О ПОГЛОЩЕНИИ ЭНЕРГИИ И РАЗРЫВЕ СМЕЩЕНИЙ -НА ГРАНИЦАХ С НЕЖЕСТКИМ КОНТАКТОМ

С.К.Тлеукенов О ПОГЛОЩЕНИИ ЭНЕРГИИ И РАЗРЫВЕ СМЕЩЕНИЙ -НА ГРАНИЦАХ

С НШБСТКИМ КОНТАКТОМ

Особенности граничных условий нежесткого контакта, предпо­

ложенных в [ i ] , рассматривались в работах [2-7] . При этом исследовались условия существования волн (типа) Стоушш [2,5] , распространение поперечных волн в слоисто-неоднородных средах

[4,7] , отражение и преломление плоских волн на границе одно­

родных полупространств [3,4] и отражение 5 Н волн от неоднород­

ного полупространства. В указанных работах условия нежесткого контакта принимались в виде:

По V нет суммирования. К1 -индекс компоненты смещения нормаль­

ной к границе 5 , на которой приняты условия (I), H-i - ка­

сательная составляющая смещения, fin'\ - касательное напряжение, w oj - некоторая постоянная, имеющая смысл коэффициента вязкос­

ти. Относительно нормальной компоненты вектора смещения (если она существовала) предполагались обычные условия непрерывности напряжения и смещения.

Условия (I) можно объяснить существованием достаточно тон­

кой прослойки вязкой жидкости между упругими средами. Тонкость прослойки означает, что выполнены условия: X > > J l » | Ц,\ ;

А - длина волны, к - толщина прослойки, |it| - амплитуда вектора смещения.

В настоящей работе получены соотношения, позволяющие опре­

делять поглощение энергии и разрыв смещения на нежестких грани­

цах контакта, когда прослойка обладает свойствами вязкоупругого тела. При этом граничные условия, в зависимости от того, свойст­

вами какой модели вязкоупругого тела обладает прослойка, прини­

мают различный вид [<[] .

I. Граничные условия. Ниже полагается, что разрыв на грани­

це контакта претерпевает одна из касательных компонент вектора смещения. Относительно остальных компонент вектора смещения предполагается непрерывность. В конце п.2 приведены формулы, когда разрыв претерпевают все три компоненты (формулы Ш З ) - ( И ) ) .

Если прослойка обладает свойствами вязкой жидкости, то гра­

ничные условия имеют вид (1). Если прослойка относительно }-той координаты обладает свойствами:

а) тела Кельвина-Фойхта, то:

V *г %=^(^ -и, У+ьр^-ж*)- ⁽²⁾

(3) б) тела Максвелла:

в) стандартного линейного тела:

% N >

^л

| V ^ T ~

^с

Л

^и

г

^и

1 ;

^+о0

я-э^"ir J-

⁽⁴⁾

2. Поглощение энергии и разрыв смещений. Рассмотрим изме­

нение потока энергии Рл :

^~~W

^b

*J

⁽⁵⁾

при прохождении границы с нежестким контактом (индекс И, озна­

чает, что рассматривается составляющая потока нормальная к гра­

нице 5 )• Пусть граничные условия имеют вид (I). Из (I) и (5) получим:

ч

_{» (6)}

(по I нет суммирования). Разрыв смещения равен:

LU r\ih **№**: ⁽⁷⁾

о

Если граничные условия приняты в виде (4), то аналогичным путем можно получить А Рп\ :

и разрыв смещения:

*М\|^|^И ⁽ ^- ⁽⁹⁾

При одновременном выполнении нежестких условий контакта относи­

тельно других компонент смещения полное изменение потока энер­

гии равно;

з

^

P

n = Z Z ^

P

u j - (10)

Вектор разрыва смещения равен:

о

"в": - единичный вектор,направленный вдоль j координаты.

Из формул (8)-(9) можно получить выражения для Д Р Ц ] и Л. U I , соответствующие граничным условиям (1)-(,3). При граничных усло­

виях (2) в (8)-(9) необходимо положить: B i = 0 , -ж*- = •=-. ,

7 Пг - с , тогда:

. t _|4(t-<c). (is)

При граничных условиях (3) в С8-9) необходимо положить:

Г. _ П Pi — _J Л ] J

V

⁰

' Щ- Ец>Щ-1ц'

Откуда:

^ _ ± _ M U L

Л р . _ 2"i

⁺

_L_ Ми

3. Поглощение энергии и разрыв смещений. Гармоническая за­

висимость от времени. В этом случае поток энергии определяется

P

^M

,=Re[ia)uj6'

^rt

|].

^(I6)

Изменение потока равно:

AP^=-Re[ia)AUjer^]. (i?)

При граничных условиях (4) между Ь.Щ и Ч ^ ! существует следую­

щая зависимость: . '

d C j + vtOSDj М (18) Подставив (18) в (17) и выделив реальную часть, получим:

APrt J ⁼ сУ*да ^ч '" ⁽¹⁹⁾

Кроме того, поскольку из (18) следует, что

то Д Р№1 можно определить через величину разрыва смещения:

Из (19)-(21) можно получить соответствуащие формулы для каждого из граничных условий (1)-(3) (в случае М ) эти формулы получе­

ны и исследовались в [4,6,7] \ для этого необходимо положить при граничных условиях:

<н Bj-o, с^-о, | t - - i j ^{o j} , <22)

4. Поглощение энергии и разрыв смещений на границе однород­

ных полупространств. Плоские 5 п волны. Пусть на границу контакта ( 2 = 0 ) однородных полупространств I и 2 падает плоская 5 Н волна. Поле в области 2 <: 0 можно представить в виде:

U ^ ( e

^{4 K ( Z +}

Re

t , < l Z

)e

^{l ( 0 t}

-

^{t m K}

,

Kt + m^-afy,/^,. (25)

В области Z > 0 .

tt - T e

-l^H«Dt-imx

К ^ + и гг= о )г^ / ^г. (26)

Коэффициенты отражения R и преломления Т определяются на основе граничных условий. При условиях (4) они имеют вид:

к

1+г+1зе ' i + t+lae,'

*-££•. *-".*& ^&нсов

1(д)Ж • ( 2 7 )

Из формул (19-20) получим следущие значения для величины погло­

щаемой энергии и разрыва смещения:

АР. ^^*?($^)\*-*\*'>

Рл

Ч

u U

^r

( j . K , ) - ( ^ ^ ) H - R ! «

^;

(28) Pan - поток энергии падающей волнн (амплитуда смещения па­

дающей волнн равна I). Используя (27)-(28), можно получить соот­

ветствующие формулы при выполнении граничных условий (1)-(3);

для этого достаточно учесть (22)-(24).

Литература

1. П о д ъ я п о л ь с к и й Г. С. Отражение и преломление на границах двух сред в случае нежесткого контакта. - Изв. АН СССР, сер.геофиз., 1963, й 4, с.525-531.

2. K u r t.y G.S. A theoretical model for the attenuation and dispersion of Stonely waves at the loosely bounded interface of elastic half spaces. - Phys.Earth.Planet.Inter., 1975, v.11, p.65-79.

3 M.u r t у G.S. Reflection, transmission and attenuation of elastic waves at a loosely hounded interface of two half.

space. - Geophys.J.R.,astr.Soc, 1976, v.44, К 2, p.389-404.

4. Е р ж а н о в Ж.С., Ж у б а е в H.I. . Т л е у к е н о в C.K., Б а й б у л о в а Г.А. К теории распространения сей­

смических волн через тектонический разлом. - Вестник АН Каз.

ССР, 1980, 10, с. 18-25.

5. Ф а й д у л и н И. С. Особенности распространения поперечных волн вдоль нежесткой границы двух полупространств. - Изв.

АН СССР, сер. Физика Земли, 1980, 7, с.48-54.

6. К о й ш а н б а е в М. . Т л е у к е н о в С.К. Об отраже­

нии S H волн от неоднородного полупространства. - Изв. АН КазССР, сер.физ.-мат., 198I, I, с.72-75.

7. Т л е у к е н о в С.К. К теории распространения сейсмических волн через тектонический разлом, часть П. - Деп. в ВИНИТИ 17 февраля 1981 г., № 727-81.

Tleukenov S.K. On the evergy absorption and the jump of the displacements on nonrigid contacts.

The formulae for the energy absorption and for the jump of the displacement on nonrigid contacts with viscous-elastic layer is obtained.