пределения вероятностей:
I —3 2 3
р о о 0,3
Составить таблицы расп ределен и я для случайны х вели- чин: а) г, = £2; б) % = 5£.
Р е ш е н и е . Имеем:
»1 4 9 /.
гл ...
~i.ii 10 15
р 0,7 0,3 Р 0,1 0,7 0,2
З А Д А Ч И
1. Составить таблицу распределения вероятностен числа очков, выпадающих прн бросании наудачу игральной кости. П остроить мп огоу(оль н нк распредел ени я .
2. П роизводится четыре независимых выстрела в одинаковых условиях по некоторой цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна р = 0,25. Н айги закон распределения для числа попаданий в цель.
3. Из 25 изделий, среди которых 5 отмечены государственным
«Знаком качества», наугад извлекаю т трн изделия. Составить таблицу распределения числа изделий, отмеченных «Знаком каче
ства» и оказавш ихся в выборке. Построить многоугольник распре
делен ия.
4. Имеется 5 ключей, нз которых один подходит к зам ку.
У казать закон распределения случайной величины равной чи
слу проб при открывании зам ка, если испробованный ключ в по
следующих испытаниях не используется.
5. Составить таблицу распределения вероятностей случайного числа страниц с опечатками, если проверяемая рукопись содер
жит 100 страниц, а вероятность того, что на странице могут быть опечатки, равна 0,02.
6. Д о к азать, что среди всех видов распределений дискретных случайных величин геометрическое распределение и только оно
удовлетворяет соотношению Р,„ . {£ <= т -j- ft) = Р = k -{- 1}
(m£N, k ^ 0). Ь>Ш
68
7. Д и скр етн ая случайная величина £ имеет следующую таблицу распределения вероятностей:
я л Зл
1 4 2 4
р 0,2 0,7 0,1
Составить таблицу распределения для случайной величины g2.
8. Д и скретн ая случайная величина £ имеет таблицу распределен ния вероятностей:
Е - 1 0 1 2
Р 0,2 0,3 0,2
Составить таблицы распределения для случайных величин: а) Г| =»
= £ 4 - 1 ; б) х =*!§,’ ,
9. В ероятность попадания в мишень равна 0,5. Стрелок, имея в запасе 6 патронов, ведет огонь по цели до первого по- падания или до полного израсходования всех патронов. Составить таблицу распределения вероятностей случайного числа израсходо
ванных патронов.
10. Имеются шесть билетов в театр, четыре нз которых на места в первом р яду. Н аудачу выбираю тся три билета. Составить таблицу распределения вероятностей случайной величины £ — числа биле
тов первого р я д а, оказавш ихся в выборке, и найти Р {£ <С 3}.
Построить м н огоугольник распределения.
11. Д и скретн ая случай н ая величина £ имеет таблицу распре*
деления вероятностей:
1 0 4 5 8
Р 0,15 0,33 0,22
Н айти Р {£ < 4}. Построить многоугольник распределения.
12. Дискретная случайная величина § принимает значения из натурального ряда чисел, причем Р {£ = п} = Составить таблицу распределения для случайной величины rj = sin -ту .
13. В ячейке ЭВМ записано /i-разряд ное двоичное число;
каждый зн ак этого числа, независимо o r остальны х, принимает с разной вероятностью два значения: «0» или «1». С лучайная вели
чина £ — число зн аков «1» в записи двоичного числа. Н айтн вероят
ности событий: {£ = /и}; { £ > т}\ { £ < / « } •
14. Автоматическая телефонная станция обслуж ивает 1 ООО або
нентов. Вероятность того, что в течение 5 мин на АТС поступит вызов из телефонной точки, равна 0,005. Найти закон распределе-
ния случайной величины £, равной числу вызовов, поступивш их на АТС в течение 5 мин. К а к о в а вероятность того, что в течений 5 мин: а) на ЛТС поступит хотя бы один вызов; б) более четыре*
вызовов?
15. П усть £ — случай н ая величина с таблицей распределения вероятностен:
£ 0 1 2 3 4 5 б 7 8 9
Р 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
Составить таблицу распределения случайной величины 1] = ( | — 5)2.
Н айти Р {£ = 4}.
10. По двоичному каналу связи с помехами передаются две цифры: «1» и «0». Априорные вероятности передачи этих цифр р ав ны: Р {s = 1} = Р (s — 0} = ~2~• Однако нз-за наличия помех возможны искаж ения. Вероятность перехода «I» в «1» равна р, а «0:> в «О» равна q. Определить закон распределения вероятностей случайной величины £ — однозначного числа, которое будет полу
чено в пункте приема.
17. П роизводятся последовательные испытания п образцов на прочность. Каждый следующий образец испытывается только в том случае, если предыдущий выдерж ал испытание. Построить таблицу распределения случайной величины £ — числа исщытанных о б р аз
цов, если вероятность выдержать испытание на прочность д л я к а ж дого образца равна р.
18. Вероятность обнаруж ить малоразмерный объект в заданном районе при каждом вылете равна р . Построить таблицу распределе
ния случайного числа произведенных независимых вылетов, если они выполняю тся до первого обнаруж ения объекта.
19. Выяснить, какая из последовательностей, приведенных ниж е, является распределением вероятностей некоторой дискретной случайной величины
при k = 1, 2, . . . :
а) k (/Г-[-~1 ) 1 б) pkq3’ 0 < р < lj 7 = 1 — PS d) (1 — e ~ K)k~ l ,
Я >0;
при к = 0, 1, . . . :
А-1-1 Н-1
г) д < Г « ; a)
j
Г * Ч х , т > 0 ; с) |j
k к
§ 1 4 . Ч и с л о в ы е х а р а к т е р и с т и к и д и с к р е т н о й с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы
Основными вероятностными характеристикам и с л у чайной величины являются математическое ож и дани е (сред
н е е значение) и дисперсия (рассеяние). Математическим
70
ожиданием дискретной случ айн ой величины | | (о>) (со £ Q) называется число М |, находим ое по ф ормуле
т = £ я р /, ( о
І
где x L— все возм ож ны е значения | , р {~ Р (со: £ (со) = л:^}
и ряд (1) предполагается абсолю тно сходящ им ся. В про
тивном случ ае говорят, что Щ не сущ ествует. Заметим, что если ря д (1) сходится неабсолю тно, то ряд, полученный путем перестановки его членов, м ож ет сходиться к любому числу, а так как нумерация исходов со,- произвольна и ни
как не связана с сущ еством изучаемой м одели, то и сумма в правой части (1) теряет объективный смысл.
Справедливы следую щ ие свойства математического ож и
дания:
1) если I > 0, то М£ > 0, при этом М£ = 0 +*■ £ = О (с вероятностью единица);
2) М с — с\ М (с |) = с ЛЦ, где с £ R;
П И
3) М ( £ Ы = Е л11*> если МIk определены для /е =
ft*«l
к—л= 1, 2, . . . t а (аддитивность);
4) М (|i]) = если | и г) — независимые случайные величины (см. § 13), обладаю щ ие математическими ож ида
ниями (мультипликативность). Свойство 4 распространяет
ся иа лю бое конечное число независимых в совокупности случайны х величин.
П оясним , что Щ , вообщ е говоря, не показывает наибо
лее вероятного значения изучаемой случайной величины g, а лишь харак тер и зует ту величину, около которой ко
леблю тся возм ож ны е значения £, т. е. Щ выражает, так сказать, «среднее ож идаемое» значение случайной величины.
В ы раж ение для М - имеет следую щ ий механический смысл. П ерепиш ем ф орм улу (1) с учетом свойства 2) (см.
§ 13) в виде
£ W t -
£ т г -
i
т. е. М£ есть абсцисса центра тяж ести системы точек, абс
циссы хс которы х равны возм ож ны м значениям | , а массы, помещ енные в эти точки, равны соответствую щ им в ер оя т
ностям pL.
71
М атематическое ож и дани е ф ункции г| — g (£) от дискрет
ной случайной величины £ вычисляется по ф орм уле
Щ = М {g (I)) = £ g ( Х() Pl. (2)
І
Дисперсией дискретной случайной величины | назы вает
ся математическое ож и дан и е квадрата разности случайной величины и ее математического ож идания, т. е.
D| = M ( £ - M £ ) 2,
если это математическое ож и дан и е сущ ествует. В противном сл у ч а е говорят, что дисперсия ие сущ ествует. И з преды ду
щ ей формулы следует (проверить)
Ос = МГ“ — {Щ)~. (3)
И сп ол ь зуя форм улу (1), оп ределен и е дисперсии запиш ем в следую щ ем виде:
D | = Ү , { х , - щ у - Рі. (3') D£ харак тер и зует степень разброса возможны х значений случайн ой величины | относительно ее математического о ж и дания О чевидно, что чем меньше ди сп ерси я, тем лучш е значения £ описываются ее математическим ож и дани ем .
Справедливы следую щ ие свойства D£:
1) > 0, = 0 £, = const (с вероятностью еди
ница);
?) D {с<1 -Ь с 2) = q D £ (с,, с £ R);
3) если случайны е величины £* попарно независимы , то
в ( Е ы = £ d i*.
ft—1 k--= I
Средним квадратическим отклонением дискретной с л у чайной величины £ называется число 05, оп редел яем ое по ф ор м уле
О; = | / Щ = ] / (4)
Зам етим , что размерность величин М £, сг$ совпадает с размерностью случайной величины £, а размерность D£
равна квадрату размерности £.
Если £ имеет бином иальное расп ределен и е вероятностей, то
Щ = пр, D£ = npq. (5)
Е сли I имеет геом етрическое расп редел ен и е вероятн о
стей, то
= (6)
Если | имеет пуассон овск ое распределение вероятностей, то
т = d i = %. (7)
Таким образом , выяснен теоретико-вероятностны й смысл параметра Я, входящ его в закон распределения П уассон а (см. 5, § 13).
Пример 1. Д а н а таблица распределения случайного числа | — знаков, н а п и сг.ш т х в течение 5 мин опреде
л е н и й группой учащ ихся четвертых к лассов
5 230 254 262 274 281 282 285 302 307 308 р 0,075 0,125 0,025 0,075 0,175 0,25 0,025 0,10 0,10 0,05
Н айтн Щ .
Р е ш е н и е . П о ф орм уле (1) имеем М£ = 2 7 9 ,2 . Это означает, что в среднем один ученик из группы за 5 мин напиш ет 279 знаков.