УДК 621.01
СИНТЕЗ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РЫЧАЖНОГО ПЕРЕДАТОЧНОГО ЧЕТЫРЕХЗВЕННИКА ПО 7 ПАРАМЕТРАМ СИНТЕЗА В СРЕДЕ MAPLE
Дудка Д.В.
Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы Научный руководитель – д.т.н., профессор Дракунов Ю.М.
В системе Maple предоставляется возможность проектирования различных типов рычажных механизмов. В данной работе показан алгоритм синтеза пространственного передаточного четырехзвенника с применением среды Maple. Пользователю дается возможность введения выражений координат точек, выбор параметров для расчѐта и задание функции ψ=ψ(φ), где ψ и φ углы поворота звеньев для N положений механизма (=1..N).
В качестве функции, характеризующей отклонение воспроизводимой механизмом от заданных положений, принемается зависимость называемая взвешенной разность. Для передаточного механизма в частном случае она имеет вид:
, )
( ) (
)
( x
Bix
Ci 2y
Biy
Ci 2z
Biz
Ci 2b
2i
Система Maple подставляет выражения координат точек во взвешнную разность, раскрывает все скобки и путем группировки относительно углов поворота при каждом из них получает полином. Функции углов i и i заменяем коэффициентами xi,yi,Xi,Yi- это линейно независимые непрерывные функции арумента φi, а коэффициенты при них соответственноPi - постоянные коэффициенты, в которые входят искомые параметры.
Взвешенная разность получает вид, называемым обобщенным полиномом:
i i i
i i
i i
i
i P0 P1x P2y P3X P4Y P5x X P6yY
Из введенных условий замены Pi можно аналитически высчитать искомые параметры синтеза. Для их численного разрешения необходимо высчитать коэффициенты Pi из обобщенного полинома. Эта задача решается методом квадратического приближения. Система уравнений, для определения искомых коэффициентов получается линейной, так как приближающая функция есть обобщенный полином, т.е. имеет вид
, )
( 2
1
6 5
4 3
2 1
0 i i
N
i
i i i
i i
i P y PX PY Px X P yY
x P P I
Выполняя дифференцирование по всем компонентам Pi , получим систему уравнений,
; 0 )
( ) ( ) (
) ( ) (
1 1
6 1
5 1
4 1
3 1
2
1 i
N
i i i
N
i i N
i i N
i i N
i i N
i
i P y P X P Y P x X yY
x P N P
; 0 )
( ) (
) (
) (
) ( ) (
1 1
2 6 1
5 1
4 1
3 1
2 2 1
1 i i
N
i i i
N
i i i
N
i i N
i
i i N
i i i N
i i N
i
i P x P x y P x X P Yx P x X yYx
x P
; 0 )
( ) (
) (
) ( ) (
) (
1 2 1
6 1
5 1
4 1
2 3 1
2 1
1
N
i i i i
N
i i i i
N
i i N
i i i N
i i N
i i i N
i
i P x y P y P xY P Y y P y x X y Y
y P
; 0 )
( ) (
) (
) (
) (
) (
1 2 1 6 1
5 1
2 4
1 3 1
2 1
1 i i
N
i i i
N
i i i
N
i i N
i i N
i i i N
i i i N
i
i P x X P X y P X P Y X P x X yYX
X P
; 0 )
( ) ( ) (
) (
) (
)
( 2
1 1
6 1
2 5 1
4 1
3 1
2 1
1 i
N
i i i
i N
i i N
i i i
N
i i N
i i i N
i i i N
i
i P xY P Y y P X Y P Y P x X Y yY
Y P
; 0 )
(
) (
) (
) (
) (
) (
1 2 1
2 6
1 5 1
2 4
1 3 1
2 2 1
1
i i i N
i i i
N
i i
i i N
i i N
i
i i i
N
i i i N
i
i i N
i i i
x X Y y X
x P
x X Y P x X P x y X P X x P X x P
Решая средствами Maple эту систему, находим искомые значения коэффициентов Pi. Подставив значения полученных коэффициентов, получаем искомые параметры синтеза.
График полученных погрешностей при решении и анимацию пространственного четырехзвенного механизма можно посмотреть ниже:
Погрешность при решениях Анимация
Для инженеров и исследователей созданная программа имеет большое практическое значение при проектировании пространственных передаточных рычажных механизмов, т.к. по заданном у закону движения входного и выходного звеньев буквально в течении нескольких секунд можно получить реальный механизм с анимацией.
Литература
1. Левитский Н.И. Теория механизмов и машин: учебное пособие для вузов. – Москва: «Наука», 1990. – 592 с.
2. Артоболевский И.И., Эдельштейн Б.В. Сборник задач по теории механизмов и машин. – М., 1973.
3. Кинематика, динамика и точность механизмов: Справочник/ Под ред.
Г.В.Крейнина – М.: Машиностроение, 1984. – 224 с.
4. Вульфсон И.И., Коловский М.З., Пейсах Э.Е. и др. Механика машин. Учебное пособие для втузов /Под редакцией проф. Г.А. Смирнова.– Москва: "Высшая школа", 1996. – 511 с.
