Использование аналитических методов при построении и

3.304.* Н айтн объем ы тел, ограниченны х следую щ им и п оверхностям и:

г-

С"

3.305. П усть тело Т об р азо в ан о в ращ ен и ем вокруг оси О у фигуры a ^ x ^ b , 0 ^ y ^ . f ( x ) , где / — н еп реры вная ф ункция. В ы яснить геометрический смысл интегральной суммы

3.306. Вывести отсю да ф орм улу д л я вы числения объем а тела вращ ен и я Т (см. 3.305):

3.307.*. Найти объемы тел, полученных при вращении

• вокруг оси О у фигур, ограниченных кривыми:

1) у = sin x , у=&0, 0 ^ п]

2) x — t —■ sin i, у- = 1 -— cos /, 0; < t ^ 2 л, у = 0;

3.7. И с п о л ь з о в а н и е а на л и ти ч е ск и х - методов п р и построении

ние. Именно такой подход к решению задач (формулировка гипотезы *—

постановка задачи — уточнение гипотезы), связанный с ветвящимися исследованиями, и является наиболее актуальным в настоящее время.

3.3Q8.* К ан ат висячего моста зак реп лен на береговы х верти кал ьн ы х опорах, расстоян и е м еж ду^которы м и 2 0 0 м.

П р о в и сая, к а н а т прин и м ает форму параВ олы , с а м а я н и ж ­ н яя точ ка которой н аходится на 50 м н иж е точек, в кото­

ры х зак р еп л ен кан ат. Н ай ти угол го, об разуем ы й кан ато м

с о п о р а м и . ■ - ^ -

1. В ы брать систему координат, в которой у к а за н н а я п а­

р а б о л а имеет уравнение y — k x 2.

2. О пределить к, зн а я координаты точек зак р еп л ен и я к а н а т а .

3. Н айти угол ф. : ч /

3.309.* Т я ж е л а я б ал к а дли н ой I опирается ниж ним кон­

цом на тел еж ку . Верхний конец балки скользи т вниз вдоль верти кал ьн ого упора со скоростью v. При этом т е л е ж к а вм есте с ниж ним концом б ал ки о тъ е зж ае т от уп ора. Н айти скорость тел е ж к и в момент, когда она у д ал ен а от упора на рассто ян и е Ь < / .

1. В ы б рать систему координат.

- 2. В ы р ази ть зависим ость перем ещ ения ниж него конца б алки от времени (закон д в и ж е н и я).

3: Вычислить момент времени i, когда т ел е ж к а н ах о д и т­

ся на расстоян и и b от упора.

4. Н ай ти скорость тележ ки в у казан н ы й м ом ент.-

3.310.* Окно имеет ф орм у прям оугольни ка, за в е р ш е н ­ ного полукругом. П ерим етр его равен Р. В ыяснить, при к а ­ ких р а зм е р а х окно пропускает наибольш ее количество

света: -

1. П усть а и b — стороны прям оугольника. З а д а ч а р а в ­ носильна отысканию а и Ь, таких, чтобы ф игура зад ан н о й формы с периметром Р им ела наибольш ую площ адь (!).

2. В ы рази ть Р через а и b и найти зави си м ость а от Ь.

3. Н ай ти зави си м ость площ ади S фигуры от Ь.

4. Зави си м ость 5 от b н еп реры вная (!).

5. У вели ч и вая b з а счет уменьш ения а и наоборот и ис-

‘ п о льзу я п. 4, убедиться, что за д а ч а д о л ж н а иметь реш ение.

6. С тац и о н ар н ая точка ф ункции S яв л я е тся реш ением зад ач и (!) (использовать п. 4 ). . ■

З .З Н .* П ри каки х р а зм е р а х цилиндрического б ака без кры ш ки вместимостью V за т р а т ы ж ести на его изготовление

"будут наименьш ими?

1, У становить зави си м ость м еж ду р азм ер ам и к и R б ака.

144

2. Н айти зави си м ость площ ади S поверхности б ак а от R.

3. И ссл ед овать функцию S ( R ) на экстрем ум .

3.312.* Ц и линдрический резер ву ар радиусом R и высо­

той Һ свар и в аю т нз стальн ого листа.

1. П ри каки х R и Һ вм естим ость р е зе р в у а р а, и зготовлен­

ного из л иста общ ей площ адью S, будет наибольш ей?

2. П ри каки х р а зм е р а х р езе р в у а р а вместим остью V на его и зготовление п ойдет наим еньш ее количество стального листа?

3. С равнить соотнош ения м еж ду R и Һ в первом и во втором случаях.

3.313. К уском проволоки длиной / нужно огородить д ва участка: круг и к в а д р а т с наи больш ей сум мой п лощ адей S.

Н айти разм еры кр уга и к в ад р ата .

1. У становить зави си м ость м еж ду р азм ер ам и участков.

2. У становить зави си м ость 5 от рад и у са -R круга.

3. З н ач ен и е S в стационарной точке .не я в л я е т с я наи ­ большим (!).

j . П л о щ а д ь 5 будет наибольш ей, если проволокой ого­

родить только круг (!).

3.314.* П рям оугольн ы й участок п ри м ы к ает одной сто­

роной к стене, а три д ругие стороны огорож ены забором . 1. П ри к аки х р а з м е р а х 'у ч а с т о к будет иметь н аи бо л ь­

шую п лощ адь при зад ан н о й дли н е за б о р а /?

2. П рн каки х р а зм е р а х уч астк а п лощ адью S дли н а з а ­ бора будет наим еньш ей?

ч3.315.* П оперечное сечение к а п а л а им еет ф орм у р ав н о ­ бедренной трап ец и и п лощ адью S и высотой Һ. П ри каком н аклоне ср боковы х сторон потери воды от просачи вани я в грунт будут наим еньш им и?

1. П отери воды пропорциональны см ачи ваем ом у пери­

м етру Р трапеции (-!).

2. У становить с в язь м еж ду перим етром Р, п лощ адью 5 , высотой Һ и н аклоном ср.

3. И ссл ед о вать функцию Р — Р (ср).

3.316.* Н аселен н ы е пункты /1 и В расп о л о ж ен ы на раз-' ных б ерегах реки на расстоян и и от реки а и b соответствен ­ но. В каком месте нуж но построить мост через реку, чтобы м ож но бы ло п ролож и ть кратчай ш ую дорогу м еж д у А и В?

1. П усть А С — перп ен ди куляр к реке. Если В находится на продолж ении А С , то мост нуж но строить в точке С '(!).

2. В общ ем сл у ч ае мож но вы р ази ть д ли н у дороги I (с у ч е т о қ длины м оста) к а к функцию р асстоян и я .? от места строи тел ьства моста до А С (!).

10. З а к . 833 1 4 5

3.317.* Қ о р аб л ь стоит на як оре на расстоянии а от бли­

ж ай ш ей точки А берега. П а сса ж и р у нуж но попасть в н асе­

ленный пункт Bj н аходящ и й ся на берегу на расстоян и и Ь от точки А . В какую точку на берегу он д о л ж ен плы ть на лодке, чтобы попасть в В за кратчай ш ее врем я, если ско­

рость лодки У], а скорость пеш ехода v 2, u i < v 2?

3.318.* О т ка н а л а шириной а под прям ы м углом отходит к а н а л ш ириной Ь. Н айти наибольш ую дли н у I бревен, к о ­ торы е мож но сп лавлять нз одного к а н а л а в д рзто й .

1. Считаем бревно таким длинным, что при переходе из одного капала в другой концы бревна упираются в стенки каналов. Обозначим ср угол, образованный при этом бревном с каналом шириной а. Тогда длина бревна X — —---\-

sin ф Н---0).

C O S Ф

2. М инимум функции Х{ф) равен наибольш ей доп усти ­ мой д ли н е / (!).

3. / = (о2/3 + b2/z )3 /2 (!).

4. П ри зад ан н ы х величинах a. ii / определить н аи м ен ь­

шую ш ирину к а н а л а Ь, при которой мож но с п л ав л ять б р ев ­ н а из одного к а н а л а в другой.

3.319.* О свещ енность поверхности п рям о пропорцио- й ал ьн а косинусу угл а п аден ия лучей и обратно п ропорцио­

н ал ьн а к в а д р а т у расстоян и я от источника света. Н а какой вы соте н ад круглы м столом радиусом а нужно подвесить лам п очку, чтобы освещ енность 'к р а я стола б ы ла н аи б о л ь ­ шей?

3.320.* С н а р яд выпущ ен под углом а к горизонту с н а ­ чальн ой скоростью о0. П р ен еб р егая сопротивлением в о зд у ­ ха, определи ть а , при к отором -д альн ость полета сн ар я д а будет наибольш ей.

•—>- —>■

1. Вектор скорости о разложить на горизонтальную v r и вертикальную v n составляющие. Показать, что v v — vQco$a,

— u0s i n a — gl.

2. В момент І, снаряд находится в точке (х, //), где .V = tv0 cos <х, у — tvti sin а — g/ 2/ 2 (!).

3. О пределить м ом ент и точку падения сн ар я д а.

4. Н айти зави си м ость точки п аден ия сн ар я д а х от т.

5. И ссл ед овать функцию х = х( а ) .

3.321.* Р асходы на обслуж и ван и е п ассаж и ро в теп лохо­

д а в течение рейса пропорциональны к в а д р а т у времени, к о ­ торое затр а ч е н о на рейс. Р асход ы на ам ортизаци ю судн а и

3. Исследовать на минимум функцию I (х) .

топливо пропорциональны кубу скорости судн а. П ри какой скорости v рейс длиной I будет наи более экономичны м ? К а ­ ковы расходы cl на репс в этом случае?

3.322.* Ц ентры тр ех упругих ш аров А, В , С р ас п о л о ж е­

ны на прямой. Ш ар А массой М , д ви ж у щ и й ся со скоростью v, у д ар яе тся в ш ар В, которы й в свою очередь у д ар яе т ся в шар С массой т . К акой д о л ж н а быть м асса ш ар а В , чтобы скорость ш ар а С б ы ла наибольш ей? (П ри упругом со у д ар е­

нии ш ар а массой ш ь д ви ж ущ егося со скоростью v u и не­

подвиж ного ш ар а массой п и последний п р и об р етает ско- рость V2= ---- ;---.)

nu-\rtnl

3.323. К а н а в а треугольного сечения п ерегорож ен а вер­

тикальной стенкой. К ак о в а величина силы F д ав л ен и я во­

ды на стенку, если глубина воды в к а н а в е Һ, а ш ирина стенки па уровне поверхности воды 6?

1. Н а глубине .г' вы делим полоску (эл ем ен т стенки) ши­

риной Д x — dx. В еличина силы д ав л ен и я воды и а полоску (элем ентарной силы ) р ав н а произведению площ ади полос­

ки на д ав л ен и е воды на уровне полоски:

(Здесь и д а л е е рв — плотность воды; g —■ ускорение сво­

бодного п ад ен и я.1)

2. Т очная вели чи на элем ен тар н о й силы отли чается от приближ енной на сс = о (Д х ) (!).

3. Р а з б и в а я , всю стенку на э л ем ен тар н ы е полоски и сум м ируя эл ем ен тар н ы е силы, получаем

4. Е слн м ак си м ал ь н ая ш ирина полоски стрем и тся к ну­

лю, то в п ределе

5. О босновать стрем лен ие сум мы пз и. 3 к п ред ел у м о ж ­ но, и спользуя р езу л ь таты 3.62 и 3.77 (!).

6. О босновать получение точного рав ен ств а мож но с помощ ью у тверж д ен и я 2 (!).

Pug

ғ = Ріі£ [ Ьх (ҺҺ — d x = pttgbliz!6 (!).

о

147

7. При заданных Ь и Л'сила Ғ не зависит от формы треугольника {!).

3.324.* Вычислить силу давления воды на вертикальный параболическип сегмент, -основание которого, равное 4 м, расположено на поверхности воды', а вершина находится на глубине 4 м.

3.325.* Цилиндрический’ резервуар с вертикальной осью высотой Һ и радиусом г заполнен жидкостью, плот­

ность которой р. Определить величину силы давления жид­

кости на боковые стенки резервуара. :

3.326.* Вычислить величину силы давления воды на по­

верхность батисферы диаметром 4 м, погруженной на глу­

бину 100 м.

3.327. Котел, имеющий форму параболоида вращения, заполнен водой. Высота котла Н, радиус основания R. В ы ­ числить работу, которую нужно совершить, чтобы откачать воду нз котла.

1. При выборе соответствующей системы координат урав-

Н - -

нение параболоида имеет вид --- (х2 + У2) = z, (!).

R-

2. При откачивании горизонтального слоя воды, толщи­

ной Az, находящегося на расстоянии г от нижи ей точки котла, совершается элементарная работа

АА лр^ “ ■zAz [Н — г) (1). .

• ; 3. Суммируя элементарную работу и переходя к пределу получаем

[■ г (Я — z ) dz(1).

о

4. Вычислить работу Л,- ' ■

3.328*. Цилиндрический р езерв уар р ади усом R и высо- той Н зап ол н ен ж идкостью , имею щ ей плотность р. Вы чис­

лить р аботу, соверш аем ую при откачивании ж и дк ости из р езер в у а р а , если резерв уар располож ен: вертикально; го­

ризонтально.

3.329. К у б с ребром а пз металла плотностью р погру­

жен в воду так, что его верхняя грань находится на поверх­

ности воды. Какую работу нужно совершить, чтобы извлечь куб из воды? __

1. Элементарная работа АЛ, совершаемая при извлечении из воды элементарного слоя куба толщиной Ах, находяще­

гося на глубине ,v*, состоит из двух частей: работы AtA, М8

совершаемой при извлечении слоя из воды: Дд/1 = garA>:(p— рв),г, и работы А2Л, совершаемой при подъеме слоя на высоту а — х над поверхностью воды: А2А = gazAxp(a — х) (!).

а

2. А — g a 2j ( p a — рвх) dx (!).

0 3. Вычислить А.

3.330.* Ш ар радиусом R лежит иа дне бассейна глуби­

ной Я . Вычислить работу, которую нужно совершить при извлечении шара из воды, если плотность шара р> рв.

3.331. Материальная точка массой т находится на рас­

стоянии а от материальной прямой, линейная плотность ко­

торой равна ц.

1. Сила притяжения точки прямой направлена к прямой по перпендикуляру Һ, проходящему через данную точку (!).

2. Элемент прямой dx, расположенный, на расстоянии я от основания-перпендикуляра, притягивает точку с силой dF , величина которой dF у — • (!). . .

cfi —[*

3. Найти проекцию dFh силы dF на Һ.

4. Величина силы притяжения точки прямой -J-00

F*= Г dFh = 2Т - ^ (1 ). ..

J а

— оо

3.332.* Точка массой т расположена на одной прямой со стержнем длиной I на расстоянии а от его конца. Вы чис­

лить величину силы притяжения точки стержнем, . если

масса стержня М. •

3.333.* Электрический заряд Q, находящийся в точке (0, 0), перемещает заряд q из точки (а, 0) в точку (b, 0).

Вычислить работу силы взаимодействия F, если известно, что F= kQ qjr2, г — расстояние между зарядами.

3.334.\Цилиндр. радиусом R и высотой Я наполнен га­

зом под давлением ро. При движении поршня происходит изотермическое сжатие газа, при котором зависимость меж­

ду объемом V и давлением р газа выражается формулой р]/— const.. Вычислить работу, совершаемую при пере­

мещении поршня на расстояние Һ.

Л . Если поршень переместился внутрь цилиндра на расг стояние х, то давление газа p = p QH j( Н — х ) (!).

149

2. Совершаемая при перемещении поршня из положения Ж в положение л'-j- Дх элементарная работа ДЛ ж •—g — Дд-(!).

3. Совершаемая при перемещении поршня на расстояние t dx

Һ работа А = с | — — (!)«

о ^ х 4. Вычислить Л. •

3.335.* В о зд у х , имею щ ий начальны е объем- VQ и д а в л е ­ ние /?о> расш иряется до о бъ ем а Уь Р асш и рени е п рои сходи т ио за к о н у П уассон а: р Щ = р 0Щ {адиабатический п р о ц есс ).

Н айти соверш аем ую при этом работу.

—

3.336.* П од действием силы F длина пруж ины увеличи­

вается на I. К акую р аботу соверш аю т силы упругости при р астя ж ен и и пружины на L? (П о зак он у Гука удли н ен и е пруж ины пропорционально прилож енной силе: Ғ — к Ц

1. При растяж ении пружины от длины х до длины х-\-

• j- d x силы упругости соверш аю т элем ен тарн ую работ у d A ~ — k x d x (!).

2. При растяж ении пруж ины на L р абота сил упругости

ғ L '

Л = — j x d x (1).

о

3. Вычислить работу, если F ~ 1 Н, / — 1 см, L— 10 см;

3.337. О днородны й круглый ди ск р ади усом R и м а с­

сой М вращ ается с угловой скоростью м вокруг оси, п р о­

ходящ ей ч ер ез центр ди ск а перпендикулярно к его п л оск о­

сти. Вычислить кинетическую энергию диска.

1. Э лем ен тарное кольцо р ади усом г и ш ириной d r и м е­

ет эл ем ен тар н ую м ассу d m = ^ 2 M R ~ 2r d r (!).

2. Э лем ен тарн ое кольцо имеет эл ем ен тар н ую кинетиче­

ск ую энерги ю d E = M R ~ 2o)2r zd r (!).

3. К инетическая энергия диска E ~ M R 2a 2j 4 (!).

3.338.* О днородны й ш ар р ади усом R, и м ассой М в р а­

щ ается вок руг оси, проходящ ей через его центр, с угловой скоростью о). Вычислить кинетическую энерги ю ш ара, и с­

п ользуя р азби ен и е шара, на элементы : с помощ ью п ар ал ­ лельны х плоскостей; с помощ ью концентрических цилинд­

рических поверхностей.

3.339.* Н айти м ассу цилиндра р ади усом R и высотой Я , если плотность его в к аж дой точке равна расстоянию : от точки д о бли ж айш его основания; от точки до боковой по­

верхности.

3.340. Скорость р а сп а д а радия в каж ды й м ом ент про-

порцмональна его наличному количеству. У становить зак он р асп ада радия, если в начальны й м ом ент £— 0 имелось Q0 грам.мов радия, а ч ер ез 1600 лет его количество ум еньш и­

лось в 2 р аза.

• 1. Закон распада описывается функцией Q: причем — hQ (1).

dt

2. Поскольку = licit, то, рассматривая левую и пра- Q

вую части этого соотношения как диффереициалы некоторых функций и используя результат 2.205, получаем In Q —

= kt -}- С (С — произвольная постоянная).

3. Учитывая, что Q(0) — Q0, a Q (1600) = Q0/2, получаем Q.(t) = Q„-2“ //160° (!).

3.341. Скорость роста н аселен ия пропорциональна его численности, причем годовой прирост составл я ет q ( % ) \ В м омент t 0 переписи численность населения равнялась Qo. Вывести зак он изм енения численности населен и я. Через какое время после переписи численность населения уд в о ­ ится? .

1. Если Q { t) — численность населения в момент врем е­

ни t, то cl Qj cll— k Q .

2. Отсюда следует, что Q (I) = Q0e?,(/~*") (!) ( з а к о н М а л ь ­ т у с а ) .

3. П оскольку Q ( t +1 ) ' = (1 + 0,01^)'Q (/)', м ож но п олу­

чить закон изм енени я численности населения: Q (/) = Q0 ( I + + 0,01^)7_/с (!).

4. Если темпы роста постоянны, то население удвоится к

, - I n 2 m

моменту времени 10 4--- - (!).-

I n (1 -f- 0 , 0 1 ^ }

3 . 3 4 2 . * С к о р о с т ь е с т е с т в е н н о г о п р и р о с т а стаи р ы б д а н ­ ного вида, оби таю щ ей в изолированном водоем е, п роп ор­

циональна численности стаи, к оэф ф ициент проп орци он аль­

ности сс. О днако конкурентная борьба (за корм, м есто и т. п.) приводит к гибели части стаи, причем скорость у м ен ь ­ шения численности пропорциональна к вадр ату числен но­

сти, коэф ф ициент пропорциональности (5. У становить зак он и зм енен и я численности стаи Q { t ) , если в м омент і й— 0 чис­

л енность равн ялась Qc, Qo< ci/ {j, и известн о, что Q (/) <

< a/.[i при всех / > 0 ( л о г и с т и ч е с к и й з а к о н ) .

3.343. Реш ить за д а ч у 3.342, не пользуясь доп ол н и тел ь­

ным ук азан и ем на то, что Q ( / ) < « / $ при / ^ 0 .

3.344.* У становить зак он s ~ s ( i ) прям олинейного дои - ж е п и я т е л а , еслн скорость тела v — v ( t ) ,

151 /

.: .1.- '3 а элем ента р н ып про м еж у ток вр емен и [т, т + d x | те- лЪ п р оходи т расстояние d s ~ v (т) d x (!).

2. К моменту t тело пройдет расстояние & — J .a ( т )//т (!),

.• : . - -- О - . '

3. Н айти расстояние, прой ден н ое телом , от..начала д в и ­ ж ен и я д о полной остановки, если v (t)

3.345* При подъеме ракеты ее ускорение растет за счет

А - ' "

уменьшения веса по закону а — --- (р — qi > • 0). Уста-

■ р •?/ . . :

новить закон изменения скорости ракеты, считая, что при t —0 скорость была равна нулю. На какой высоте будет находиться ракета в момент Л? = " /;

3.348.* Ц илиндрическая бочка диам етром D и высотой Я . за п о л н ен а ж идкостью , которая вытекает ч ер ез отверсти е в д н е ди ам етр ом d. С огласно з акону Торричелли, скорость истечения ж идк ости v = c ' ] ! 2 g h i где Һ — высота уровня ж и д ­ кости над отверстием, с — коэф ф ициент.

1. Слой ж идк ости толщ иной d hr. располож енны й на р а с ­ стоянии Һ от дн а бочки (элем ентарны й о б ъ е м ), вытечет за эл ем ен тар н ы й п ром еж уток врем ени —

,, D2dh . D-dh ” ~

d t = --- = — (!).

•d?v d?c У 2gh4 '

2. Вычислить время' %" н еобходим ое" дл я оп орож н ен и я п ол ной -боч ки ,:п рин и м ая во внимание, что при Һ— 0 время оп орож н ен и я равно нулю. • \ . -

. 3. Вычислить, за какое время U опорож нится половина

бочки. •_ \ _

3.341, Қ акую ф орму д о л ж е н иметь сосуд, п р едстав л я ю ­ щий собой тело, ограниченное поверхностью вращ ения, что­

бы п они ж ение уровня ж идк ости при Истечении через отв ер ­ сти е в д н е было равномерны м?- , , - -

\ . , П р едп ол агаем , что-поверхность о бр азов ан а вращ ен и ­ ем кривой у — у ( х ) вокруг оси О у , Q ^ Z y ^ l I , * а отверстие находится в точке (0, 0 ), Т огда, используя утв ер ж ден и е 3.346.1, м ож н о показать, что;.

dt « У (!), ■ d2c ~\/‘2gy '

2. Поскольку по условию “ с1 — const, то уравнение

- - г . dt , '

кривой имеет вид у = а х 1, где а— некоторая постоянная (1).

3.348.* С осуд, имею щ ий ф орм у кругового конуса д и а ­ м етром D м высотой 11, зап ол н ен водой, вы текаю щ ей ч ерез отверстие ди ам етр ом d в д н е со су д а . Вычислить время опорож н ен ия со су д а , если конус расп ол ож ен : верш иной вниз; верш иной вверх.

3.349.* П рямоугольны й резер в уар им еет в дн и щ е отвер­

стие площ адью S (м 2) . В начальный м ом ент в р езер в уар е содер ж и тся V Q (м 3) воды, уровень воды в нем Я (м ).

1. За какое время оп орож н и тся резервуар?

2. З а какое время из р езер в у а р а вытечет Ко (м3) воды, еслн сверху в него непреры вно подливается вода так, что ее уровень остается неизменным?

3. З а какое время уровень воды в р езер в у а р е изменится на һ (м) { Һ < Щ, если сверху в него непреры вно п оступ ает

V (м 3) воды в с ек у нду?

4. Если V > c S y 2 g H , то уровень воды в р езер в у а р е п од­

нимется на некоторую величину Ль после чего б у д ет о ст а ­ ваться постоянны м (!). И сп ол ьзуя резул ь тат 2, вы­

ч и сл и ть /^ . *

5. Еслн V < c S y 2 g H , то уровень воды в р езер в у а р е оп у­

стится на некоторую величину п осле чего б у д ет оста­

ваться неизменны м (!). Вычислить /г2.

3.350. Вертикальны й вал р адиусом R давн тщ а подпятник с силой Р. Найти р аб о т у силы трения при одном обор от е рала, если коэф ф ициент трения }х.

1. Н айдя д ав л ен и е р и силу трения на еди ни ц е площ ади, показать, что в эл ем ен тарн ом кольце р ади усом г и шириной d r с центром на оси вала р абота силы трения (эл ем ен тар ­ ная р абот а) d A ~ 4 : K { i P R ~ 2r 2dr.

2. П олная работа за один оборот вала / 1 = 4 я ц Р ^ / 3 (!).

3. В дальн ей ш ем п редполагается, что пята вала и п од­

пятник п ри работали сь. Т огда давлен и е р = р ( г ) на подпят­

ник расп р едел я ется так, что износ (а значит, и работа силы трения) -является постоянны м во всех точках. П ок азать,, что при этом pr = c = c o n st.'

4. В ы ч и сл и в ;эл ем ен тар н ую силу дав л ен и я d P вала па эл ем ен та р н о е кольцо и з н а я / что сила давлени я на п яту

- ь ' р

равна Р , м ож н о показать, что с = — -(!).

2tcR

5. Р а б о т а силы трения в п ри работавш ем ся п одпятн и ке при одном обор оте вала A —m§, PR (!). Сравнить с п. 2.

Ниже приведены задачи прикладного характера, на примере кото­

рых можно проследить изучение конкретных процессов: формулировку 153

задачи (технической, физической и т. п.), построение математической модели, формулировку математической задачи, решение задачи, кон­

кретную (техническую, физическую и т. п.) интерпретацию найденного решения.

3.351. З а д а ч а . Д оп усти м ы е потерн мощ ности в т р а н с­

ф ор м атор е равны а. При каком вы ходном н апряж ении мощ ность, отдаваем ая трансф орм атором , б у д ет н аи бол ь­

шей?

М о д е л ь. Пусть U 0 — н апряж ен и е на внеш ней обм отк е тр ан сф ор м атор а; I, V, R— соответственно сила тока, н а­

п р я ж ен и е, сопротивление во внутренней обм отк е. П отерн энергии состоят нз потерь на нагревание a.\—I 2R и потерь на намагничивание а 2, пропорциональны х плотности н ам аг­

ничивания (UJUq) в степени 1,6, т. е. a2 = a { U / U 0) 5«о, Таким о б р а зо м , a = R l 2- \ - a ( U I U o ) ]'G. П оэтом у

/ =

V (a —

a

{U/U

„)1 ’

S)R'

5а \ 5 / 8

причем Р - V I = V V2 (a — a ( U j U 0) 1 ’ ) R •

М а т е м а т и ч е с к а я з а д а ч а . Исследовать на максимум функцию р ==v/; ( V) = V 1 (a. — a ( V j V ny ' 6), U > 0.

Р е ш е н и е . / / (U} = 0 ^ U = V-, UQ ^ g

f f ( Ui ) < 0 , т. е. при V = U 1 функция р имеет максимум (!).

О т в е т . Наибольшая мощность отдается трансформатором Т/ I { ( \ ®

при напряжении и = и а \--- V 9а j

3.352. З а д а ч а . Н айти наибольш ую скорость п ол зун а кривош ипно-ш атунного м ехани зм а.

М о д е л ь . Кривош ипно-ш атунны й м еханизм состои т из кривош ипа О А , вращ аю щ егося равном ерно вокруг точки О с угловой скоростью й>; ш атуна А В , связы ваю щ его криво­

шип и ползун; ползуна, скользящ его вдоль прямой О В . В ы бер ем координатную ось, совп адаю щ ую с прямой О В, с началом координат в точке О. П усть г — дл и н а кривош и­

па, I — дли на ш атуна, k — r f i (на практике /г невелико, Не п ревосходи т 0 ,2 ), гр — острый угол, обр азуем ы й ш атуном с осы о в м омент времени t, когда кривошип о б р а зу е т с осыо угол Ы . О бозначим л; к оорди нату точки В п олзуна.

1. х = г cos Ы + П / 1 — k2 sin2 соi (!).

2, Р аск л ады вая величину х по степеням к по ф орм уле Т ейлора третьего порядка, получаем

х = I (1 -j- k cos <йі — /г2 (1 — cos 2orf)/4) -*}- R 3, причем ІЯ31 < 0 , 5 ' 1 0 - 4 (!).

3. Таким образом, приближенная формула X = (:(1 - - 4 - к cos (о/ + - cos 2со£

V 4 1 4

довольно точно- выражает закон движения ползуна. Скорость ползуна

v { t ) = = — гсо j sin (ot 4 - “ sin. 2(o^j.

М а т е м а т и ч е с к а я з а д а ч а . Исследовать на экстре­

мум функцию у — у (а) = sin а + — - sin 2 а , 0 ^ а ^ 2 л.

ГХ Г / \ Г\ 1 *4~ --- I

Р е ш е н и е , у (а) = О а 1;== arccos —~-— — — *— - , а* —

= 2л — arccos' ~~ 1 * При этом t f ( а х)С 0, i f (а 2) >

>> 0. Следовательно, функция у имеет в точке а х максимум, в точке «о минимум. Заметим, что д (о^) = — £/(са) (!).

О т в е т . Экстремальные значения скорости ползуна v =

= f (/) достигаются в моменты / 2 — 2л/со — / 15 ^ —

= о)”1 arccos ■ ^ 1 а причем ]v (гі,)| = \v В момент i t кривошип совершает первую четверть оборота, в момент / 2 — четвертую четверть. Вычислить [о (/;)].

3.353. З а д а ч а . В инт дом к р ата имеет прям оугольную резь бу. При каком угл е п одъ ем а резьбы к оэф ф ициент по­

л езн ого действия дом к рата будет наибольш им?

М о д е л ь . 'Прямоугольную резьбу можно рассматривать как наклонную плоскость с углом наклона а . Если р, — ко­

эффициент трепня, р = arctg (ll — угол трения, то К П Д винта определяется Формулой — , причем 0 < а < — .

tg(cc + p) 2

М а т е м а т и ч е с к а я з а д а ч а . И сследовать на макси­

мум функцию ii = ii (а) = ■ i g a--- , 0 < а < 4 - . i g ( a - f p ) 2

гл а п А я р

Р е ш е н и е . — - =-. 0=Ф- а —

ап —

--- ~ . причем

ап

—

d a 0 2 2 г 0

точка максимума функции ii и Л ( a Q) = tg' I - "--- ^ (!).

I ' 1 5 5

t О т в е т . Наибольший К П Д .дом крата достигается при у г ­ л е подъема винта сс0 = ~ ү~ и равен tg2 ,

3.354. З а д а ч а . При какой силе тока коэф ф иц и ент по-, л езн о г о действия электродвигателя б у д ет наибольш им?

М о д е л ь. П усть U — н апряж ение, / — сила тока, R — соп роти влен ие в цепи электродви гателя, Потери, мощ ности состоя т из потерь на нагревание P \ = JZR и потерь х о л о ст о ­ го х о д а ,P2 = con st. З атр ач ен н ая мощность P — I U . С л ед о ­ вательно, Қ П Д электродвигателя

i i » = 1 - - ^ ”1 “ I > 0 .

М а т е м а т и ч е с к а я з а д а ч а . Исследовать на максимум функцию г) = 11 (/) — 1 — R U ~ Ч — РоУ ”1/ -1 , / > 0.

Р е ш е н и е . г\ (/) — 0=Ф-/ — 7 0 — V причем

• < 0 , т. е. функция в точке / я имеет максимум, іігпах= І —-

— 2C J - ' V P ^ R ('). 4 ' ' '

.... О т в е т . Наибольший К П Д электродвигателя iiinax -- I —

— 2 (/" 3 V P » R достигается при силе тока / 0 « V P o R ~ l .

ОТВЕТЫ И У К А З А Н И Я

1

1.18. Предположим противное. Тогда gp , [взаимно простые, такие, что -j/ п = 'pfq. Но тогда phlq!i— несократимая дробь и ,ph!qh —

= п?! 1.19. Если 10* — 2 для х £ Q, то з д , q <~ N, такие, что 10р — 2'Л Но 2? не делится на 10?! 1.31. В задаче 1.30 положить а = Ь = 1.

1.32. В задаче 1.30 положить а = \, b = — 1. 1.53. Если т и М— ниж­

няя и верхняя границы А, то число элементов те превосходят {/И —

— m JlO ^-f-l. I*7 2 * 1). 2) Верно; 3) неверно (например, Л = <2[}[1,- V 2])- 1-73. 2) 0, если а —0; -f- оо, если supj4 = -{-co ц а > 0 или еслн inf А = — и а < 0; a sup А, если sup А < + 00 и а > 0; а inf А, еслн inf А = — со и а < 0. 1,82. Лишь конечное .число элементов после­

довательности не удовлетворяет неравенству J c „ |<1 s. 1.83. -f- оо. 1.87.

\ = 0. 1.90. Нулевая. 1.91. Если знаменатель прогрессии _ q g ] — 1, 1[.

1.95. Нет. Рассмотреть нулевую последовательность. 1.98. Замкнуто от­

носительно умножения. 1.99. Рассмотреть случай, когда (сп) — бесконеч­

но малая последовательность. I J 22. Последовательность (авп) является подпоследовательностью для («2«) н (с;1п). Последовательность. {айп+я) является подпоследовательностью для {«2п+і) 11 («пл)* Далее воспользо­

ваться результатом' 1.119. 1.123. Так как (азп) сходится, то (а2ц) и (Явп:+1) имеют одинаковые пределы (ск. 1.122). Тогда сходится (ап) (см. 1.121). 1.124. Лишь конечное число элементов последовательности не удовлетворяет неравенству а — 8 < пп a s . 1.126. an - / = inf{.v}, где {.v} — множество чисел х0 [Л, В], таких, что на [А, х] содержится бесконечное множество элементов из { а п). 1.127. Нет. Рассмотреть сл у­

чаи, когда С-=. g ] Д ^Г- 1*135. Использовать 1.134. 1.136,- Приме­

нить 1.134 к остатку последовательности и использовать 1,112. 1.142.

у е :> 0 такое? что ут ^ > k=$-\xm — а\ < и. Тогда |tjn — a j <

1 1 n и

1 tl ~ к

^ — 7 \xm — a\ — 7 \xm — a\ ^ e ң ---- * в — 2e, с с л и rt

n n n

m = 1 ^{t it — It}

достаточно велико, E. 145. Необходимо и достаточно, чтобы либо либо ап сохраняли знак прн больших я. 1.148. Рассмотреть последова­

тельность— 2, — I, 1, 2. 3, ... 1.149. Рассмотреть последовательности

— 1/2, — 1, 1, 1/2, 1/3, и-— 1/2, — 1, 2, 3, 4, ... 1.154. Для воз­

растающей последовательности — sup {fln}- 1.156. Использовать 1.154.

1.162. См. 1.161. 1.164. 3) — ~\/aab0. 1.165. Показать (можно по индукции), что ип с Уд ущ убедиться, что (ип) возрастает, (%) убывает. Тогда обе последовательности сходятся (см. 1.154). Перейти к пределу в равенстве ~ (un Hr *%)/2. 1*166. 14з условия следует, что последовательность “(ЙП+! — ап) монотонна. Значит, ее остаток со ­ храняет знак. Далее изучить остаток последовательности (an) и исполь-

1 5 7