Обратная задача для волнового уравнения в георадарных исследованиях.
Искаков К.Т., Оралбекова Ж.О.
Евразийский Национальный Университет им.Гумилева, Казахский Национальный Педагогический Университет им.Абая, г.Астана, Казахстан
[email protected], [email protected]
В работе приведены экспериментальные исследования по диагностике взлетно- посадочной полосы коммерческого аэродрома, расположенного на территории Алматинской области РК, с использованием георадара (SPR). Для интерпретации данных георадара, предлагается математическая модель распространения волн, возмущенных плоской волной падающих на поверхность. Для решения двумерной обратной коэффициентной задачи используется метод линеаризации. Разработан оптимизационный метод решения обратных линеаризованных задач.
1. Постановка задачи и данные экспериментальных исследований
Постановка задачи состояла в следующем: выявление внутренней структуры строения участка взлетно-посадочной полосы (с явным дефектом), представленный на рис.1.
Обследование структуры грунта на предмет обнаружения причин дефекта поверхности полосы. Постановка задачи требует применения неразрушающего метода, дающего представление о состоянии грунта расположенного под рабочей покрытий полосы.
Рис. 1. Взлетно-посадочная полоса и георадар
Экспериментальные исследования состояла из следующих частей: описание объекта и ее физическое состояние; схема разметки участка полосы для проведения георадарных измерений; данные геологических профилей исследуемых объектов; экспертное заключение по диагностике (дефекта) исследуемого объекта.
Экспериментальные исследования выполнены геофизическим комплексом Лоза-В, с использованием антенны 100см (100МГц), шаг по профилю 10см. по первой трассе. С использованием антенны 150 см. (150 МГц) с шагом 20 см. по второй трассе.
На рис.2,3 показаны профили трас после применения низкочастотного фильтра, сглаживающего осцилляции вдоль трассы:
Рис.2. Обработка профиля низкочастотным фильтром.(первая трасса)
Рис. 3. Обработка профиля низкочастотным фильтром (вторая трасса).
На рисунках цифры слева направо по оси абсцисс – это координата в метрах, измеренная вдоль профиля, вертикальная шкала справа – время регистрации сигнала приемной антенной в нс.
Картины радарограмм визуально похожи на возмущения поверхности, созданной плоской волной падающих на поверхность. Представим, что мы одновременно возмутили среду источниками, помещенными во всех точках трассы (которые на самом деле мы проходили последовательно, одна за другой). Т.е. как будто мы одновременно включили столько установок, сколько точек измерения было на трассе. Такое одновременное возмущение многими источниками можно трактовать как возмущение поверхности среды плоской волной, падающей на поверхность.
Если на пути волн имеются непроницаемые препятствия, волны их огибают и возникают куполообразные волновые картины (рис. 3 ), похожие на волновую картину образующуюся за выступающим, например, из воды камнем.
Если препятствия представляют собой нечто вроде ворот, то волна проходит в ворота, а за стенами наблюдается штиль. На рис. 2 интервал на расстоянии 52-54 метра от начала координат – нечто вроде «ворот». Эти соображения и позволили нам сделать выводы о наличии «трубы» - непроницаемой для электромагнитных колебаний препятствия.
Результаты экспериментальных и теоретических исследований были доложены на международных конференциях [1]-[4] , в соавторстве с профессорами С.И. Кабанихиным, Б.Г. Мукановой.
2. Алгоритм решения обратной двумерной задачи
На основании экспериментальных исследований, рассмотрим модель распространения волн, возбужденной плоской волны заданной формы[5]:
)
0 (
0 r t
z u
z
(1) Предположим, что скорость распространения волн в полупространстве (z,y)R Rn, y=(y1, y2,…,yn) имеет следующую структуру :
c2(z,y)=c02+c1(z,y) (2) и удовлетворяет условиям:
1) ( ), 0( 0) 0
2
0 c R c
c
2) 0M1c0(z)M2, c0 c2(R) M3 (3) 3) c1(z,y) отлично от нуля в области (z,y)(0,h)Kh(D1), где
y R y D j n
D
Kn( 1) n; j 1, 1,
4) ( , ) ((0, ) ( 1)) 2
1 z y c h K D
c n , || 1|| ((0, ) ( )), 1
2 1 M
c c h K D
n
В силу этих предположений, время пробега волны на глубину h, определяется как Th=2h(M1- α)-1. Тогда обратная задача об определении c2(z,y) находим из соотношений:
h y
y
z t
h n
T t h z
D u
D u
t z r
u u
T t D K h y
z ot u
u
j
j
, ( 0 , ),
) ( ,
0
), ( ) , 0 ( ) , ( y) (z, c
0 0 0
y z, 2
2 2
(5)по известной дополнительной информации
) , 0 ( ), ( ),
,
0 ( n h
t f y t y K D t T
u (6)
Используем метод линеаризации, учитывая малость α, представим решение граничной задачи (5) , в виде
) , , ( ) , ( ) , ,
(z y t u0 z t u1 z y t
u (7) Где u0(z)- есть решения следующей граничной задачи;
u z R t R
z t c
t u ( ) 0, ,
2 2 0 0 2
) ( ,
0
, ,
) (
0 0 0 2 0 0
0 2 2
0 0 2
t r t u
u
R t R z t u z c t u
z
t
(8)
h D
K
z t
h n
y z
T t h z
u
t u u
T t D K h y
z t u c u z c t u
n
, ( 0 , ),
0 ,
0
), ( ) , 0 ( ) , ( , )
(
0 ) (
0 1 2 0
1
0 2 1 1 , 2 0 1 2
(9)
Дополнительная информация для задач (8), (9) имеет вид:
) , 0 ( ), ,
0 (
0 z f y t t Th
u
(10)
) , 0 ( ), ( ),
,
0 (
1 z g y t y Kn D t Th
u (11) Таким образом для решения исходной обратной задачи (5), поступаем следующем образом:
10. Решаем обратную задачу (8), (10), об определении с02(z).
20. Решаем прямую задачу (9) на глубину h и находим 0 2
t u
.
30. Решаем обратную задачу (9), (11), об определении с1(z,y), по заданным 0 2
t u
, g(y,t). Для решения обратных задач используем оптимизационный метод [6].
Пусть q(z) приближенное решение обратной задачи (8), (10).
Рассмотрим функционал навязки:
u t q u t c
dt qTh 2
0
0 0
0
1( )
(0, ; ) (0, ; ) (12)
Для минимизации функционалы применим метод наискорейшего спуска [7]:
) ( )
( )
( ( ) 1 ( )
) 1
( n
n n
n z q z q
q
Здесь n- коэффициент спуска, а градиент функционала (12), вычисляется по формуле:
h
T
zz n
n z t q u dt
q
0
0 ) ( )
(
1( ) ( , ; )( ) Где: (z,t;q(n)) решение соответствующей сопряженной задачи [6].
Обозначим уже известное выражение на этапе 2, через Q(z,y,t)= 0 2
t u
, и запишем оптимизационный метод об определении приближенного решения p(z,t) задачи (9), (11), тогда
), ( )
, ( )
,
( ( ) 2 ( )
) 1
( n
n n
n z t p z t p
p
Здесь градиент для функционала )
( ( )
2 p n
= Th
u y t p n g y t
2dt0
) (
1(0, , ; ) ( , )
имеет вид:
z y t p Q z y t
dtp
Th
n
n
0
) ( )
(
2( ) ( , , ; ) ( , , ) .
Где: (z,y,t;p(n)) есть решение сопряженной задачи:
h
h t t T
T t
h n
t
z p z t Q z t z y h K D t T
z t q
1 1
, 2
, 0
. 0 , ),
( ) , 0 ( ) , ( ), , ( ) , ( )
(
h D
Kn
z h t T
( )
0 , ( 0 , ),
).
, ( )
; , , 0 ( [
2 1 ( )
0 u y t p n g y t
z
z
]
Литература:
1. K.T. Iskakov, Zh. Oralbekova Effective numerical method for inverse problem for geolectric equation / The 4 Congress of the Turkic Word Mathematical Society (TWMS) Baku, Azerbaijan, 1-3 July, 2011. 332-333 p.
2. S.I. Kabanikhin, K.T. Iskakov, Zh. Oralbekova Analysis of the measurements of subsurface cotings using Georadar. The 8 th Congress of International Society for Analysis, its Applications, and Computation (ISAAC-2011). Moscow. Russia. 22-27 August 2011. 291-292 p.
3. С.И. Кабанихин, К.Т. Искаков, Ж.О. Оралбекова. Анализ измерений подповерхностныъх покрытий с использованием георадара. Международная конференция.
Актуальные проблемы современной математики, информатики и механики. -20 лет независмости РК. Алматы. 28-30 сентябрь 2011. С. 319-320.
4. К.Т. Искаков., Б.Г. Муканова., Ж.О. Оралбекова. Применение георадара в задачах идентификации подповерхностных покрытий. Третья международная научная школа конференция – Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач.
Новосибирск. 10-15 октября 2011. С. 24-25.
5. С.И. Кабанихин Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Изд-во Наука СО РАН. Новосибирск. -167 с.
6. С.И.Кабанихин, К.Т.Искаков Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач НГУ, Новосибирск, 2001. - 315 с.
7. Ф.П.Васильев. Методы решения экстремальных задач, М.: Наука, 1981. – 400 с.
