ХАБАРШЫ ВЕСТНИК HERALD

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE REPUBLIC OF KAZAKHSTAN

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ

УНИВЕРСИТЕТI

ЕВРАЗИЙСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Л.Н. ГУМИЛЕВА L.N. GUMILYOV EURASIAN

NATIONAL UNIVERSITY

ХАБАРШЫ

1995 жылдың қантарынан жылына 6 рет шығады

II бөлiм

№ 6 (97) · 2013

ВЕСТНИК

выходит 6 раз в год с января 1995г.

II часть

HERALD

Since 1995

II part

Астана

УДК 681 5 9 7558

М.А. Бейсенби, Д.К. Сатыбалдина, Г.А. Ускенбаева

Исследование робастной устойчивости линейных SISO систем методом функций А.М. Ляпунова

(Евразийский национальный университет им. Гумилева, г. Астана, Казахстан)

Предлагается подход к исследованию робастной устойчивости динамических систем управления с одним входом и одним выходом. Исследование робастной устойчивости систем управления базируется на построении функций А.М.

Ляпунова. В системе излагается метод построения функций А.М. Ляпунова на основе геометрической интерпретации теорем Ляпунова об асимптотической устойчивости и понятий устойчивости динамических систем.

Ключевые слова :системы управления, робастная устойчивость, прямой метод Ляпунова, моделирование.

Универсальным является для исследования устойчивости динамических систем идея прямого метода Ляпунова [1,2]. Широкое применение идей данного метода сдерживается отсутствием общего подхода к выбору или построению функций Ляпунова и трудностями их алгоритмической реализации. Во многих случаях реальные объекты функционируют в условиях той или иной степени неопределенности. При этом неопределенность может быть обусловлена незнанием истинных значений параметров объектов управления и непредсказуемым изменением их во времени. Поэтому исключительно важную роль в теории управления динамическими объектами играет робастная устойчивость. В общей постановке исследование робастной устойчивости состоит в указании ограничений на изменение неопределенных параметров системы управления, при которых сохраняется устойчивость.

Эти ограничения определяются областью устойчивости по неопределенным и выбираемым параметрам.

Проблеме исследования робастной устойчивости систем управления посвящено большое число работ. В этих работах [3, 4] в основном исследуются робастная устойчивость полиномов и матриц в рамках линейного принципа исследования устойчивости непрерывных и дискретных систем управления.

В настоящей работе предлагается подход к построению функций Ляпунова по антиградиенту искомой вектор - функции [5], а все компоненты вектора антиградиента задаются векторами состояния. Область устойчивости получается в виде простейших неравенств по неопределенным параметрам объекта управления и выбираемым параметрам регулятора. Исследование робастной устойчивости системы основывается на идеях прямого метода А.М. Ляпунова [2].

Пусть замкнутая стационарная система управления описывается уравнением состояния dx

dt =Ax+bu, x∈Rⁿ, u∈R¹ (1)

где

A=

0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0

... ... ... ... ... 0 0 0 · · · 1

−a_n −a_n−1 −a_n−2 · · · a1

, b=

0 0 ... 1

, x=

x₁ x2

... xn

.

Закон управления задается в виде скалярной функции:

u(t) =−k^Tx(t) (2)

где k^T =

k1 k2, · · · , kn

– матрица коэффициентов управления размерности 1×n.

Тогда систему (1) в развернутой форме представим в виде:















˙

x1=x₂

˙

x2=x3

...

˙

xn−1=xn

˙

xn=−(a_n+k₁)x₁−(an−1+k₂)x₂−...−(a₁+k_n)x_n

(3)

В качестве инструмента исследования устойчивости системы (3) используем основные положения прямого метода Ляпунова [2], для асимптотической устойчивости состояния равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы существовала положительная функция Ляпунова V(x) такая, что полная производная по времени, вдоль решения дифференциального уравнения состояния (3) является отрицательно определенной функцией, т.е.

•

V(x) = ∂V(x)

∂x dx

dt <0 (4)

Полная производная по времени от функции Ляпунова (4) с учетом уравнения состояния (3) определяется как скалярное произведение вектора градиента ^∂V_∂x^(x)от функции Ляпунова на вектор скорости^dx_dt . Вектор градиентаот функции Ляпунова всегда направлен в сторону наибольшего роста функций, т.е. от начала координат в сторону наибольшего роста функции Ляпунова.

При исследовании устойчивости системы [1, 2], началу координат соответствует заданные вектора движений или стационарные состояния системы. Уравнения состояния системы (1) или (3) составляются всегда в отклонениях ∆xот стационарного состояния XS(x= ∆x=X−X_S). Поэтому уравнения состояния (1) или (3) выражают скорость изменения вектора отклоненийx и можем предположить, что вектор скорости отклонений направлен, в устойчивой системе, к началу координат. Отсюда, если функция Ляпунова V(x)задается в виде вектор-функцииV(V₁(x), V₂(x), ..., V_n(x)), а из геометрической интерпретации теоремы А. М. Ляпунова [2] выберем антиградиенты от компонентов функций Ляпунова равными компонентам вектора скорости, т.е.

−dxi

dt = ∂Vi(x)

∂x₁ +∂Vi(x)

∂x₂ +...+∂Vi(x)

∂x_n ,(i= 1, ..., n) Отсюда можем написать























−^dx_dt¹ = ^∂V_∂x^1(x)

2 =x2

−^dx_dt² = ^∂V_∂x^2(x)

3 =x₃ . . .

−^dx_dtⁿ⁻¹ = ^∂Vn−1_∂x ^(x)

n =xn

−^dx_dtⁿ = ^∂V_∂x^n(x)

1 +^∂V_∂x^n(x)

2 +^∂V_∂x^n(x)

3 +...+^∂V_∂x^n(x)

n =

=−[(a_n+k1)x1+ (an−1+k2)x2+...+ (a1+kn)xn]²

(5)

Тогда для полной производной по времени от компонентов искомой вектор-функции Ляпунова получим.















dV1(x)

dt =−x²₂

dV2(x)

dt =−x²₃ . . .

dV2(x)

dt =−x²_n

dVn(x)

dt =−[(a_n+k₁)x₁+ (an−1+k₂)x₂+...+ (a₁+k_n)x_n]²

Из этого выражения следует, что полная производная по времени от компонентов вектор- функции Ляпунова всегда будет знакоотрицательной функцией.

Также для полной производной по времени от функции Ляпунова V(x) =V1(x) +V2(x) + ...+V_n(x)в скалярной форме получим

dV(x)

dt =−x²₂−x²₃−...−[(an+k1)x1+ (an−1+k2)x2+...+ (a1+kn)xn]² (6) Функцию Ляпунова из (5) можем получить в форме вектор-функции [7] с компонентами:

V1(x) = (0,−1

2x²₂,0, ...,0) V₂(x) = (0,0,−1

2x²₃, ...,0) . . .

Vn−1(x) = (0,0,0, ...,−1 2x²_n) Vn(x) = (1

2(an+k1)x²₁,1

2(an−1+k2)x²₂, ...,1

2(a1+kn)x²_n)

Здесь компоненты вектора-функции Ляпунова Vi(i = 1, ..., n)построены по компонентам вектора градиента:

∂V1

∂x₁ = 0,∂V1

∂x₂ =−x₂,∂V1

∂x₃ = 0, ...,∂V1

∂x_n = 0

∂V2

∂x₁ = 0,∂V2

∂x₂ = 0,∂V2

∂x₃ =−x₃, ...,∂V1

∂x_n = 0 . . . .

∂Vn−1

∂x₁ = 0,∂Vn−1

∂x₂ = 0,∂Vn−1

∂x₃ = 0, ...,∂Vn−1

∂x_n =−x_n

∂Vn

∂x1

= (an+k1)x1,∂Vn

∂x2

= (an−1+k2)x2,∂Vn

∂x3

= (an−2+k3)xn, ...,∂Vn

∂xn

= (a1+kn)xn

Функцию Ляпунова в скалярной форме можно представить в виде

V(x) = 1

2(a_n+k₁)x²₁+1

2(an−1+k₂−1)x²₂+1

2(an−2+k₃−1)x²₃+...+1

2(a₁+k_n−1)x²_n (7) Условие положительной определенности функций (7) с учетом отрицательной определенности квадратичной формы (5), т.е. устойчивости системы (3) получим в виде















a_n+k₁ >0 an−1+k2−1>0 an−2+k3−1>0 . . .

a₁+k_n−1>0

(8)

Обычно в системах управления точное математическое описание часто недоступно. В реальных задачах неизбежно присутствует неопределённость, а система управления должна

быть работоспособной при выполнении ограничений (8) и при наличии неопределенности в параметрах.

G= ((g_ij)), g_ij =g⁰_ij+ ∆_ij,|∆_ij| < γm_ij, i= 1, ..., n

где номинальная матрицаG0 = g⁰_ijсверхустойчиваgij = aij −bjkj– элементы матрицы замкнутой системы G0 = ((g⁰_ij)) – номинальное значение элементов матрицы номинальной системы (1),∆ = ((∆_ij)),|∆| < m_ij–неопределенность, матрицаm = ((m_ij)) задает масштабы изменения элементовgijматрицы G, аγ >0– размах неопределенности.

Систему задаем антиградиентом некоторой потенциальной функции x˙ = ∆xV , полученной ранее в виде функций Ляпунова, т.е.















˙

x1 =−(a_n+k1)x1

˙

x₂ =−(a_n−1+k₂−1)x₂

˙

x3 =−(an−2+k3−1)x3

. . .

˙

x_n=−(a₁+k_n−1)x_n

(9)

Сверхустойчивость номинальной системы (9) определяется выражением (4).

δ(G0) = min(−g⁰_ij−X

j6=1

g_ij⁰) = min((an+k1),min(an−i+ki−1))≥0, i= (2, ..., n) (10) Потребуем, чтобы условие сверх устойчивости сохранялось для всех матриц семейства:

− g⁰_ii+ ∆ii

−X

j6=i

g_ij⁰ + ∆ij

≥0, i= 1, ..., n

Ясно, что это неравенство будет выполнено для всех допустимых∆iiтогда и только тогда, когда

a⁰_n+k⁰₁−γm₁₁>0 a⁰_n−1+k⁰₂−1−γm22>0

. . .

a⁰₁+k_n⁰−1−γm_nn >0 т.е. при

γ < γ^∗ = min(a⁰_n+k₁⁰

m₁₁ ,mina⁰_n−1+k_i⁰−1

m_ii ), i= 1, .., n−1

Таким образом, мы в явном виде находим радиус робастной устойчивости интервального семейства.

Покажем, как предложенный подход работает на примере, основанном на приведении матрицы А к блочно-диагональной форме

A˜=P⁻¹AP =diag{Λ, J₁, ..., J_m, J₁⁰, ..., J_k⁰}, (11) С диагональными квадратичными блоками вида

Λ =diag{s₁, ..., s_l}; (12)

Ji=

si 1 ... 0 0 0 s_i ... 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... s_i 1 0 0 ... 0 si

Ni×Ni, i= 1, ..., m (13)

J_j⁰ =

α_j −β_j βj αj

, j= 1, ..., k (14)

где s1, ..., sl- вещественные простые, si-вещественные, Ni-кратные,sj = αj ± βj- комплексно сопряженные собственные значения матрицы А, причем, естественно, l+N1+...+ N_m+2k=n. Столбцы не особой матрицы Р в каноническом преобразовании (11) определяются собственными векторами матрицы А, правила и алгоритмы вычисления которых изложены, например, в [9-11].

Покажем, что принятая структура (11) позволяет доказать справедливость предложенного подхода к построению функций Ляпунова и позволяет разделить систему (1) в зависимости от собственных значений любого диагонального блока матрицы A˜. Для этого запишем

˙˜

x= ˜A˜x+ ˜Bu=

Λ 0

J 0 J⁰

˜ x+

˜b1

˜b2

˜b₃

u (15)

˜

u=−k˜^Tx˜=−

˜k₁^T˜k₂^T˜k₃^T

x˜ (16) где

˜

x=P⁻¹x,A˜=P⁻¹AP,˜b=P⁻¹b,˜k^T =k^TP (17) и при этом размерности матриц-столбцов и матриц-строк ˜k^T₁ ,k˜^T₂ , k˜^T₃ соответствуют размерностям квадратных матриц Λ,J,J⁰. На основании (15), (16) не трудно получить характеристический определитель замкнутой системы

λI−( ˜A−˜bk˜^T) =

sI₁−(Λ−˜b₁˜k^T₁)

sI₂−(J −˜b₂˜k^T₂)

sI₃−(J⁰−˜b₃k˜^T₃) ,

из которого очевидно, что дальнейшая задача сводится к последовательному исследованию по предложенной методике канонических объектов.

x˙˜= Λ˜x+ ˜b₁u (18)

x˙˜=Jx˜+ ˜b₂u (19)

˙˜

x=J⁰x˜+ ˜b₃u (20)

С матрицами вида (12) – (14).

1. Систему уравнений (18) записываем в развернутой форме











x˙˜1 = (s1−˜b1˜k1)˜x1

x˙˜₂ = (s₂−˜b₂˜k₂)˜x₂ ...

x˙˜_l= (s_l−˜b_l˜k_l)˜x_l

Для компонентов вектора градиента от функций Ляпунова V(x1, ..., xl)получим

∂V(˜x)

∂x˜₁ =−(s₁−˜b1k˜1)˜x1,∂V(˜x)

∂x˜₂ =−(s₂−˜b2k˜2)˜x2, ...,∂V(˜x)

∂x˜_l =−(s_l−˜b_lk˜_l)˜x_l Полная производная по времени от функций Ляпунова

dV(˜x) dt =

l

X

i=1

∂V(˜x)

∂˜x_i d˜xi

dt =

l

X

i=1

(si−˜biki)²x˜²_i

будет знако – отрицательной функцией. Функцию Ляпунова получим в виде V(˜x) =−(s₁−˜b1˜k1)˜x²₁−(s2−˜b2k˜2)˜x²₂−, ...,−(s_l−˜b_l˜k_l)˜x²_l Положительная определенность функций Ляпунова задается неравенствами

s₁−˜b₁k˜₁<0, s₂−˜b₂˜k₂ <0, ..., s_l−˜b_l˜k_l <0

Здесь si −˜bi˜ki = µi, i = 1, ..., lявляются собственными значениями матрицы замкнутой системы, и получим известный результат линейного принципа устойчивости µi = si −˜bi˜ki <

0, i= 1, ..., l.

2. Систему уравнений (19) представим в развернутой форме для одного блока Жордано:











x˙˜i ==six˜i+ ˜xi+1−˜bi˜kix˜i

x˙˜i+1 ==six˜i+1+ ˜xi+2−˜bi+1k˜i+1x˜i+1

...

x˙˜i+Ni ==six˜i+Ni−˜bi+Nik˜i+N_ix˜i+Ni

i= 1, ..., m;

Компоненты вектора градиента вектор - функции Ляпунова по предлагаемому подходу будут равны:

∂V_i(˜x)

∂˜xi+1

=−(s_i−˜bi˜ki)˜xi;∂V_i(˜x)

∂x˜i+1

=−˜xi+1

∂Vi+1(˜x)

∂x˜_i+1 =−(s_i−˜bi+1k˜i+1)˜xi+1;∂Vi+1(˜x)

∂˜x_i+2 =−˜xi+2

. . .

∂V_i+Ni(˜x)

∂x˜_i+Ni =−(s_i−˜b_i+Ni˜k_i+Ni)˜x_i+Ni;

Полные производные по времени от компонентов вектор – функций Ляпунова имеют вид:

dVi(˜x)

dt =−(s_ix˜i+ ˜xi+1−˜bik˜ix˜i)² dV_i+1(˜x)

dt =−(s_ix˜_i+1+ ˜x_i+2−˜b_i+1k˜_i+1x˜_i+1)² . . .

dV_i+Ni(˜x)

dt =−(s_ix˜_i+Ni−˜b_i+Ni˜k_i+Nix˜_i+Ni)².

Полные производные по времени являются знакоотрицательными функциями и удовлетворяют условию асимптотической устойчивости.

Компоненты вектор – функций Ляпунова будут равны:

Vi(˜x) =−(s_i−˜bi˜ki)˜x²_i −x˜²_i+1, Vi+1(˜x) =−(s_i−˜bi+1˜ki+1)˜x²_i+1−x˜²_i+2,...,Vi+Ni−1(˜x) =−(s_i−

˜b_i+Ni−1˜k_i+Ni−1)˜x²_i+N

i−1−x˜²_i+N

i, V_i+Ni(˜x) =−(s_i−˜b_i+Ni˜k_i+Ni)˜x²_i+N

i.

Условий положительной определенности функций Ляпунова для системы (19) получим в виде

s_i−˜b_i˜k_i<0, s_i+ 1−˜b_i+1k˜_i+1<0, ..., s_i+ 1−˜b_i+Ni˜k_i+Ni <0, i= 1, ..., m. (21) Система неравенств (21) также выражает условие отрицательности вещественных корней характеристического уравнения замкнутой системы.

3. Рассмотрим систему (20) в развернутой для одного блока:

x˙˜i =αix˜i+βix˜i+1−˜bik˜ix˜i

x˙˜_i+1=−β_ix˜_i+α_ix˜_i+1−˜b_i+1k˜_i+1x˜_i+1 i= 1, .., k

Функции Ляпунова строим в форме вектор – функций с компонентами V_i(˜x) и V_i+1(˜x), а компоненты вектор – градиента функций Ляпунова получим

∂V_i(˜x)

∂x˜_i =−(α_i−˜b_i˜k_i)˜x_i,∂V_i(˜x)

∂x˜_i+1 =−β_ix˜_i+1,∂V_i+1(˜x)

∂x˜_i =β_ix˜_i,∂V_i+1(˜x)

∂x˜_i+1 =−(α_i−˜b_i+1˜k_i+1)˜x_i+1 Полные производные по времени от компонентов вектор – функций Ляпунова

dVi(˜x)

dt =−(α_ix˜i+βix˜i+1−˜bi˜kix˜i)², dVi+1(˜x)

dt =−(−β_ix˜i+αix˜i+1−˜bi+1˜ki+1x˜i+1)²

является знакоотрицательной функцией и удовлетворяет условиям асимптотической устойчивости.

Функция Ляпунова в скалярной форме представляется в виде Vi(˜x) =−2(α_i−˜bik˜i)˜x²_i, i= 1, .., k

Условия положительной определенности функций Ляпунова записывается

αi−˜bi˜ki <0, i= 1, .., k (22) Условие (22) выражает отрицательность действительной части корней характеристического уравнения замкнутой системы. Таким образом, справедливость предложенного подхода подтверждается результатами линейного принципа устойчивости, что и следовало доказать.

Пример.

Рассмотрим систему третьего порядка. Структурная схема которой изображена на рис. 1.

Рисунок 1.-Структурная схема системы

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид W(s) = k₁k₂

(T₁s+ 1)(T₂s+ 1)T₃s

ГдеT1, T2, T3 - соответственно постоянные времени,k1иk2 - коэффициенты усиления.

Обозначая k=k₁k₂ , получим передаточную функцию замкнутой системы

H(s) = k

(T₁s+ 1)(T₂s+ 1)T₃s+k Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

G(s) = (T₁s+ 1)(T₂s+ 1)T₃s+k= 0 послепреобразованияполучим, что

G(s) =b0s³+b1s²+b2s+b3 = 0 гдеb₀=T₁, T₂, T₃, b₁ = (T₁+T₂)T₃, b₂ =T₃, b₃ =k

Разделяя все члены характеристического уравнения наb0получим G(s) =s³+a1s²+a2s+a3= 0

где

G=

0 1 0

0 0 1

−a₃ −a₂ −a₁

a₁ = b1

b₀ = (T1+T2)T3

T₁T₂T₃ ;a₂= b2

b₀ = T3

T₁T₂T₃;a₃= b3

b₀ = k T₁T₂T₃; Уравнения состояния замкнутой системы управления записывается так:











˙

x1=x₂

˙

x2=x₃ ...

˙

x3=−_T ^k

1T2T3x₁−_T ^T3

1T2T3x₂−^(T_T^1+T2)T3

1T2T3 x₃

По разработанной методике, построим функцию Ляпунова, полная производная которой по времени будет равна:

dV(x)

dt =−x²₂−x²₃−( k

T₁T₂T₃x₁+ T₃

T₁T₂T₃x₂+(T₁+T₂)T₃ T₁T₂T₃ x₃)² а функцию Ляпунова получим в виде

V(x) = 1 2

k T1T2T3

x²₁+1 2

T₃(1−T₁T₂) T1T2T3

x²₂+1 2

(T₁+T₂)T₃−T₁T₂T₃ T1T2T3

x²₃ Условия устойчивости системы приводится к виду

( 1 T1

+ 1 T2

)−1>0; 1 T1T2

−1>0; k T1T2T3

>0 Можем определить границы устойчивости

1. Апериодическая граница устойчивости (нулевой корень s=0)

k T1T2T3

= 0, k= 0;

В качестве примера рассмотрим случай при следующих параметрахk = 0;T₁ = 0,3; T₂ = 5;T3 = 0и результат изображен на рисунке 2.

Рисунок 2.-Переходные характеристики при условии 1

2. Колебательная граница устойчивости появляется при условии (_T¹

1 + _T¹

2) = 1и_T¹

1T2 = 1, при параметрахk = 5;T1 = 2; T2 = 2,5;T3 = 3. Результат изображен на рисунке 3.

Рисунок 3.-Переходные характеристики при условии 2

3. Граница устойчивости соответствующая бесконечному корню (s=∞)равнаT₁T₂T₃ = 0 ЛИТЕРАТУРА

1 Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости – М.: Наука, 1967. 225с.

2 Малкин И.Г. теория устойчивости движения – 2-е изд. – М.: Наука, 1996. 540с.

3 Siljak D.D. Parameter space methods for robust control design: a guided tour\\IEEE Tr. On Autom. Control. – 1989. - 34. №7-P.674-688/

4 Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление – М.: Наука, 2002. – 303с.

5 Бейсенби М.А., Кульниязова К.С. Исследование робастной устойчивости линейных систем управления.Вестник ЕНУ имени Л.Н. Гумилева: Научный журнал Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева. Астана, 2010 - №2 (75) – с. 113-119.

6 Гильмор Р. Прикладная теория катастроф. – М.: Мир. 1981.

7 Воронова А.А., Матросова В.М. Методы векторных функций Ляпунова в теории устойчивости – М.: Наука, 1987. 312 с.

8 Пупкова К.А., Егугова Н.Д. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и томах тт. Т.1 Математические модели, динамические

характеристики и анализ систем автоматического управления.М.: Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2004.

9 Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.:Наука, 1967.

10 Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. // перевод с английского. М.:Наука, 1985.

11 Ланкастер П. Теория матриц// перевод с английского. М.:Наука, 1978, 280с.

REFERENCE

1 Barbashin Е.А. Introduction to stability theory – М.: Nauka, 1967. 225p.

2 Malkin I.G. Dynamic stability theory – 2-nd edition – М.:Nauka, 1996. 540p.

3 Siljak D.D. Parameter space methods for robust control design: a guided tour\\IEEE Tr. On Autom. Control. – 1989. - 34. №7-P.674-688/

4 Polyak B.Т., Shcherbakov P.S. Robust stability and control – М.:Nauka, 2002. – 303p.

5 Beisenbi М.А., Kulniyazova К.S. Development of robust stability of linear control systems. L.N.

Gumilyov ENU Digest: Scientific review of L.N. Gumilyov Eurasian National University. Astana, 2010 - №2 (75) – pp. 113-119.

6 Gilmore, Robert. Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. – М.: Mir. 1981.

7 Voronova А.А., Matrosova V.М. Methods of Lyapunov vector functions in thеory of stability – М.:Nauka, 1987. 312 p.

8 Pupkova К.А., Egugova N.D. Methods of classical and modern theory of automatic control:

Textbook in 5 volumes, V.1 Arithmetic models, dynamic behavior and analysis of automatic control systems.М.: Publishing office of Bauman University, 2004.

9 Gantmacher F. R. The Theory of Matrices. М.:Nauka, 1967.

10 Strejc V. State Space Theory of Discrete Linear Control. // translated from English. М.:Nauka, 1985.

11 Lancaster P. The theory of matrices // translated from English. М.:Nauka, 1978, 280p.

Бейсенби М.А., Сатыбалдина Д.К., Ускенбаева Г.А.

Сызықты SISO жүйелердiң робасты орнықтылығын А.М. Ляпунов функция әдiсiмен зерттеу Бiр кiрiсiжәне бiр шығысы бар динамикалық басқару жүйелерiнiң робасты орнықтылығын зерттеу тәсiлi ұсынылады.

Басқару жүйелерiнiң робасты орнықтылығын зерттеу А.М. Ляпунов функциясын құрастыруына негiзделген. Жүйеде асимптотикалық орнықтылық туралы Ляпунов теоремасы мен динамикалық динамикалық жүйулердiң орнықтылық түсiнiгiнiң геометриялық интерпретациясының негiзiнде А.М. Ляпунов функциясын құрудың тәсiлi баяндалған.

Кiлттiк с?здер:басқару жүйелер, робастты орнықтылық, Ляпунов тәсiлi, модельдеу.

Beisenby M.A., Satybaldina D.K., Uskenbaeva G.A.

Research of robust stability of linear SISO systems by a method of the A.M. Lyapunov functions

We propose an approach to design of robust stability of dynamic control systems with one input and one output signals.

Design of robust stability of control system is based upon construction A.M. Lyapunov’s function. The system states the method of construction of A.M. Lyapunov’s function on the basis of geometric interpretation of Lyapunov theorems concerning asymptotic stability and concepts of dynamic systems stability.

Keywords :Control systems, robust stability, superstability, Lyapunov’s direct method, modelling.

Поступила в редакцию 15.10.13 Рекомендована к печати 30.10.13

Об авторах:

Бейсенби М. А.- д.т.н., профессор кафедры Системный анализ и управление факультета информационных технологий Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева

Сатыбалдина Д. К. - к.т. н., доцент кафедры Системный анализ и управление факультета информационных технологий Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева

Ускенбаева Г. А. - PhD докторант кафедры Системный анализ и управление факультета информационных технологий Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева