ОБ ОДНОЙ ПОСТАНОВКИ СОВМЕЩЕННОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРИСТЫХ СРЕД И УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

(1)

«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

327

УДК 517.958

ИМОМНАЗАРОВ Х.Х.

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Новосибирск, Россия

ОБ ОДНОЙ ПОСТАНОВКИ СОВМЕЩЕННОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРИСТЫХ СРЕД И УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Рассмотрим распространения магнитозвуковых волн в пористой насыщенной электролитом среде в случае когда потеря энергии происходит за счет электропроводности, межкомпонентного трения и электрокинетического эффекта. Линеаризованные уравнение описывающие электромагнитные квазистационарные эффекты в пористой насыщенной электролитом среде имеют вид [1]

, 4 0

2 2

1 2

2





 

 

 







 



 











 



t rot B c

t v t v u

div a

u div a u t c

u

s l e s

l t

 



 





 



, 4 0

1

4

⁰

4 2 3

2





 

 

 

 

 







 



 







 



t rot B t B

rot B c t

v t v u

div a

u div t a

v

l e

l

 





 



 

 



     

 



0 2

)

4 c ( u v v B

B c rot t rot

B 

_e



_e _l

   









^,

где u

-скорость движения вмещающей матрицы, v

- скорость проводящей жидкости, B - магнитное поле,  _l _s( _l _s) - электропроводность (плотность) среды, _s(_s) - проводимость (парциальная плотность) вмещающей матрицы, _l(_l)- электропроводность (плотность) жидкости, c_e- скорость света,



- электрокинетическая постоянная,







  ^  ²/ , ^- коэффициент трения, ( 1,4)

 

k

a_k - коэффициенты, функции двух продольных c_l₁_,₂ и одной поперечной скоростей звука c_t пористой насыщенной среды [1].

В одномерном случае, в котором ось

x

совпадает направлением распространения поперечных волн и параллелен направлению магнитного поля B₀

. Предположим, что электропроводность вмещающей матрицы отсутствует, скорости u(0,u_y,u_z)

, v(0,v_y,v_z), магнитное поле B(0,B_y,B_z)

перпендикулярны к B₀ .

Пусть среда покоится при t0 и на границе

x  0

заданы следующее условия

), (

0

t x f

u

y x

y









( ),

0

t x f

u

z x

z







 ),

0

(

0

B t

B

_y

y x



 ⁰

( ),

0

B t

B

_z

z x_



(2) где

  

_s

c

_t².

Далее рассмотрим установившиеся колебания с частотой



однородного полупространства

 0

x

. Будем считать, что скорости и магнитное поле имеет вид

t i z

y z

y z y z

y

u v v B B u x u x v x v x B x B x e

u , , , , , )  ( ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ))

^^

(

.

(2)

328

В рамках рассматриваемой постановки после отделения временного множителя, относительно амплитуд получим краевую задачу. Ограниченные решения полученной краевой задачи имеет вид

  ,

) ( )

(

* 1 2

* 2 1

* 2

* 1 1

* 2 1 2

* 2 1

0 0

* 2

* ₂ ₁

2 1

y x x

x x

y z

y

e e F

e e

B B

i

u   





 

 





 

 



 



^ ^ ^ ^



 





 

_ _



  ,

) ( )

(

* 1 2

* 2 1

* 2

* 1 2

* 1 1 2

* 2 1

0 0

* 2

* 2 1

1 2

z x x

x x

z y

z

e e F

e e

B B

i

u   





 

 





 

 



 



^ ^ ^ ^



 





 

_ _



  ,

)

(

¹ ²

1 2

* 1 2

* 2 1

* 2

* 1 2

* 2 0 *

* 1 2

* 2 1

* 1 2

* 2

1 x x

z y

y x x

y

e e

F i F e B

B e

^ ^





 



^ ^ _



_











 







 

  ,

)

(

² ¹

1 2

* 1 2

* 2 1

* 2

* 1 2

* 2

* 0

* 1 2

* 2 1

* 1 2

* 2

1 y z x x

z x x

y

e e

F i F e B

B e

^ ^





 



 



   

 







 









 

где

) ,

*

(

k k

k



 



_, _,

(  ),





z y z

y

i f

F  

_* ⁰

 ,



    c

e

B

1 , ) 1

1 ( ) 4

(

2

2 2 0

2

* 2

 

 



  

 





 





s l t

t s

i i B c

i c





 







 

, ) 1

1 ( 4 4

2 2

* 2 2

0 2

 

 



 

 

 









 i

i B D c

l

e

,





  

^l

2

, 1 , k 



k есть характеристические корни с положительными вещественными частями дифференциального оператора

2 , 2 2

* 2 2

2 2 0 2 2 ,

2 2

2 2 2

) 1 1 ( 1 4

1 dx

B d i

c B i D

D B dx i

d i

i c

dx

d

yz

t s z

y s

l

t





 



 

 

 

 



 

 

 



 



 





 

 

















.

Скорость проводящей жидкости находится по формулам

1 ,

) 1 (

4

_*

0

y y z

l

y

u

i i dx

dB dx

dB i

i B

v 





 





   



 



 

 

1 . )

1 (

4

_*

0

z z y

l

z

u

i i dx

dB dx

dB i

i B

v 





 





   



 



 

 

Компоненты электрического поля вычисляются по формулам

, )

(

^*

* 1 2

* 2 1

1

* 2 2

* 0 1 2

*

* 2

* 1 2

* 2 1

1 2 2

1

*

1 2

2 1

 



 

 



 

  















 

 









 

^ ^x ^ ^x _z ^ ^x ^ ^x _y _z

e

y

e e F i F

e B i e

c E i





 

 







^ ^ ^ ^

(3)

329

, )

1 (

*

* 1 2

* 2 1

1

* 2 2

* 0 1 2

* 2

* 1 2

* 2 1

1 2 2

1 ¹ ² ² ¹

 



 

 



 



 















 

 









 

^ ^x ^ ^x _y ^ ^x ^ ^x _y _z

e

z

e e F i F

e B e

E c





 

 



^ ^ ^ ^

(3) где

. 2 , 1 1 ,

) (

2 0

*

2



 



 

 B k

i D i

k







Рассмотрим случай когда магнитозвуковые волны возбуждается сейсмическим источником.

Для определенности считаем, что

B

⁰_y_,_z

 0 , f

_y

 0 , f

_z

 0

. Случай когда магнитозвуковые волны возбуждается магнитным источником рассмотрена в [1]. Из (3) получим

1 ,

* 1 2

* 2 1

1

* 2 2

*

1 ² ¹

z x x

e

y

e e F

E c















 



^ ^



1 .

* 1 2

* 2 1

1

* 2 2

* 1

*

1 2

z x x

e

z

e e F

i c

E   









 

^ ^



 



^ ^

Отсюда между компонентами существует связь

.

* y

z

i E

E 

 



Это соотношение позволяет сформулировать метод измерения кинетических коэффициентов

 / 

. Для измерения

 / 

поместим датчик, измеряющий две ортогональных составляющие вектора электрического поля

E



 ( E

_x

, E

_z

)

на границе

x  0

. Изменением частоты внешнего возбуждающего импульсного сигнала добиваемся равенства модулей

| E

_y

|

и

| E

_z

|

. Равенства модуля электрических полей достигается при частоте возбуждения

0

.

*





 

    c

e

B

Зная

B

₀, электропроводность  _l _s и характерную частоту



_*, получим формулу для определения комбинации электрокинетического коэффициента и коэффициента трения

.

* 0







   c

e

B

Теория и численные методы решения совмещенных обратных задач математической физики 12-01-00773-а

Литература

1. Доровский В.Н., Доровский С.В. Электромагнитоакустический метод измерения электропроводности и



 потенциала // Геология и геофизика, 2009, т. 50, № 6, с. 735744.