«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция
300
УДК 512
КУРМАНОВА Е.Н., СЕБЕЛЬДИН А.М.
Нижегородский государственный педагогический университет, Нижний Новгород, Россия
ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ПРЯМЫХ СУММ РАЦИОНАЛЬНЫХ ГРУПП С ТОЧНОСТЬЮ ДО РАВЕНСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ В ИНФОРМАТИКЕ
В работе [1] решен вопрос об определяемости абелевых групп своими кольцами эндоморфизмов в классе всех вполне разложимых абелевых групп без кручения. В данной работе этот вопрос рассматривается для класса конечных прямых сумм рациональных групп с точностью до равенства. Через mn(G) будем обозначать минимальное натуральное число рациональной группы G.
Для натурального n и фиксированных натуральных чисел a1,a2,…,an через Qn обозначим класс всех абелевых групп ранга n, являющихся прямыми суммами рациональных групп Ak у которых mn(Ak)=ak
(k=1,..,n). Пусть
A=kn*Ak Qn (n*={1,2,…,n}).
Тогда кольцо E(A) всех эндоморфизмов группы A изоморфно кольцу EA всех таких рациональных матриц :
(aks)M(n,Q), где aks=ks( ak), ksHom(Ak,As).
Определение. Будем говорить, что группа A Qn определяется своим кольцом эндоморфизмов в классе Qn с точностью до равенства, если для любой группы C Qn всякий раз из равенства EA =EC следует равенство A=C.
Обозначим через Ω(A) множество всех (различных) типов прямых слагаемых группы A.
Рассмотрим разбиение множества Ω(A) на связанные множества Ωj(A), и пусть Aj соответствующие им прямые суммы рациональных групп jt*. Получаем прямую сумму вполне характеристических прямых слагаемых
A=jt*Aj.
Обозначим через P*(Aj) множество всех простых чисел, входящих в разложение минимальных натуральных чисел рациональных слагаемых группы Aj(jt*).
Теорема. Если группа A определяется своим кольцом эндоморфизмов в классе Qn с точностью до равенства, тогда для любого jt* имеем равенство P(Aj)P*(Aj)=P,
где P множество всех простых чисел, P(Aj)={pP:pAj=Aj}.
Условие определяемости группы A в классе Qn с точностью до равенства несложно сформулировать на языке конечных упорядоченных множеств, причем, можно показать, что оно достаточным не является.
Литература
1. Себельдин А.M., Условия изомоpфизма вполне pазложимых абелевых гpупп без кpучения с изомоpфными кольцами эндомоpфизмов // Мат.заметки, 1972, Т. 11, 4, C. 403408.
