С ДВУХЧАСТИЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В. Л. САВЕЛЬЕВ¹, С. А. ФИЛЬКО²

(¹ДТОО «Институт ионосферы» АО «Национальный центр космических исследований и технологий», г. Алматы,

2Жетысуский государственный университет им. И.Жансугурова, г. Талдыкорган)

СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ МОЛЕКУЛ

Алгоритмы моделирования. Для моделирования по методу кинетической силы систему молекул заменяем набором

N

квазичастиц. Из ренормализованного уравнения [5] для двухчастичной функции распределения

F ( , ) v u

следует, что эффект столкновений молекул эквивалентен эффекту вращения пар квазичастиц с угловой скоростью

W ( , ) v u

, которая зависит от двух скоростей пары и одночастичной функции распределения

f ( ) v

:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

v v

( , )

2

cos v, ,

n

v

ff ff

d d b

f q m

⁺

ff

^{+ - -}

é ¢ ¢ - ¢ ¢ ù

´ ´ ê ë ú û

= ò W ^{n v u v u}

v u v u

W

где

( ) ( )

( )

v v

v v

2 2

2

ˆ ˆ ˆ ˆ

1 cos sin 1 cos sin

2 , 2

0 , , 0 2 , ,

1, cos , cos2 , v, v, sin .

v

n n n n

b d d d d

d

ff ff

f q p j p

q m q m s q q j

± ±

é - ± ù é - ± ù

ê ú ê ú

ë û ë û

¢ = + ¢ = -

£ £ £ £ = -

= = × = = W =

W

ⁿ

v v u u

v u n n

Функция распределения

f ( ) v

в пространстве скоростей восстанавливается по фактической функции распределения системы

N

квазичастиц со скоростями

v

_i

i = 1... N

( )

0 1

( ) 1

^N _i

i

f N d

=

= å -

v v v

при помощи преобразования редукции малых масштабов. Преобразование редукции малых масштабов является комбинацией операций усреднения, растяжения и сдвига:

( )

( )

( )

( )

2 2 0

0

1 2

0 3 0

2

2 2 2

0 0

( ) ( ) 1 ( )

2

1 , 1 ,

3

e e

f e f d e f

e

t t

t k kt

t

t t

t

pk

k k k

- -

¥

é- - - ¢ù

ê ú

ë û

Ñ +Ñ×- ×Ñ -

-

¥ ¥

¢ ¢

º =

æ ö ÷

= - = ç ç çè - ÷ ÷ ø

ò

v v v

v

v v

v v v

v v

где

¶

Ñ = ¶v

^,

^{t ³ 0}

– параметр преобразования редукции. Преобразование редукции отфильтровывает мелкомасштабные флуктуации и слабо изменяет крупномасштабные характеристики, одновременно сохраняя неизменными пять моментов исходного распределения:

норму функции распределения, вектор средней скорости, и средний квадрат скорости:

2 2

0 0 0

1 1 , , .

t

= v

t

= v v

t

= v

Восстановленная функция распределения системы

N

частиц является суперпозицией Гауссианов:

( )

2

2

3 1

1 1

( ) ,

2

N i

i

f e

N

kt

pk

t

é- ù ê ú ë û -

=

= å

v v

v

где

( ) ( )

( )

2 0

2

0 0

0

1 , 1 ,

1 ,

3

i

e

^t i

e

^t

k

_t

e

^t

k

k

- - -

¥

¥

= + - = -

= - ×

v v v

v v v

2

0

,

0

v v

– средняя скорость молекул и средний квадрат скорости соответственно:

2 2

0 1 0 1

1 1

N

,

N

i i

i i

N

₌

N

₌

= å = å

v v v v

. П е р в ы й в а р и а н т а л г о р и т м а ( н а х о ж д е н и е ц е н т р о в м а с с о б л а к о в ф р а г м е н т о в ) . Рассмотрим детально алгоритм из [7]. На каждом временном шаге для каждой частицы, имеющей скорость

v

_i, формируются

N

пар

( , ), v v

_{i k}

k = 1,... N

, включая тривиальную пару частицы с самой собой, и вычисляются N ее скоростей

v

_ik при взаимодействиях во всех парах:

( )

₂

( ) 1 1 cos( ) sin( ) ( ) ( )

2

ik ik ik

ik i ik ik i k

ik ik

t dt dt t t

é ´ ´ ´ ù

ê úé ù

= + ê ê ë - W W + W W úê ú û ë - ú û

v v W W W v v

где

W

_ik

= W = W

_ki

( , ) v v

_{i k} – вектор угловой скорости вращения относительно центра масс каждой пары. Угловая скорость в паре частицы с ней самой равна нулю (скорости в этой паре не меняются). По формуле для каждой квазичастицы в пространстве скоростей формируется облако из

N

«фрагментов», вес каждого из которых равен

N

^-1. Размер облака в пространстве скоростей пропорционален временному шагу dt. За новую скорость квазичастицы принимается скорость центра масс облака ее фрагментов:

( ) 1

i ik

k

t dt + = N å

v v

Эта замена и приводит к потере энергии системы квазичастиц; дефицит энергии пропорционален

( ) dt

2, и для его компенсации необходимы специальные поправки.

Таким образом, моделирование эволюции системы молекул по методу кинетической силы с нахождением центров масс облаков фрагментов выполняют дискретными шагами по времени, достаточно малыми по сравнению со средним временем между столкновениями, которые включают две независимых операции:

1) формирование по формуле в пространстве скоростей облака из

N

«фрагментов» для каждой квазичастицы на основе данных о скоростях всех квазичастиц для момента времени

t

^;

2) вычисление скоростей квазичастиц для момента времени

(t + dt)

, как скоростей центров масс каждого облака фрагментов (в этой операции часть энергии системы теряется).

Отметим, что согласно формуле (1) на новые значения скоростей в каждой конкретной паре влияют скорости всех квазичастиц, хранящиеся в соответствующем массиве для момента времени

t

в памяти компьютера. Массив скоростей квазичастиц не меняется в процессе пересчета квазистолкновений всех пар. И только после определения центров масс всех облаков фрагментов в массив скоростей сразу для всех квазичастиц вносятся новые значения, соответствующие моменту времени

( t dt + )

.

В т о р о й в а р и а н т а л г о р и т м а ( п о с л е д о в а т е л ь н ы й п е р е с ч е т с к о р о с т е й к в а з и ч а с т и ц ) . Для того, чтобы энергия сохранялась в точности в ходе расчета процесса релаксации газа, и никакие поправки не требовались, предлагается новый алгоритм метода кинетической силы с использованием пар квазичастиц. Рассмотрим подробно один его временной шаг, в котором по массиву скоростей квазичастиц в момент времени

t

, определяется новый массив скоростей, соответствующий моменту времени

( t dt + )

. Этот шаг алгоритма состоит из следу- ющих двух операций.

1) По известному в момент времени

t

массиву скоростей квазичастиц формируются все возможные пары квазичастиц

( , ), v v

_{i k}

i < k

таким образом, чтобы каждая из них входила в пару с каждой из остальных по одному разу. Тривиальная пара частицы с самой собой не учитывается. Всего получим

N

_p

= N N ( - 1) / 2

пар.

2) Пары квазичастиц подвергаются перерасчету на каждом дробном временном шаге

dt N /

_p, и новые скорости квазичастиц в паре

( , ), v v

_{i k}

i < k

определяются по формулам:

( )

2

1 1 cos sin ( ) ( ) ,

2 1 1

i i

p

ik ik ik ik ik

i k

ik ik

t dt t

N

dt dt

t t

N N

æ ö ÷

ç ÷

ç + ÷ = +

ç ÷

ç ÷

çè ø

é æ ç æ W ö ÷ ö ÷ ´ ´ æ W ö ÷ ´ ù

ê ç ç ÷ ÷ ç ÷ ú é ù

+ ê ê ë ç ç è - ç ç ç è - ÷ ÷ ÷ ø ÷ ÷ ÷ ø W + ç ç ç è - ÷ ÷ ÷ ø W úê ú û ë - ú û

v v

v v

W W W

( )

2

1 1 cos sin ( ) ( ) .

2 1 1

k k

p

ik ik ik ik ik

i k

ik ik

t dt t

N

dt dt

t t

N N

æ ÷ ö

ç ÷

ç + ÷ = -

ç ÷

ç ÷

çè ø

é æ ç æ W ö ÷ ö ÷ ´ ´ æ W ö ÷ ´ ù

ê ç ç ÷ ÷ ç ÷ ú é ù

- ê ê ë ç ç è - ç ç ç è - ÷ ÷ ÷ ø ÷ ÷ ÷ ø W + ç ç ç è - ÷ ÷ ÷ ø W úê ú û ë - ú û

v v

v v

W W W

Отличие формул , от формулы в том, что временной шаг

dt

разбивается на

N

_p равных интервалов, и расчет выполняется для каждого из них. Другая особенность этой операции заключается в том, что после нахождения новых скоростей для каждой очередной пары частиц, эти скорости сразу вносятся в массив скоростей вместо «старых» скоростей и используются в дальнейших вычислениях для остальных пар частиц в рамках того же временного шага

dt

^{. На}

каждом дробном интервале времени

dt N /

_pскорости меняются только у двух частиц; в течение всего временного шага

dt

у каждой из

N

частиц скорость пересчитывается

( N - 1)

раз.

Массив скоростей меняется в ходе временного шага алгоритма столько раз, сколько имеется пар:

при каждом изменении массива перезаписываются скорости только одной пары. Операция пересчета массива скоростей выполняется последовательно – что и отражено в названии алгоритма.

Итак, предлагаемый вариант алгоритма метода кинетической силы не требует нахождения центров масс облаков фрагментов, и энергия системы, очевидно, сохраняется на каждом временном шаге без поправок при таком же количестве вычислений, что и в алгоритме из [7].

Полное сохранение энергии было подтверждено в ходе численных экспериментов в нескольких задачах трехмерной в пространстве скоростей релаксации однородного разреженного газа.

Для иллюстрации рассмотрим работу метода кинетической силы для пар квазичастиц на примере задачи трехмерной релаксации двух встречных молекулярных слаборасходящихся пучков одинаковой плотности. Выбор этой задачи обусловлен тем, что молекулярная система находится в состоянии, далеком от равновесного, что затрудняет применение, как аналитических методов (таких как методы Грэда или Чепмена-Энгскога), так и традиционных численных методов, ограничения применимости которых продиктованы возможностями вычислительной техники, и дает возможность наиболее полно использовать преимущества метода кинетической силы.

Начальное распределение частиц в каждом пучке предполагалось нормальным со средними скоростями ±1.0 и стандартным отклонением

k

_t= 0.05; в каждом пучке было задействовано по 120 квазичастиц (Рис. 1, слева).

Для сравнения применялись оба варианта алгоритма: 1) с нахождением центров масс облаков фрагментов и 2) с последовательным пересчетом скоростей квазичастиц. В первом из них для компенсации дефицита энергии применялось «растяжение» в пространстве скоростей:

2 1/ 2

( ) ( )

2 ^t

.

i i

t dt

t dt t dt

+

æ ö ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

+ ® + ×ç ç ç çè ÷ ÷ ÷ ÷ ø

v v v

v

Алгоритмы тестировались при условии постоянной частоты столкновений молекул (максвелловские молекулы,

n = s v = const

^{), что} дает возможность сравнить расчетные моменты функции распределения с их точными значениями, полученными непосредственно из уравнения Больцмана. Первые моменты функции распределения выражаются через величины

v

_i,

k

t следующим образом [8]:

( )

2 2

4 2 2 2 2

1 1

, 3 ,

15( ) 1 10 .

i i

i i

i i

i

N N

N

t t t

t t

t

k

k k

= = +

é ù

ê ú

= + ê ë + ú û

å å

å

v v v v

v v v

В ходе моделирования строились графики зависимости от времени безразмерных моментов функции распределения. На рисунках 2-4 построены известные точные значения безразмерных четвертого и вторых моментов функции распределения и их приближенные значения, полученные при моделировании по каждому из алгоритмов в системе единиц

v

²

= 1

,

n = 1

. На рис. 1 (справа) представлено конечное положение квазичастиц, полученное по алгоритму с последова- тельным пересчетом скоростей квазичастиц.

Заключение. В данной работе проанализированы причины возникновения дефицита энергии при моделировании по методу кинетической силы с использованием двухчастичной функции распределения и предложен новый вариант алгоритма метода – последовательный пересчет скоростей квазичастиц. При моделировании релаксации разреженного газа согласно данному алго- ритму энергия системы молекул сохраняется автоматически безо всяких поправок. По сравнению с моделированием релаксации газа по алгоритму с нахождением центров масс облаков фрагментов, последовательный пересчет скоростей дает лучшие результаты при таком же числе задейство-

ванных квазичастиц, таком же количестве операций и объеме задействованной памяти компью - тера. Он позволяет наиболее полно использовать преимущества, предоставляемые использованием двухчастичной функции распределения. Расхождения между точным и расчетным значениями четвертого момента уменьшаются при увеличении количества квазичастиц для обоих алгоритмов.

Преимуществом же алгоритма с нахождением центров масс облаков фрагментов является возможность очевидного распараллеливания вычислительных процессов при использовании суперкомпьютера.

Рисунок 1 – Начальное положение квазичастиц в пространстве скоростей (слева).

Финальное положение квазичастиц в пространстве скоростей, полученное по алгоритму с последовательным пересчетом скоростей квазичастиц (справа)

Рисунок 2 – Графики зависимости от времени безразмерного четвертого момента v⁴

функции распределения (сплошная линия – точный момент, пунктир – расчетный):

полученные по алгоритму с нахождением центров масс облаков фрагментов (слева) и по алгоритму с последовательным пересчетом скоростей квазичастиц (справа)

Рис.унок 3 – Графики зависимости от времени безразмерного второго момента v_x²

функции распределения (сплошная линия – точный момент, пунктир – расчетный):

полученные по алгоритму с нахождением центров масс облаков фрагментов (слева) и по алгоритму с последовательным пересчетом скоростей квазичастиц (справа)

Рис.унок 4 – Графики зависимости от времени безразмерного второго момента v_y²

функции распределения (сплошная линия – точный момент, пунктир – расчетный): полученные по алгоритму с нахождением центров масс облаков фрагментов (слева) и по алгоритму

с последовательным пересчетом скоростей квазичастиц (справа)

Работа выполнена по программе 101 «Грантовое финансирование научных исследований» в рамках темы «Развитие кинетического описания динамики газа и плазмы» и поддержана грантом университета Тохоку (г. Сендай, Япония).

ЛИТЕРАТУРА

1 Villani С. Conservative forms of Boltzmann’s collision operator: Landau revisited // Math. Mod. An. Num. 33, 1.– 1999. – Р.209-227.

2 Saveliev V.L., Nanbu K. Collision group and renormalization of the Boltzmann collision integral // Phys. Rev. E 65, 051205. – 2002. – РР.1-9.

3 Saveliev V.L., Filko S.A. Kinetic force method for numerical modeling 3D relaxation in homogeneous rarefied gas // AIP Conf. Proc. 1084. Proceedings of the 26th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics (Kyoto, Japan. – 2008). – Р.513-518.

4 Saveliev V.L., Filko S.A., Tomarikawa K., Yonemura S. Kinetic Force Method for Rarefied Gas flows // Proceedings of the 9th International Symposium on Advanced Fluid Information and Transdisciplinary Fluid Integration, (Sendai, Japan. – 2009). – Р.104-105.

5 Saveliev V.L. Kinetic Equation for Two-Particle Distribution Function in Boltzmann Gas Mixtures and Equation of Motion for Quasiparticle Pairs // AIP Conf. Proc. 1333. Proceedings of the 27th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics (Pacific Grove, USA. – 2010). – Р.134-139.

6 Saveliev V.L., Filko S.A., Tomarikawa K., Yonemura S. Kinetic Force Method with Quasiparticle Pairs for Numerical Modeling 3D Rarefied Gas Flows // AIP Conf. Proc. 1333. Proceedings of the 27th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics (Pacific Grove, USA. – 2010). Р.974-979.

7 Saveliev V.L., Filko S.A., Yonemura S. A View On Kinetic Force Method From Two-Particle Kinetic Equation //

Proceedings of the 13th International symposium on Advanced Fluid Information (Sendai, Japan. – 2013). Р.160-161.

8 Филько С.А. Метод численного решения уравнения Больцмана с дивергентной формой интеграла столкновений для трехмерных задач атмосферной динамики: диссертация канд. физ.-мат. наук: 25.00.29: защищена 27.03.09: утверж- дена 22.06.09. – АО «Национальный центр космических исследований и технологий», Алматы. – 2009. – 132 с.

REFERENCES

1 Villani С. Conservative forms of Boltzmann’s collision operator: Landau revisited // Math. Mod. An. Num. 33, 1. – 1999. – Р.209-227.

2 Saveliev V.L., Nanbu K. Collision group and renormalization of the Boltzmann collision integral // Phys. Rev. E 65, 051205. – 2002. – РР.1-9.

3 Saveliev V.L., Filko S.A. Kinetic force method for numerical modeling 3D relaxation in homogeneous rarefied gas // AIP Conf. Proc. 1084. Proceedings of the 26th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics (Kyoto, Japan. – 2008). – Р.513-518.

4 Saveliev V.L., Filko S.A., Tomarikawa K., Yonemura S. Kinetic Force Method for Rarefied Gas flows // Proceedings of the 9th International Symposium on Advanced Fluid Information and Transdisciplinary Fluid Integration, (Sendai, Japan. – 2009), – p.104-105.

5 Saveliev V.L. Kinetic Equation for Two-Particle Distribution Function in Boltzmann Gas Mixtures and Equation of Motion for Quasiparticle Pairs // AIP Conf. Proc. 1333. Proceedings of the 27th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics (Pacific Grove, USA. – 2010). – Р.134-139.

6 Saveliev V.L., Filko S.A., Tomarikawa K., Yonemura S. Kinetic Force Method with Quasiparticle Pairs for Numerical Modeling 3D Rarefied Gas Flows // AIP Conf. Proc. 1333. Proceedings of the 27th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics (Pacific Grove, USA. – 2010). – Р.974-979.

7 Saveliev V.L., Filko S.A., Yonemura S. A View On Kinetic Force Method From Two-Particle Kinetic Equation //

Proceedings of the 13th International symposium on Advanced Fluid Information (Sendai, Japan. – 2013). – Р.160-161.

8 Filko S.A. Method of numerical solution of the Boltzmann's kinetic equation with the divergence form of the collision integral for three-dimensional problems of atmosphere’s dynamics: dissertation of candidate of physical and mathematical sciences: 25.00.29: presented 27.03.09: confirmed 22.06.09. – «National Center for Space Research and Technology», Almaty . – 2009. – Р. 132.

Резюме

В. Л. Савельев¹, С. А. Филько² (¹ «Ионосфера Институты» ЕЖШС

«Ұлтық ғарыштық зерттеулер мен технологияр орталығы» АҚ) (У.Жансүгіров атындағы жетісу мемлекеттіқ универсмиеиі, Талдықорған Қ.) КИНЕТИКАЛЫҚ КҮШ ПЕН ЕКІ БӨЛШЕКТІ ҮЛЕСТІРУ АТҚАРЫМЫ ӘДІСІНДЕ МОЛЕКУЛАЛАР ЖҮЙЕСІ ЭНЕРГИЯСЫНЫҢ САҚТАЛУЫ

Біз білетіндей кинетикалық күш әдісінің алгоритмі кинетикалық теңдеудің негізінде екі бөлшекті үлестіру атқарымы үшін әр жеке квазибөлшек жұптарындағы соқтығысу кезінде энергия мен импульстің сақталуын қамтамасыз етеді. Дегенмен барлық үйлесімдікті релаксациялық үлгілеу кезінде бір бөлшекті атқарымының қалпына келу кезеңінде энергия тапшылығы пайда болады. Мақалада ұсынылатын күш әдісі алгоритмінің жаңа нұсқасында молекула жүйесінің энергиясы релаксациялық үлгілеудің кезкелген кезеңінде қосымша түзетулерсіз сақталады. Осылайша үлгілеудің артықышылығы квазибөлшек жұптарын екі бөлшекті үлестіру атқарымы негізінде толығырақ пайдаланылады.

Тірек сөздер: кинетикалық күш әдісі, екі бөлшекті үлестіру атқарымы.

Summary

V. L. S aveliev¹, S. A. F ilko ²

(¹Institute of Ionosphere, National Center for Space Research and Technology, Almaty,

2Zhetysu State University named after I.Zhansugurov, Taldykorgan) ENERGY CONSERVATION OF SYSTEM OF MOLECULES IN KINETIC

FORCE METHOD WITH TWO-PARTICLE DISTRIBUTION FUNCTION

In the article, the algorithm of the Kinetic Force Method founded on a kinetic equation for auxiliary two-particle distribution function of quasiparticle pairs is considered. It is known that in the interaction of quasiparticle pairs, energy and momentum are conserved for each individual pair. However, in the course of the numerical simulation of relaxation of the entire ensemble the energy deficit still appears. In the article, the new algorithm of the Kinetic Force Method is proposed, in which the energy of a system of molecules is retained at any stage of relaxation without any additional corrections. Thus, the advantages of modeling on the base of two-particle distribution function of quasiparticle pairs are used more effectively.

Key words: Kinetic Force Method, two-particle distribution function.

Поступила «____»_____________2014 г.

УДК 524.1 : 577.462

Н. М. САЛИХОВ¹, Г. Д. ПАК², О. Н. КРЯКУНОВА¹, Т. В. САМОЙЛЕНКО² (¹ДТОО «Институт ионосферы» АО «Национальный центр космических исследований

и технологий», г. Алматы; ²РГП «Институт физиологии человека и животных»

КН МОН РК, г. Алматы)

ВЛИЯНИЕ ГЕОМАГНИТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ