ОБ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРЕМЕ ВЫБОРКИ

ОБ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРЕМЕ ВЫБОРКИ

Ахажанов Т.Б., Матин Д.Т., Адилханов А.Н., talgat_a2008@mail.ru Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана Московский государственный университет им. Ломоносова, Москва

Пусть f t₁ , t ₂ L₁ R ² функция двух переменных, t₁ , t ₂ R ² ,

ˆ , f t , t e ^{i t t 1 12 2} dt dt

f 1 2 1 2 1 2

11

и преобразование Фурье.

Через U_T1 T² обозначим пространство функций, преобразование Фурье которых имеют

носитель, содержащийся в

T

1

Теорема 1. Если

то h_T1 T² t₁ mT₁, t₂ nT₂

, ^{, .}

T

1

T

2

T

2

t₁ t₂

h

T T t₁, t₂ sin T₁ sin T² _,

1 ²

t₁ t₂

T₁ T₂

Образуют ортогональный базис пространстве U_T1

T² . Теорема 2. Если f U_T1 T² то имеет место равенство:

f mT₁, nT₂ 1

f t₁ ,t₂ , h_{T T} t₁ mT₁,t₂ nT₂ .

T₁T₂ ^{1 2}

Теорема 2 показывает, что известная теорема выборки Котельникова_Шеннона может быть интерпретирована как разложение f U_T1 T2 по ортогональному базису пространства

U

T T :

1 2

1

f t₁,t₂ f u₁ ,u₂ , h_T u₁ mT₁,u₂ nT₂ h_T1 T² t₁ mT₁,t₂ nT₂ .

^{T1T2 n}

Для функции одной переменной аналогичный результат приведен в 1 .

1. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. Изд. «МИР» 2005, 671с.