Проверить существование предельных вероятностей и, если они существуют, вычислить их.
Р е ш е н и е . Матрица очевидно, не удовлетворяет условиям теоремы Маркова. Однако уже в матрице Ф (2) все рц (2) > 0 (г, / = 1, 2, 3). В самом деле,
т. е. предельные вероятности rj существуют. Для их на
хождения решим систему (2):
1 1 1 2 4 4
1 1 1 '4 '4 ~2
Г1 + ^2 4- гз — U
<
в результате получим
Гі = Г2= Г3 = -3 144
Пример 3. Пусть { Alt Ла, А,,} — возможные состояния системы и задана матрица
( 1 ° ° \ - h ° 0
(
3 Рис. 19
— матрица вероятностей переходов из одного состояния в другое за один шаг. Построить граф, соответствующий матрице Ф.
Р е ш е н и е . Граф, соответствующий матрице Ф, пред
ставлен на рнс. 19. На нем состояния системы показаны кружками. Видим, что из состояния А., система с равными вероятностями переходит в состояния А х и Л3. Состояние Лэ таково, что система остается в нем с вероятностью и иере- ходит в состояние Лг с вероятностью 2 Состояние Л1 называется поглощающим, так как р п = 1, т. е. если система переходит в состояние A t , то она в нем и остается.
З А Д А Ч И
1. Существую т ли предельные вероятности для цепей М аркова, управляемых следующими матрицами вероятностей переходов:
2. Д оказать, что все цепи М аркова, задаваемы е следующими матрицами вероятностен переходов:
где 0 < ! а < 3 1 , имеют одинаковые предельные вероятности.
3. М атрица вероятностей переходов за один ш аг цепи М аркова имеет вид
1 I
2 2
I 4
5 5
Найти предельные вероятности,
145
4. Д о к азать, что цепь М аркова, управляемая матрицей
является эргодической (т. е. обладает предельными вероятностям и), Найтн эти вероятности.
Б. Вероятности переходов за один шаг в цепи М аркова ваданы матрицей
Построить граф, соответствующий этой матрице.
6. Вектор начальных вероятностей некоторой физической снсте- мы имеет вид (0,7; 0,2; 0,1). П оследовательность сменяемости со
стояний системы образует цепь М аркова с матрицей переходов
Н айти вероятности состояний системы в момент / = 2.
7. Происходит случайное блуж дание частицы по точкам чис
ловой прямой A lt Ло, Л3, А.\ с координатами 1, 2, 3, 4 соответствен
но. Граночные точки A t и Л4 являю тся поглощающими экранам и (т. «. частица, попадая в эти точки, остается в них навсегда). Если частица в некоторый момент времени находится в одной из внутреи- них точек (Л 2 или Л3), то в следующий момент времени частица переходит в соседнюю справа точку с вероятностью р (0 < • р <С 1) и в соседнюю слева точку с вероятностью q = 1 — р. Н айти матрицу вероятностей переходов за 2 шага данной цепи М аркова.
8. В условиях предыдущей задачи будем считать, что точки Л } н Л 4 являю тся отражающими экранами, т. е. частица, попадая в любую из них, в следующий момент времени возвращ ается в сосед
нюю внутреннюю точку. Найтн матрицу вероятностен переходов за 2 ш ага.
9. Н а окружности расположены точки Аг, Л 2, . . . , Л й — верши
ны правильного шестиугольника. Частица движется нз точки в точку следующим образом: нз данной точки она перемещается в одну из ближайш их соседних точек с вероятностью 0,25 и в диаметрально противоположную точку с вероятностью 0,5. Выписать матрицу ве
роятностен переходов для этого процесса и построить граф, соответ
ствующий этой матрице.
10. В двух ячейках находятся трн предмета. Каждую секунду случайным образом выбирается один нз трех предметов и перекла
дывается нз одной ячейки в другую . В качестве состояния марков
ской цепи рассматривается число предметов первой ячейки. Выпи
сать матрицу вероятностей переходов нз одного состояния в другое за одни шаг.
11. П оказать, что цепь М аркоса, управляем ая матрицей I 1 1 „
/
2 2 0/ 1 1 1 3 3 3 »
\
п 1 1\ 0 2 2
будет эргодической, и найти ее предельные вероятности.
12. Пусть Аъ Ао, Л 3— точки числовой прямой с координатами 1, 2, 3 соответственно, причем Лх и Л 3 являю тся поглощающими экранами. Ч астица движется следующим образом: если в какой-то момент она находится в точке Л 2, то в следующий момент она пере
ходит в точку Лх с вероятностью q (0 < ; q - < 1) или в точку Л , с вероятностью р = 1 — q. Н айти: а) матрицу вероятностей пере»
кодов за один ш аг; б) матрицу вероятностей переходов за два шага;
й) предельные вероятности (если они существуют). Построить граф, соответствующий матрице 9*.
13. Цепь М аркова задана следующей матрицей вероятностей переходов:
/0 ,5 0,25 0 ,2 5 \ 5? = 0,5 0 0,5 .
\0 ,2 5 0,25 0,5 )
Требуется: а) построить граф, соответствующий матрице £>] б) по
казать сущ ествование предельных вероятностей н найти их.
14. Цепь М аркова управляется матрицей 3 5 J5
8 16 16
5 3 5
16 8 16
_5 5 3
16 16 8
Н айти: а) матрицу двухш агового перехода цепи; б) предельные вероятности.
15. Цепь М аркова с двумя состояниями Ех и Е % задана матри
цей вероятностей переходов
Особое устройство выбирает £* в качестве начального состояния
1 ‘2
процесса с вероятностью д- и Я а— с вероятностью k-g\ Н айти ве
роятность того, что поело первого ш ага процесс перейдет в состо
яние Ех.
147
16. Предполож им, что мужчин можно разделить по их профес
сиям на квалифицированны х рабочих, служ ащ их и неквалиф ици
рованных рабочих. Допустим, что 80 % сыновей квалифицирован
ных рабочих становятся квалифицированными рабочими, 10 % — служащ ими и 10 % — неквалифицированными рабочими. Далеіё, из сыиовеіі служ ащ их 60 % становятся служащ ими, 20 % — ква
лифицированными рабочими и 20 % — неквалифицированными ра
бочими. Н аконец, 50 % сыновей неквалифицированных рабочия пусть будут неквалифицированными рабочими и по 25 96 прихо
дится на долю двух других категорий. Считая, что каждый мужчина имеет одного сына, найтн вероятность того, что внук неквалифици
рованного рабочего будет квалифицированным рабочим.
§ 22. Представление о методе Монте-Карло
Под методом Монте-Карло (методом статистических испытаний) понимают совокупность приемов, позволяющих оценивать искомую величину, вообще говоря, неслучай
ную, моделируя ее значение с помощью большого числа случайных независимых испытаний. Например, в задаче
13 из § 6 показано, что
где событие А = «брошенная игла пересекла одну из парал
лельных прямых». Обозначая через п число всех бросаний иглы, а через т (Л) — число тех бросаний иглы, при кото
рых она пересекает одну из прямых, и учитывая свойство устойчивости относительной частоты (§ 4) при достаточно большом числе бросаний, как правило, должны иметь
т(А) 21
п ~ пһ
Отсюда
2 In
JT /V _____
31 т (Л) h *
т. е. многократно бросая иглу, можно найти приближенное вначение числа я.
Отметим, что эффективное применение метода Монте- Карло в различных вопросах естествознания стало возмож
ным лишь благодаря появлению быстродействующих ЭВМ.
Общая схема метода М онте-Карло состоит в следу
ющем. Для приближенного определения некоторой неиз
вестной величины а подбирается случайная величина rj с математическим ожиданием, равным а, и конечной диспер-
сией. Рассмотрим п независимых случайных величин гц, IU* • •• » ТІ/t» распределенных так ж е как и величина г\.
Если п достаточно велико, то, согласно формуле (10) из
§ 19, получаем при б = —— :30 У п п
Р{1 ^ “I <#!} « С3>«
0.997. (1)/ г = 1
где а2= Drj. Соотношение (1) дает не только метод расчета величины а , но и оценку погрешности вычислений. Д ей ствительно, найдем п независимых выборочных значений случайной величины ц. Тогда из формулы (1) видно, что среднее арифметическое этих значений будет приближенно равно а, а погрешность такого приближения с доверитель
ной вероятностью 0,997 не превосходит -^L- и поэтому стре- V п
мится к нулю с ростом п. Сходимость метода Монте-Карло является сравнительно медленной: в самом деле, чтобы уменьшить погрешность результата в 10 раз, число испыта
ний необходимо увеличить в 100 раз. Ясно, что добиться высокой точности вычислений таким путем невозможно.
Вместе с тем, одну и ту же задачу часто можно решить раз
личными вариантами метода Монте-Карло, достигая при этом значительного повышения точности за счет умень
шения а.
Остановимся, например, па вопросе вычисления крат
ных интегралов1. Пусть непрерывная функция g (t) =
= g (t ly t 2, ... , tm) задана на /«-мерном параллелепипеде V:
а, с t{ b{ (i = 1 , 2 , . . . , m).
Требуется отыскать значение интеграла bl Ьг ьт
j J J 8 (*і, *а. • • . , U d txd t% . . . d tnv (2) a i аг ат
имеющего известный геометрический смысл.
1 Д л я вычисления одномерных интегралов есть более точные методы (квадратурны е формулы). О днако при переходе к кратным интегралам положение меняется: квадратурны е формулы весьма услож няю тся, а метод М онте-Карло, оставаясь почти без изменений, порой оказы вается единственным численным методом решения т ак о ю типа задач.
143
Прежде всего, выполняя замену переменных по формулам i i — я, -Ь {bi — q{) xt (i = 1 , 2, . . , , т \ преобразуем параллелепипед V вт-мерный единичный куб/О
О х, с 1 ( / = 1 , 2 , . . . , т).
Подсчитывая якобиан этого преобразования bl — Яі 0 0
& ( / „ ..• > ^яі) . . . . 0 b2 — a2 0
&-(JCi, -«2* • •• > х т)
0 m
0
= П (bi ~ 7=1
приходим к задаче нахождения интеграла I
Я
- - - [ п т ,где
/ (*) = / (*i, x ti . . * , xtt) = П Фі — «,) 8 («і + /«г-i
Фі — ^і) а 2 "Ь (^2 — Да) Xf t а,и -Ь + (&« ~ «*,) “О * ^ = d x xdxt . . , <fxm.
Обозначим через | = (£„ £2, . . . , £,м) случайный вектор, равномерно распределенный на Қ, т. е. его /м-мериая плот
ность имеет вид
Ь 1Х» Х...* ° “ Ц ’ Ц к .
Отсюда, следуя формулам (5) и (6) из § 15 (точнее, их обоб
щениям, справедливым для любого конечного т), найдем математическое ожидание и оценим дисперсию случайной величины т) = /(£ ). Получаем
= J j . . . J / (хи х%, . . . , хт) Һ (хи х2, . . . , x j X ё х гйхо . ... dxm = J J — J./ (x) dx = /,
Dll = f J • • • J !(?(x) — l)-dx с 4C®, где С — верхняя граница значений |/(л ')|
X
Пуеть теперь случайные векторы |,. = (£/л,
(k — 1, 2, . . . , п) независимы и распределены равномерно на К. Тогда случайные величины r\k = f (£fe) ( k = 1, 2 , . . . , /г) независимы1, одинаково распределены и на основании
формулы (1) при достаточно больших п получаем
/ г = I
Рассмотрим вкратце более общий случай, когда интеграл (2) вычисляется по некоторой ограниченной замкнутой области G, целиком расположенной в параллелепипеде V.
Указанным приемом интеграл (2) сводится к интегралу I по области Q, которая находится по. обычным правилам и полностью содержится в кубе К. Применяя метод статисти
ческих испытаний, выберем т равномерно распределенных на отрезке [0; 1] наборов (£/ь 1р, . . . » £/ш) по N случай
ных чисел в каждом. Пусть случайные точки £ /( £ /1; £/2;
• • •; l /т) 6 Q при / = I, 2, . . . , п и не пренадлежат Q при / = п Ц- 1, п + 2, . . . , N (для удобства нумерация точек изменена). Этот вопрос обычно решается исходя из ана
литического задания границы Г области Q. Относительно же самой, Г (или ее^ части) следует договорится заранее!
причислять или не причислять граничные точки к Q. При гладкой границе Г это ие существенно.
Считая п достаточно большим, можно приближенно положить
^ср== Я Х У Таким образом, /-І
П / = / c n . | l ( Q ) = ! l ! p £ / ( £ , . ) ,
где |.i(Q) — m-мерный объем области Q. Если определить ji(Q) затруднительно, то принимаем
М-(Q) « дг •
1 Случайные векторы независимы, если для любых ш-мерных
^ П
параллелепипедов V k Р *{Іі€ ^і» і 2 <= ... § „ € Vп } = П **<§*€ У/У' 151
Следовательно,
/= 1
З А Д А Ч И
1. Исходя из задачи Бюффоиа, составить программу для вы
числения иа ЭВМ числа я .
2. Составить программы для статистической оценки следую щих интегралов:
я
4 i l l
j tg х 2 dx, j esm xdx, j ecosxdx, j sin exdx,
VJ
1 0 2
I cos exdx, ^ arctg x adx, j" ^ a r c s i n x dx.
0 - 1 0
У казать минимальное число испытаний, гарантирую щ ее с довери
тельной вероятностью 0,997 ошибку, не большую чем: а) б = 0,1;
б) б = 0,01.
3. Составить программы (или хотя бы блок-схемы) для оценки следующих интегралов:
I 1 1 г г г
j J * • • i с dxldx,J • * * dx,‘
0 0 о
3 Л £1
2 2 2 т
0 0 0 /■=!
3t _л я
2 2 2
J | . . . J cos ( 2 * /) dxid x2 . . . dxm,
1 1 1 m
J j* . , . J In ( l + J ] xty dxxd x2 . . . dxm.
o o о <=i
Конкретные расчеты произвести прн rn = 5, Что можно сказать о точности вычислений?
4. Методом М онте-Карло организовать на ЭВМ приближ енное вычисление интеграла
где область интегрирования Q задается следующими неравенствами:
5. Найти массу тела, ограниченного поверхностью трехосного х* f/~ г2
эллипсоида G: - j -j- -р -{- ^ = 1» еслм в каждой точке тела плотность р( х , у, г) равна кубу ее расстояния от начала координат. Здесь с «з У k, b = Y 2 k , с = У з к , где к — списочный номер студента, ре*
шающего задачу.
6. Вероятность некоторого события определяется методом Мон
те-К арло. У казать число независимых испытаний, обеспечивающих с вероятностью не меньшей чем 0,99 получение искомой вероятности с ошибкой, не превосходящей 0,01. Оценку произнести, пользуясь;
а) теоремой Чебышева; б) теоремой М уавра — Л апласа.