实根的近似计算 - Dr. Huang

§4 实根的近似计算

设f(x)为已知连续函数，ξ 是方程

f(x)=0

的根，这里方程可以是一般方程（代数方程或超越方程）.在实际问题中都给出了根的范围，

例如代数方程

f(x)=a0xⁿ+a1x^n－1++an－1x+an=0 的根ξ 的范围是

ξ 1+

0

1

a max{a₁,a₂,,a_n}

因此可以假定方程在区间(a,b)内只有一个根（若有两个根，则将区间的一个端点换为使

f(x)=0 的点）.并由函数的连续性可知，一般来说，在根的附近 f(x)是异号的（当 f(ξ )=0

或除外），所以在下面介绍的各种近似计算中，都假定f(a)和f(b)异号.

一、秦九韶法*

秦九韶法基本上是通过逐次试验求根的近似值的方法，试验次数愈多，所得近似值愈接 近根的真值.系统地继续这一过程，直至达到预定的有效数字的位数.现举例具体说明这个方 法.

例 求方程

f(x)=x³ 18x300 (1) 的根到五位有效数字.

应用笛卡尔符号法则可知这个方程有一个正根.由于f(1)＝－11，f(2)＝14，这个正根在(1,2) 之间.

现在应用秦九韶法求这个方程的近似根.先设 p x1，这里 p表示 1 到所求根的距离.

应用多项式的泰勒公式(秦九韶法,见§2,一)，得到关于p的方程

p³ 3p² 21p110 (2) 其算式为

1





















d 11 21 3 1

30 19 2 1

18 1 1

0 1 1

－

－

现在求纯小数 p的近似值，由于纯小数的三次方或二次方的值更小，可暂舍去方程(2)的

头两项而来计算21 p－11＝0，即p＝0.5238….但舍去的两项是正的，这个值显得太大.当p＝

0.500 时，方程(2)的左边各项的和是仍是正数(0.375)，而当p＝0.400 时，方程(2) 的左边各

项的和是负数(－2.056).因此，设p0.4h(h0),即h＝p－0.4，再应用多项式的泰勒公式，

得到关于h的方程

h³ 4.2h²23.88h2.0560 (3) 其算式为

* 我国古代数学家秦九韶在他所著的<<数书九章>>(1247)，给出一个求代数方程的根近似值 的方法，这个方法一般书上都称为和纳法.实际上和纳在1819年才提出这个方法，比秦九 韶晚五百多年.

4 . 0





















d 0 5 6 . 2 88 . 23 2 . 4 1

11 36

. 22 8 . 3 1

21 4 . 3 1

3 1 1

－

－

现在求小数h的近似值，舍去头两项，求得h＝0.08609….因舍去两个正量，所得的h太大，

所以设h＝0.08q(q0),即q＝h－0.08.应用上述方法得到关于q的方程

q³4.44q² 24.5712q0.1 1 8 2 0 80 (4) 同 上 面 一 样 ， 从 方 程(4)的 后 两 项 求 得 q0.00481, 设 q0.004r (r 0) ,即

, 004 .

0

q

r 得到关于r的方程

r³ 4.452r² 24.6 0 6 7 6 8r0.0 1 9 8 5 2 0 9 60 (5) 从后两项求出r的近似值r =0.0008…,因舍去的都是正量，所以方程(5)的根在 0.0008 和 0.00081之间.

现在把(2),(3),(4),(5),的各个近似值0.4,0.08,0.004,0.0008相加得总和0.4848,然后加到第一 次近似值1上，所以方程(1)的根在1.4848与1.48481之间，取五位有效数字为1.4848.

用秦九韶法还能求负的近似值.想求f(x)＝0的一切负实根，可先求 f(－x)的正实根，然后 改变符号，即得负实根.

二、二分法

假定 f(x)在[a,b]上连续，且 f(a)f(b)<0（这里假定 f(a)<0,f(b)>0 ） , 取 区 间 [a,b] 的 中 点

2 b

a ， 若



 



  2

b

f a =0，则 f(x)=0 的根是ξ =

2 b

a .不然，若



 



  2

b

f a >0，则令 a1=a,b1= 2

b

a ；若 _



 



  2 b

f a <0，

则令 a1= 2

b a

,b1=b.于是形成新区间[a1,b1]，它包含

f(x)=0的根ξ （图3.2）.

再 取[a1,b1]的 中 点 2

1

1 b

a  ， 若 _



 



  2

1

1 b

f a =0， 则ξ =

2

1

1 b

a 

.若 _



 



  2

1

1 b

f a >0， 则 令

a₂=a₁,b₂= 2

1

1 b

a  ；若 _



 



  2

1

1 b

f a <0，则令 a₂=

2

1

1 b

a 

,b₂=b₁.于是又形成新区间[a2,b₂]，其长度

等于 ₂ 2

a

b ，它包含方程f(x)=0的根ξ .…若允许误差ε =10^k，则按这个过程作出区间[a1,b1], [a2,b2], [a3,b3],, [a_n,bn],n= 



 



  

2 lg

) lg(b a

k （[x]表示x的整数部分），于是 ξ ^*=

2

n

n b

a 

是方程f(x)=0的近似根，误差不超过

ξ -ξ ^* ₁ 2 ^



n

a b 10^k

二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此 它的使用范围很广，并便于在电子计算机上实现.但是它不能求重根，也不能求虚根.

三、迭代法

把方程f(x)=0表成它的等价形式

x=(x) 或一般地

f1(x)=f2(x)

式中f1(x)是这样一个函数：对任意实数c，能容易算出方程f1(x)=c的精确度很高的实根.如果

对任意ax1b,ax2b，下式成立：

1 )

( ) (

1 1

2

2  





q x f

x f

则下面迭代过程是收敛的.

首先从一个近似根x₀出发（x0可由图解法粗略估计出），代入方程右边，解方程 f1(x)=f2(x0)

得到第一个近似根x=x₁，再解方程

f1(x)=f2(x1) 得到第二个近似根x=x₂，,类似地由第n个近似根 xn，解方程

f₁(x)=f₂(x_n)

得到第n+1个近似根x=xn+1，于是得到一系列不同 精确度的近似根

x0, x1, x2,, xn,

它收敛于方程的根ξ （图3.3）.

收敛速度（即误差消失速度）与aⁿ相当，而 a

0 1

1 2

x x

x x



  用

 

0 2

2 1 2

2 x

x x

x 

 

 

代替 x₂可加速收敛.式中x1=x₂－x1为 x₁的一阶差分，

²x0=x1－x0为x0的二阶差分.

对 于 方 程 x=(x)， 只 要(x)在[a,b]上 连 续 ， 且

(x) 

 q<1，那末，它的根可由

x₁=(x0) x₂=(x1)



xn+1=(xn) 来接近（图3.4）.

四、牛顿法

1．一般牛顿法

设f(x)在[a,b]上连续， f(x)也连续，且 f(x)0,f (x)0，f(a)f(b)<0（设f(a)<0,f(b)>0），

过点(a,f(a))（或点(b,f(b)）)作曲线的切线：

) ) (

( f a

a x

a f

y  



 （或 ( ) ( )

b b f

x b f

y  



 ）

它和x轴的交点为x=a－

) (

) (

a f

a f

 （或x=b－

) (

) (

b f

b f

 ） 用迭代公式

x_n+1=x_n－

) (

) (

n n

x f

x f

 并取初始值

x0=





 

  0 ) ( ,

0 ) ( ,

x f b

x f a

当 当

可计算出方程f(x)=0的根的近似值（图3.5）.误差－xn不超过 )

( min

) (

x f x f

b x a

n

 



一般选取的初始值x₀，要满足不等式

2 ) ( ) ) (

( ₀ ² f x⁰ f x⁰ x

f 

  2．近似牛顿法

如果 f(x)不易算出，可改用差商代替，得出近似牛顿法迭代程序：

x_n+1=x_n

) (

) (

) ( 2

h x f h x f

h x f

n n

n





  3．逐次压缩牛顿法

求实系数代数方程

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1++a_n=0

的单实根时，用牛顿法求出一个实根x0后，可把多项式的次数降低一次，降低次数后的多项 式系数bk为

b0=a0

b_k=a_k+x₀b_k-1 (k=1,2,,n－1)

然后，再把求出的实根作为初始近似值，用同法求出再次降低次数的多项式的实根，依此求 出全部单实根.

4．牛顿法解非线性方程组 假设非线性方程组

   







 0 ,

0 ,

y x

y x u



存在一组近似解P0=(x0,y0)，且

0

0









 







y p

x y u x u





可用迭代公式：

xn+1=xn+

pn

n

y y u u

J

 





 1

yn+1=yn+

pn

n

x x u u J







 

1

式中P_n为点(xn,y_n)，Jn为雅可比式J在P_n的值：

pn

n

y x

y u x u J







 









 

五、弦截法（线性插值法）

假设 f(x)在[a,b]上连续， f(x),f (x)都不变号，且 f(a)f(b)<0（这里假定 f(a)<0,f(b)>0）.

过点(a,f(a))和(b,f(b))的直线是：

a b

a x a f b f

a f y



 





) ( ) (

)

( (或

a b

x b a f b f

y b f



 



 ) ( ) (

)

( )

它和x轴的交点是x=a－

) ( ) (

) ( ) (

a f b f

a f a b



 （或x=b－

) ( ) (

) ( ) (

a f b f

b f a b



 ）.

（a）当 f(x) f (x)>0时，用迭代公式











 

  a x

a f b f

b f x b b

x_n ⁿ

0

1 ( ) ( )

) ( ) (

可求出方程的近似根（图3.6(a)）.

（b）当 f(x) f (x)<0时，用迭代公式











 

  b x

a f x f

a f a a x

x

n n n

0

1 ( ) ( )

) ( ) (

可求出方程f(x)=0的近似根（图3.6(b)）.

六、联合法（牛顿法与弦截法联合使用）

假设f(x)在[a,b]上连续， f(x),f (x)都不变号，且f(a)f(b)<0（这里假定f(a)<0,f(b)>0）.

（a）当f(a)与 f (x)同号时（图3.7(a)），用迭代公式 x₁=a

) (

) (

a f

a f

  x1=b

) ( ) (

) ( ) (

b f a f

b f b a



 

x2=x1

) (

) (

1 1

x f

x f

  x2=x₁

) ( ) (

) ( ) (

1 1

1 1 1

x f x f

x f x x

 



 





x_n=x_n-1

) (

) (

1 1





 

n n

x f

x f

xn=x_n_1

) ( ) (

) ( ) (

1 1

1 1

1

















 



n n

n n

n

x f x

f

x f x x

可求出方程f(x)=0的近似根.

（b）当f(a)与 f (x)异号时（图3.7(b)），用迭代公式 x1=a

) ( ) (

) ( ) (

a f b f

a f a b



 

x1=b

) (

) (

b f

b f

  x2=x1

) ( ) (

) ( ) (

1 1

1 1 1

x f x f

x f x x

 



 x2=x₁

) (

) (

1 1

x f

x f





 



x_n=x_n-1

) ( ) (

) ( ) (

1 1

1 1

1











 

 



n n

n n

n

x f x f

x f x x

xn=x_n1

) (

) (

1 1









 

n n

x f

x f

可求出方程f(x)=0的近似根.

误差 x_n   x_n x_n 或 x_n   x_n x_n . 七、抛物线法（穆勒法）

求实系数n次方程

f(x)=xⁿ+a1x^n-1++a_n=0 (1) 的近似根.

可先求出f(x)=0的一个根x=r，则 f(x)=(x-r)g(x)

=(x－r)(x^n－1+b₁x^n－2++bn－1)

式中g(x)是n－1次多项式，然后再求出g(x)的根，依此类推，可以求出f(x)=0的全部实根来.

首先选取x轴上三点：x₀,x₁,x₂,通过曲线y=f(x)上的三点：(x₀,f(x₀)), (x₁,f(x₁)),(x₂,f(x₂))作一抛

物线 y=P(x)（即拉格朗日插值多项式，见第十七章，

§2，三），抛物线与x轴有两个交点，取离x2较近的一 点作为x₃；再过三点(x1,f(x₁)), (x₂,f(x₂)), (x₃,f(x₃))作一抛 物线（图3.8中的虚线），它与 x轴有两个交点，取离 x3较近的一点作为x4，依此法作出点xi-2, xi-1, xi，再 过三点(xi-2,f(x_i-2)), (x_i-1,f(x_i-1)), (x_i,f(x_i))作一抛物线与x轴 有两个交点，取离xi较近的一点作为xi+1，等等.

对于预先给定的允许误差，当迭代过程进行到

x_i+1-x_i<

时，就取x_i+1作为f(x)=0的一个近似根.

由此得到的序列是收敛的.极限值







n

xn

 lim ，就是

方程f(x)=0的根.

迭代步骤如下：

（1）根据经验对上式（1）可取

x₀=－1, x₁=1, x₂=0 作为初始值，于是

f(x0)=(－1)ⁿ+(－1)^n－1a1+－an－1+an

f(x1)=1+a1++a_n f(x2)=an

或用x=0附近的近似值

f(x0)an－2－an－1+an

f(x1) an－2+an－1+an

f(x2)=an

（2）设

_i=

2 1

1











i i

i i

x x

x

x , _i=1+_i=

2 1

2











i i

i i

x x

x x

gi=f(xi－2)i2 －f(xi-1)ii +f(xi)i

hi=f(xi-2)i2

-f(xi-1)i2

+f(xi)(i+i) 由此根据xi-2, xi-1, xi 计算出i, i, gi, hi，并根据下列公式计算出i+1

i+1=

i i i i

i

i i

g x f h h

x f



 ) ( 4

) ( 2

2 





（hi>0，根式取正号；hi<0，根式取负号）

当f(xi-2)=f(xi-1)=f(xi)时，取i+1=1.

（3）根据公式

x_i+1=i+1(x_i－xi-1)+x_i 计算出xi+1

八、林士谔—赵访熊法（劈因子法）

由于解二次方程是容易的，因此在求实系数代数方程 f(x)=xⁿ+a1x^n－1++an－1x+an=0

的复根时，如果找出f(x)的一个二次因子，就等于找到方程的一对复根.

设f(x)的一个近似二次因子（任意选取）为

 (x)=x²+px+q 可用下述方法使它精确化：

（1）用 (x)去除f(x)，得到商式Q(x)和余式R(x)，即 f(x)=  (x)Q(x)+R(x)

=(x²+px+q)(x^n－2+b1x^n－3++bn－3x+bn－2)+(r1+r2) 式中商式与余式的系数可用下面的递推公式算出：

bk=ak-pbk-1-qbk-2, k=1,2,,n b_-1=0, b₀=1

r1=bn-1=an-1-pbn-2-qbn-3

r2=bn+pbn-1=an-qbn-2

（2）用 (x)去除xQ(x)得到余式

R^[1](x)=R₁₁x＋R21`

式中R11,R21，由下面的递推公式算出：

c_k=b_n-pc_k-1-qc_k-2, k=1,2,,n-3 c-1=0, c0=1

R₁₁=b_n-2-pc_n-3-qc_n-4 R₂₁=-qc_n-3

（3）用 (x)去除Q(x)得到余式

R^[2](x)=R12x＋R22`

式中R₁₂,R₂₂，由下面的公式算出：

R12=bn-3-pcn-4-qcn-5

R21=bn-2-qcn-4

（4）解二元一次线性方程组

 











2 22

21

1 12 11

r R

u R

r R

u R





得到u,



.

（5）修正后的二次式为

 ^[1](x)=x²+(p+u)x+(q+



)

如果它还不够精确，再重复（1）至（5）的步骤进行修正，直到足够精确为止.

林士谔—赵访熊法求实系数代数方程的复根，其优点是避免了复数运算，缺点是程序比 较复杂.

九、下降法

对任意实系数超越方程组

 



 











0 ) , , , (

0 ) , , , (

0 ) , , , (

2 1

2 1 2

2 1 1

n n

n n

x x

x f

x x

x f

x x

x f





















(1)

定义目标函数

F(x₁,x₂,,x_n)=



 n

i

fi 1

2

如果 F(1,2,,n)<（为在一定精确度下给定的适当小的正数），则认为1,2,,n为方程组

（1）的解.

具体计算步骤如下：

（1）任取一组初始值x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,,x_n⁽⁰⁾（全不为零），设已按照下述过程计算到第m步得到 一组值：x1(m)

,x2(m),,xn(m)

（2）计算

Fm=F(x1(m)

,x2(m)

,,xn(m)

)

（3）若Fm<，则x1(m)

,x2(m),,xn(m)是所求的解，否则计算n个偏导数：

i m i

m

H x

F 1

)

( 



 [F(x1(m)

,x2(m),,xi(m)

+Hi,, xn(m))-F（x1(m)

,x2(m),,xn(m)）]

Hi=xi(m) i=1,2,,n

（4）计算

xi(m+1)

= xi(m)

) (m i

m

m x

F



  , i=1,2,,n 式中



 

 







 

n

i

m i

m m n m

m m

x F

x x

x F

1

2

) (

) ( ) ( 2 ) (

1 , , , )

( 



得到一组{xi(m+1)}，再重复（2），（3）,（4）的计算.