Р е ш е н и е . П о первой из формул (12) получаем
(ах+а—а)2 х*
t / ч 1 201 1 Т
/ г (х) — о — -г=г в — —==- е = ф (х).
#« ’ о У 2 я 1 2 я м v ;
Этот результат выводится та к ж е из формулы (7), § 15, если в последней п олож ить а = 0 и а = 1. Д а л е е по второй из формул (12) с учетом формулы (11) имеем
( х) = 0 ,5 + Ф0 а + а) = 0 ,5 + Ф0 (х) =
= ? У '
т. е. ф ункция распределения стандартного нормального закона лиш ь па постоянное слагаем ое отличается от функции Л ап ласа Ф0(х). О бозначим ее через F (х).
З А Д А Ч И
1. Д и скретн ая случай н ая величина £ задана таблицей распре
деления вероятностей:
1 — 1 0 1
р 0,25 0,5 0,25
Найтн: а) функцию распределения 5 ^ (х); б) вероятность события
£ < 0 . Построить график функции
2. Д искретн ая случай н ая величина | зад ана таблицей распре
деления вероятностен:
1 0 1 2 3 4
Р 0,05 0,2 0,35 0,1
4* 99
Н аіітн вы раж ение для функции распределения ^ ^ ( х ) и с ее помощью вычислить вероятности следующих событий: а) | <С 2; б) 1 < £ ■< 4;
ь) 1 < I < 4; г) 1 = 2,5. Построить график функции 5^-^х).
3. Д анЗ функция
О , х < О ,
0,2, 0< * < 1,
0.15, 1 < а < 3,
1, д: > 3.
Г (*)
Я вляется ли (х) функцией распределения вероятностей некоторой случайной величины?
4. Ф ункция распределения дискретной случайной величины I имеет вид
0, х 2, 0,3, 2 < * < 3, 0,5, 3 < * < 4, к 1, * > 4 .
Ң айтн: а) Р {1 с £ с 3}; б) таблицу распределения вероятностей случайной величины £.
б. Ф ункция распределения дискретной случайной величины
| имеет вид
0, х < 1 , 0,1, 1 < * < 2, 0,25, 2 < * < 3, 0,45, 3 < л г < 4 , 0.8, 4 < л: < 5,
и х > 5.
Н айти: а) Р {£ = 3}; б) Р {3 <3 £ < 5}; в) табли цу распределения вероятностей случайной величины £.
6. Д о к азать, что функция
5Г(Х) {Г:
1«
* > —1,
является функцией распределения вероятностей некоторой случай»
ной величины.
7. Д о казать, что функция
0, Г(х) sin X,
X < О,
0 < - v C y , I , х л2 »
является функцией распределения некоторой случайной величины 100
8. Д оказать, что функция
ГО, л: с О,
$r (jc) = , _ i r
1 1 — е , х > О,
где К > 0, является функцией распределения некоторой случайной величины £. П олагая X = 1, найти Р {0 с | < 1} и построить график Т (х).
9. Д оказать свойства 1)—5) функции распределения вероятно
стей (х) случайной величины
10. И спользовав условие примера 1 нз § 15, найти функцию распределения вероятностей случайной величины | и построить ее график.
11. И спользовав условие задачи 3 из § 15, найти функцию рас
пределения вероятностей случайной величины | и построить ео график.
12. Использовав условие задачи 4 нз § 15, найти функцию распределения вероятностей случайной величины £ и вычислить
Р |— | < у|
. Построить график функции У . (х).13. И спользовав условие задачи 5 нз § 15, найти функцию распределения вероятностей случайной величины £ и вычислить Р{1 < I < 2}. Построить график функции ^ ^ ( х ) .
14. Модуль скорости молекулы газа является непрерывной слу
чайной величиной распределенной по закону М аксвелла:
Вычислить р { * < £ < » ] . Построить график функции Ғ {х).
где Һ = у 2/Рр, т — масса молекулы, к — постоянная Больцм ана, Т — абсолютная температура. Н айти: а) функцию распределения вероятностей случайной величины £; б) среднюю скорость молекул газа; в) дисперсию скорости молекул.
15. Н епреры вная случайная величина £ распределена по закону Р елея, т. е.
_ Г 0, х С 0, W ~ I 2Н-хс~н*х\ х > 0.
Н айти функцию распределения вероятностей случайной величины g.
Положив Л = \ л2~2~> построить граф и ки функций / £ (*) и 5?> {х).
16. Н епреры вная случайная величина £ распределена по за кону Л апласа:
101
где Я >» 0. Найти коэффициент а и функцию распределения вероят
ностен случайной величины £. Построить графики функций f*(x) и 5 ч (х ).
17. К ривая распределения (график плотности вероятности) непрерывной случайной величины £ имеет вид, указанны й на рис. 15 («закон прямоугольного треугольника»). Н айти: а) выраж е- мне для плотности распределения вероятности случайной величины
£; б) функцию распределения вероятности случайной величины / а \
в) вероятность события | . Построить график функции 18. Кривая распределения непрерывной случайной величины имеет внд, указанный на рнс. 16 (закон Симпсона— «закон равно
бедренного треугольника»). Найти: а) выражение для плотности распределения вероятности случайной величины £; б) функцию
I а \
распределения вероятности случайной величины £; в) Р 1----g < £ < at Построить график функции (л-).
19. Функция распределения вероятностей случайной величины Б имеет вид
(х) = а 4- (І arcctg х (х £ R).
Найти параметры а и р. Построить график функции распреде*
ления.
20. Случайная величина £ задана функцией распределения вероятностей:
3 2 * 2х — 3, ~23 < х -С 2, 1, х > 2 .
Найтн вероятность того, что в результате двух независимых испы«
танин случайная величина £ оба раза примет значения из промежут*
ма (1,7; 1,9). <
21. Случайная величина £ задана функцией распределения вероятностей:
0, х <: 0, 0 < х -< I,
* > 1.
Ш
Рнс. 15 102
Рис. 16
Найти вероятность того, что в результате четырех независимых ис
пытаний случайная величина £ ровно три раза примет значения, принадлежащие промежутку (0,25; 0,75).
22. Непрерывная случайная величина £ имеет плотность рас
пределения вероятностей f^(x) и функцию распределения вероятно
стей х). Для случайной величины ti = £3 найтн плотность рас
пределения и функцию распределения вероятностей.
23. Непрерывная случайная величина £ равномерно распреде
лена в открытом промежутке ^— -у'» Найти плотность распреде
ления вероятностей случайной величины г) = sm £.
24. Плотностью распределения непрерывной случайной вели
чины £ является функция f%(x). Найти плотность распределения вероятностей случайной величины т) = arctg £.
25. Используя условие задачи 5 из § 15 и полагая 1, найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины г) = е"К
26. Для равномерно распределенной в замкнутом промежутке (0; 2] непрерывной случайной величины £ найтн функцию распре
деления и плотность распределения вероятностей случайной вели
чины
1
] = | £ — 1 1.27. Непрерывная случайная величина £ имеет нормальное рас
пределение с параметрами М£ = 0, <Jg= о. Указать закон распре-' деления случайной величины
1
} = у .\28. Один нз параметров деталей, изготовленных на данном пред
приятии, можно считать непрерывной случайной величиной £, распределенной по нормальному закону с параметрами а = 3, О = 0,1. Написать выражения для плотности распределения вероят
ностен и функции распределения вероятностей случайной величи
ны £. Указать границы, в которых почти наверное гарантируется изменение наблюдаемого параметра детали, если за вероятность практической достоверности принимается 0,9973.
29. Внутри шара радиуса г наудачу выбирается точка. Оты
скать функцию распределения, а также плотность распределения вероятностен случайной величины £, выражающей расстояние точки До центра ш ара.
30. Поезда метро идут с интервалом в / мин. Пассажир появ
ляется на перроне в произвольный момент времени. Время ожида
ния поезда есть непрерывная случайная величина £, имеющая рав
номерное распределение вероятностен. Найти: а) плотность рас
пределения вероятностей; б) функцию распределения вероятностей;
в) математическое ожидание, дисперсию случайной величины £.
:» 31. Случайная величина £ задана функцией распределения ве
роятностей:
ГО, а с 0,
Найти плотность распределения вероятностей этой случайной вс*
личины.
32. В круге радиуса т наудачу проводится хорда параллельно заданному направлению. Найти функцию распределения вероят
ностей случайной величины £, выражающей длину хорды.
33, Непрерывная случайная величина | распределена нор
мально с плотностью распределения вероятностей (лг—Э)«
f\ ( * ) = Ае~ 8 .
Записать плотность распределения вероятностей случайной величины t] = 4£ — 2. Найти P { t ] £ ( 4 ; 6 )}.
34. Непрерывная случайная величина £ имеет функцию рас
пределения вероятностей вида
0, ж < О, Ах*, 0 < х с 4, 1, х > 4 .
Найти: а) М£ и D£; б) вероятность того, что в результате испытали^
£ примет значение из интервала (0,5; 1) или из интервала (2; 2,5);
в) вероятность того, что в результате пяти независимых испытаний
£ точно три раза примет значение из интервала (1; 3).
§ 17. Двумерный случайный вектор.
Формула композиции
Часто в вероятностных моделях приходится рассматри*
вать сразу несколько случайных величин. Например, при стрельбе по плоской мишени случайная точка попадания имеет две координаты, которые являются случайными ве
личинами, аналогично при изучении плоского броуновского движения положение частицы, наблюдаемой под микроско
пом в данный момент, есть двумерная случайная величина.
Пусть на одном и том ж е пространстве элементарных со
бытий Q заданы две случайные величины £ = | (<о) и г| == г\ (со). Упорядоченная пара % = (|, г\) называется дву- мерным случайным вектором.
Если £ и ii — дискретные случайные величины, то 7 на
зывается дискретным случайным вектором. Закон распре