

и

В —

счетные множества, то

А [ ) В

—-также

счетно (!}. ' ‘

1.37. Пусть

А }, i — I,

2, . . . , — счетные множества Тогда:

1) при каждом n £ N множество 4 i 1Мз U U счетно (!);

«о

' ' 2) U

А{

— счетное множество (!).

I — I ,

1.38. Пусть X — {.г*!, . . . ,

xm,

. . . } c : R 0— какое-либо счетное множество,

xk = р1и

. . .

кһп

. . . ,

k

= 1, 2,

8, 9}. Построим

2 ’ % і . 6 Я ; и

7,

Щ

; ёЛ.

пользуя критерии различия чисел, показать, что

at^X.

1.39. Из результата 1.38 следует, что R0 (а значит, и R) несчетно. (!). " . •

1.40. Будет ли счетным множество

А =

{xJx'GRo,

йС І } ? • -

Обозначим

А

— (0, 1, 2,-3, 4},

В

— (5^ 6, 7,

число

а = р ъ а 1а 2 • - • “ а • • • > гд е a-t — |

1.41. Будет ли счетным множество иррациональных

чисел R\Q? - -

Действительные числа изображают точками на прямой (числовой прямой). Прн этом числа называют также точками.

Множество / c : R называют промежутком, если Ул'ь и Vx, л'і< л*< Х г ^ хб /. Часто используют промежутки следующих видов;

]а, b [ — {x a<cx<cb} - - открытый промежуток, или интервал;

[а, Ь\ = {х а ^ х ^ Ь } — замкнутый промежуток, или отрезок;

] a, b j = {х а с х ^ Ь } [а, Ь [ — {х \ а ^ .х < Ь } — полуинтервалы.

Всякий интервал ]а , р[, содержащий точку Хо, будем называть окрестностью точки дг0.

Точку Хо называют граничной точкой множества X, еслн в любой ее окрестности есть точки из X и точки, не принадлежащие X Если су­

ществует окрестность U точки х0, такая, что Uс:А', то .Vo называют внутренней точкой множества X .

1.42. Пусть / і п. / 2— два промежутка. В каком случае

һ\)һ

будет промежутком? • , ~ ,

1.43. При каком условии будет отрезком:

1) [Й1, м и [йз. Ь & 2) [dlt 6 j n [ a a. h ] f

1.44. Пусть л = [%, ftJUlOs,

Ь

,I и

В =

[я,, ftj f| ]яа, £>2[.

Қакне из этих мнол<еств могут быть:

1) отрезками; 2) интервалами?

' 1.45. Если /j и / 2— окрестности точки

х&,

то /

1

П^

2

. и

I'lW sr-

также окрестности точки

Xq

(!),

Число M6R называют верхней границей множества X d R , если YxG Х ^ х ^ М . При этом говорят, что X ограничено сверху. Число mGR называют нижней границей множества X, если X ограничено снизу чис­

лом т , т, е. если Vx£X==M;^:m. Если множество X ограничено сверху и снизу, то его называют ограниченным.

1.46. Если

X

—

конечное множество

(т. е.

X

содержит конечное число элементов) , то

X

ограничено (!)'.

1.47. Отрезок, интервал и полуинтервалы — ограничен­

ные множества (!).

1.48. Привести пример неограниченного промежутка.

1.49. Если

А

и

В

— ограниченные множества, то

А []В

и

А ^В

также ограничены (!).

1.50. Будут ли ограниченными миол<ества

A\jB

и

А[\В,

если:'

1) одно из множеств

А, В

не ограничено;

2) Л и Я не ограничены?

о о

1.51. Являются ли ограниченными множества U

А ІУ 00 г=2

П А; в случае, если все

A t, i — \]

2, л . .:

i= i <

1 3

1) ограничены; 2)' не ограничены?

1.52. Выяснить, какие нз следующих множеств ограни­

чены:

1) множество всех десятичных приближений по избытку числа

а\

2) множество всех верхних границ данного ограниченно­

го множества /1; "

3) множество площадей «-угольников, вписанных в круг радиусом

г.

Из неограниченных множеств, с которыми мы будем встречаться, можно выделить промежутки:

[а, + оо[ = { х \ х ^ а } ; ]а, + «>[= {х \ * > о};

]- . сх», Ь \= {х\ ]— «>, b[= {.V \х с Ь}\ ]— «,, + оо [= R.

1.53.* Пусть

A cz

R — ограниченное множество и

Ш

N.

Множество

A i= {ai\aQA}

десятичных приближений по не­

достатку чисел из

А

конечно (!).

Если множество А имеет наименьшую верхнюю границу, ее назы­

вают точной верхней границей или верхней гранью А. Наибольшую нижнюю границу А (еслн она’ существует) называют точной нижней границей или нижней гранью. " Верхнюю грань А обозначают sup А (супремум А ), нижнюю грань — inf .4 (йнфймум А ).

1.54. Если Л — конечное множество," то бирЛ— тахЛ , ішЛ = тіп Л (!) ..

1.55. Убедиться *в справедливости следующих утвержде­

нии:

1) sup

[а, Ь]

—

Ь;

2) inf 1а,

Ь] =. а\

3) sup

[а,

6] U [с,

d]

— max {

b, d }‘,

4) если

[a, b)

f| ]с,

^d[ Ф 0 ,

то inf

[a, b]

fj

}с, d[ ш

шах {а, с}.

• 1 .5 6 . so p А

(уе > 0 g.r £ Л, такое, что

х

>

а

—е (!).

1.57.

m lA = b ^ l ^ A ^ X > bl

lv e > 0 g.V'£ Л, такое, что

x<Cb

+ s (! ) . 1.58. Пусть Л сгҢ ,— такое, что sup Л и inf Л существуют.

Обозначим — Л = {—

х\х£А}.

Тогда sup (■—

А)

—

—-

inf Л;

inf (—»Л) = — sup Л (!).

1,59.. Пусть

А 'Ф 0

и ограничено,

А п

=

{ап \ а £ А )

(Лп — множество ' приближений по недостатку порядка

п

чисел из Л). Из задач 1.53 и 1.54 следует, что д 5 п = зирЛ, при­

чем д а £ Л, такое, что an = s?l(!).

1.60. Если на'о^О,

х0£А,

то %+i:— sn <; 10“л (!),

1.61.'Отсюда следует, что g s £ R , такое, что при любом /г£ N число

sn

является десятичным приближением по недос­

татку числа

s

(!).

1 .6 2 . ^ О).

1.63. Пусть b < s . Используя критерий различия чисел и результат 1.59, показать, что

z[y£A,

такое, что

у > Ь .

1.64. Из утверждений 1.62, 1.63 и 1.56 следует, что s —

= sup Л (!).

1.65. Пусть в задаче 1.59 все числа из

А

отрицательны.

І Изучить множества

А п — { ап

[

а

£

А)

и показать, что сущест­

вует sup Л.

1.66. В задаче 1.59 ограниченность

А

можно заменить ог­

раниченностью сверху (!).

1.67. Итак, всякое непустое ограниченное сверху мно­

жество имеет верхнюю грань (!). Всякое непустое ограни­

ченное снизу множество имеет нижнюю грань (!).

Утверждения 1.67 называют теоремой о гранях.

1.68. Пусть

a, b

£ R.

1. Множество

{ап

-f-

bn

[

п

£ N} ограничено (!).

2. Существует sup

[а п

j /г. £ N} £ R (!).

Суммой чисел a, b g R называют число

а + Ь = sup {а_п + bn | п q N}.

1.69. Пусть

a, b£

R0.

1. Множество

bn \ п

£ N} ограничено (!).

2. sup

{an bn

|

п

6 N} £ R (1).

Результат 1,69 позволяет определить произведение двух неотрица­

тельных чисел а и Ь, полагая ab = sup {an_bo\ ft £ N}. Еслн b < 0 , 0, то полагают ab = —- а (— Ь) ; если а < 0, Ь < 0, то ab = (— «) (— £>).

1.70. Определить

а/b

для

a, b£

R,

Ь ф

0.

1.71. Доказать следующие свойства арифметпческих;Ъпе- раций, определенных над числами пз R:

1)

ci

-|—

b b

-j-

ci) 2) ci

-j—

[b

-j- c) =

(ci

-j-

b)

-|-

c\

3)

ab

—

b<x\

4)

(ab) с = a (be);

5)

(a

-f-

b) с = ас

-|-

be.

1.72*. Проверить справедливость следующих утверждений, считая

А

ограниченным множеством:

1)

A cz

N=>-supv4 £ N; 2)

A cz

Z=^inf

A

£Z;

3) /1 с: Q

=>-

sup

А

£ Q.

1.73*. Пусть a £ R 0l i c R и а/1 —

[ах\ х £ А } . .

1. Если

А

ограничено, то su p

аА

— asup/1 (!).

15

2. Чему равняется зираЛ, если а £ R?

1.74. Пусть

А, В cz

R0 — ограниченные множества. Обо­

значим

А В

=

{ху\х£А, у £ В } , А-\-В — {х'-\- у\х£А> у£В}.

Тогда:

1) sup

А В

= sup

А

• sup

В

(!).; 2) найти inf

3) inf

[А ~{~[В) —

inf

А

+ inf

В

(!); 4) найти sup

(А

+ 5);

5) sup

(А

—

В)

= sup

А

— inf Я (!) (см. задачу 1.58).

1.75. Выполнить упражнение 1.74 пп.

2,

4, считая, что

А, В

cz-R и ограничены.

1.76. .Привести пример множества

А,

для которого inf

А

> sup

А.

1.77. Пусть задана бесконечная система отрезков

[аі;

Ь±] ZD

[%,

b2] ZD

. . . =3 [СЛ_ Ь

bn-i]

ZD

[ап, bn] ZD

. . . 1. g a = supa*(J). 2. g

b

= inf

bh(\).

keu ■ - ftgN

3. a < 6 ( ! ) . . _4. Д [ а , п

Ьк] ф 0 { \ ) .

Для неограниченного сверху множества Л полагают зирЛ = + оэ.

Нели А ие ограничено снизу, то полагают inf Л — — оо.

Говорят, что множество А замкнуто относительно операции , еслн У а, ЬвА=$~а*ЬвА. Множество R замкну,то относительно арифметических операции (см. задачи 1,68"!.70).

7.2.

Числовые последовательности

Отображением множества X п множество У называют закон [, со­

поставляющий каждому элементу xQX некоторый элемент у в Y. Обозна­

чают это так: Х-**У или /; X (.v). Элемент у называют образом элемента х, а элемент х — прообразом элемента у. Будем рассматри­

вать в основном отображения вида f; A->R, AczR, называемые функ-.

циями.

В этом параграфе будем'предполагать, что Л = .М или Л = М0, счи- тая, что N и No упорядочены по возрастанию. Значение f(n ), л б N, обозначают а л. Тогда для каждого значения а п функции f существует последующее значение a n* i = f ' { / i 4 - I ) . Такую функцию называют число­

вой последовательностью п обозначают (а п), указывая в скобках эле- ' мент с номером п, т. е. образ числа /i6N, Множество всех элементов

последовательности (а п) обозначают {fln}.

1.78. Рассмотрим последовательность

а л

= 1, а 2= 1/2, ...,

(Хд =! 1 / / ! , . . .

1 ■ 3

%i

£ N, такое, что

у k

£ N, =Ф- |aft| ^ 0,01 (!).

2. з х2 £N, такое, что ү/ г£М,

k

^ '/-> =*- |а;!| ^ 0,001 (І).

3. Для. у 0 н ке £ N, такое, что y & £ N ,

k ^ y . z^- І9^л[ < s

1.79. Рассмотрим последовательность (ccn), a n= ( — l)rt+V/t2.

Для у в> 0 з v8£ R, такое, что

y k £

Nr

k

> ve=>-

\ak\

^ e (!).

Последовательность ( a n) называется бесконечно малой,f если y e > О g v , такое, что у « [anJ ^ 8. В этом случае будем писать: a rt ~

= о (1). Множество всех бесконечно малых последовательностей обозна­

чим М.

1.80. Если у е > 0

3

ve, такое, что у д ^ vK =4-|ctnl ^ 2 е ,

то (а„) £М (!). ' ‘

1.81. Еслн з m £ R0, такое, что для у s > 0 g v8, у

> v 8 = ^ | a ni < / n e , TO"(an) £ M (!). -

Последовательность (an) называется ограниченной, еслн множество {ял}„ограничено. В этом случае будем писать: ап — 0 ( 1 ) .

1.82.* Любая последовательность из М ограничена (!).

1.83.* Найтн [sup U

{ а п}.

(а„)еМ

" Для последовательностей (ап) и .(Ьп) можно определить их сумму (Оп-Ь^п). разность^(°л—

7

ⁱ) > произведение (an6n)> произведение (?*ап) последовательности (an) иа число g R. Если bn ф 0 у л g N0, можно определить частное (ап/Ьп). (В дальнейшем явное указание Ьп Ф О ча­

сто^ опускаем.)

1.84. Множество М замкнуто относительно операций сло-

■ жения, умножения и умножения на число X£R(I).

1.85. Если

а п — 0 (

I) и

<хп —

о(1), то

апа п = о(

1) (!).

1.86. Пусть (аи), (£У£М , 0 ^ {Рп}- Можно ли утвер­

ждать, что (ес„/рп)£М ?

1.87.* Найти число X, такое, что для любой [последова­

тельности

(ап)

выполняется условие (Хал) £ М.

1.88. у

р, q £ R

и y ( a n), (р„) € М =Ф-

(рап

+

q$n)

£ М .(!).

1.89. Если

(Zn

= о (1) и

а п = а

y / i £ N 0, то a ~ О (!).

1.90.* В М существует единственная арифметическая прогрессия. Какая?

1.91** В каком случае геометрическая прогрессия при­

надлежит М?

Последовательность (Ьп) называется подпоследовательностью после­

довательности («т,)> если Ьп = я у п g N0, где qn g N0, qt < < , , . <

< q n <. . . . В частности, если bn = a p + n у n, где p ^ O'— фиксирован­

ное число, то {bn) называется остатком последовательности (ап).

1.92. Из последовательности (1

/п)

выбрать какую-ни­

будь подпоследовательность. Показать для (1

jti),

что все ее подпоследовательности принадлежат М.

1.93. Если (a 7l) 6М, то любая ее подпоследовательность принадлежит М (!).

2. З о к . 833 1 7