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复习： 1 、高阶导数的运算法则 :

则 阶导数

具有 和

设函数 u v n ,

) ( )

( )

)(

(u  v ⁿ  u ⁿ  v ⁿ

( ) ( ) ( )

0

( )

^{n n} _n^{k n k k}

k

u v C u

^

v



  

^{莱布尼兹公式}

2. 常用高阶导数公式

) 0 (

ln )

( ) 1

( a ^{x (n)}  a ^x  ⁿ a a 

2) sin(

) (sin

) 2

( ^{( )} 





 k kx n kx ^{n n}

2) cos(

) (cos

) 3

( kx ⁽ⁿ⁾  k ⁿ kx  n  

n

n n x

x^ )  (  1) (   1) ^ (

) 4

( ^{( )} 

1

( )

!

( )

ⁿ  

( 1)

ⁿ

n

( ) 1

( 1)!

[ln( )] ( 1)

( )

n n

n

a x n

a x

 

  



3 、间接法

. 1 ,

1

₍₅₎

2

y

y x 求

设  

解

)

1 1 1

( 1 2 1 1

1

2

 

 

 

x x

y x



) ] 1 (

! 5 )

1 (

! [ 5

2 1

6 6

) 5 (



 



 

 y x x

) ] 1 (

1 )

1 (

[ 1

60

_{6 6}

 

 

x x

( )

1

1 !

( ) ( 1)

( )

n n

n

n

x a

 

x a

^

 

4 、隐函数的高阶求导

1 ） F(x,y)=0 两边对

x

_求导， ^{dy g x y( , )}

dx  解得

2 ） ^dy_dx ^{ g x y( , )两边再对求导x} ₂ ( , , )

2

y y x dx G

y

d  



( ) ( )

x t

y t





 

  

^{( )}

) (

t t







  dy

dy dt dx dx

dt



( )

dy ( )

x t

t





 

 

 



2

( (t) ) (t) d

d y dt







 

5 、参数方程的高阶求导

2.5 函数的微分

在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的 另一类问题：当自变量有一个微小的增量时，要求 计算函数的相应的增量。

一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难 的，需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。

由此引出了微分学的另一个基本概念——微分。

重点：微分的定义和运算

微分的几何意义和近似计算

实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量 .

0 ,

0 x x

x 变到  

设边长由 ^x0

x0

x

x

面积 y=x

2

增量：

2

x0

A 

2 2

0 0

( )

A x x x

    

. ) (

2x₀  x  x ²



) 1 (

x x₀

x x₀

: ) 1

( _{x的线性函数,且为A的主要部分;}

) 2 (

)2

(x

: ) 2

( x的高阶无穷小,当x很小时可忽略.

2

A x x

   

微分的定义

定义

0 0

0 0

0 0

0

0 0

( ) ,

( ) ( ) ( )

(

( ) (

,

) )

,

,

( ) .

x x x x

y f x x x x

y f x x f x A x o x

A x

dy

y f x x A x y f x

df x dy A x

x x

 



  

         





  





 设在包含及的某区间内有定义 如果成立，

其中是与无关的常数 则称函数在点可微称为 在点

并且 相应

记作或

于自变量增量的微分 即

的线性主部. 叫做函数增量

微分dy y _{( 微分的实质 )}

三、性质

1 、可微的条件

定理

).

( ,

) (

) (

0 0

0

x f

A x

x f

x x

f

  且

处可导 在点

数

可微的充要条件是函 在点

函数

证 ⁽¹⁾ 必要性  f (x)在点x₀可微, ),

( x o

x A

y     



 ( ),

x x A o

x y



 

 

 

x x A o

x y

x

x 

 

 











) lim (

lim0 0

则  A.

).

( ,

)

(x x₀ A f x₀

f 在点 可导 且  

即函数

(2) 充分性 函数f (x)在点x₀可导, ),

(

lim ₀

0 f x

x y

x  



 



  ( ₀ )  ,



 f x x

即 y

), (

)

(x₀ x x

f

y       

从而    0 (x  0), ),

( )

(x₀ x o x

f     



0 0

( ) , ( ) .

f x x f x A

函数在点可微且 

. )

( ),

( ,

, )

(

x x

f dy

x df dy

x x

f y

 





即 或

记作 微分

称为函数的 的微分

在任意点 函数

. ,

, x

dx dx

x x





 即

记作

称为自变量的微分 的增量

通常把自变量

. ) (x dx f

dy  

 f (x).

dx

dy  

".

"

. 导数也叫 微商

该函数的导数

之商等于 与自变量的微分

即函数的微分dy dx

dx

y x, dy     x x    x

设则

3 、微分的几何意义

x y

o

) (x f y 

x0

M

T

）

x x₀  

P N

x

y dy

) ( x o 

, .

y dy

当是纵坐标的增量时  就

曲线上点 M 的 点 M 的切

是纵坐标 线 上 的增量

, dy y

 x  

当很小时

_Q

 y=QN

dy=QP=tan   MQ  f x  ( )

₀

 x



2 2

ds= (dx) ( ) ( )

MN M

dy

P



曲线段切线段： 

弧微分

★

导数与微分的区别 :

0 0

0 0

0

1. ( ) ( ),

( )( ) ,

, , .

f x x f x

dy f x x x x

R x x



  



函数在点处的导数是一个常数 而微分是的线性函数它的

定义域是实际上它是无穷小

) )(

( lim

lim _{0 0}

0 0

x x

x f

dy x x x

x   



   0.

0 0

0 0

0

0

2.

( ) ( ) ( , y )

( ) ( , y ) .

f x y f x x

dy y f x x x

 

 几何意义：

是曲 的切线

的切

的斜率 在

线在点；

是曲线在 点 线 点的纵坐 标增量

四、计算（微分的求法）

dx x

f

dy  ( )

求法 : 计算函数的导数 , 乘以自变量的微分 . P61 1. 基本初等函数的微分公式

xdx x

x d

xdx x

x d

xdx x

d xdx

x d

xdx x

d xdx

x d

dx x

x d C

d

cot csc

) (csc tan

sec )

(sec

csc )

(cot sec

) (tan

sin )

(cos cos

) (sin

) (

0 )

(

2 2

1























 ^{ }

x dx x

arc d

x dx x

d

x dx x

d x dx

x d

x dx x

d a dx

x x d

dx e

e d adx

a a

d

a

x x

x x

2 2

2 2

1 ) 1

cot 1 (

) 1 (arctan

1 ) 1

(arccos 1

) 1 (arcsin

) 1 ln (ln

) 1 (log

) (

ln )

(

 

 



 

 











2. 函数和、差、积、商的微分法则

) ( )

(

) (

) (

udv vdu

d u udv

vdu uv

d

Cdu Cu

d dv

du v

u d

 













例 1 设 y  e^13x cos x, 求dy.

解 dy  cos x  d(e^13x )  e^13x  d(cos x) . sin )

(cos ,

3 )

(e^13x    e^13x x    x



dx x

e dx

e x

dy  cos  (3 ^{1 3x} )  ^{1 3x}  ( sin )

 ^{ }

. )

sin cos

3

3 (

1 x x dx

e ^x 



 ^

3 、复合函数微分法则

--- 微分形式的不变性

(u) ,

y  f 设可导

; u ) u ( ,

u )

(1 若 是自变量时 dy  f  d (2) 若可微则u  (x) ,

结论：

的微分形式总是

函数 是自变量还是中间变量

无论 ) u (

, u

f

y  _{dy  f (u)du}

'( ) x= ( ) (x) x' '( ) u dy  f x d f u ^ d  f u d

例 2 设 y  ln( x  e ^x2 ), 求dy. 解 1 1 2 ,

2 2

x x

e x

y xe



 

  1 2 .

2 2

e dx x

dy xe

x x



 



解 2

 y  ln , u u x e  

^x2

dy 1 du

  u

2 ²

1 (

^x

)

x

d x e

 x e 



2 2

1 (

^x

)

x

dx de

 x e 



2 2

1

2

(

^x

)

x

dx e dx

 x e 



2

2

1 2 .

x x

xe dx x e

 



例 3

dx dy dy

b a

e^{xy x y},求 , 设 

解一 两边微分：d(e^xy )  d(a^xb^y )

) (

) (

)

( ^{y x x y}

xyd xy b d a a d b

e  



] ln

[ln ]

[xdy ydx a b adx bdy

e^xy   ^{x y} 



bdy adx

xdy

ydx   ln  ln



b dx x

y

dy a 



 

 ln

ln

b x

y a

dx dy

ln ln



 



解二 两边取对数得

b y

a x

xy  ln  ln

两边对

x

_求导，

有

b y

a y

x

y    ln  ln

b x

y a

dx dy

ln ln



 

 dx

b x

y

dy a 



 

 ln

ln

由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法 在本质上并没有区别，因此把两者统称为

微分法

例 4

dx dy dy

b a

e^{xy x y},求 , 设 

解二 两边取对数：

五 、应用

1. 近似计算

y= ( )

(1). 求在点附近的近似值 f x x ;

( ) ( )

y f x x f x

      f x  ( )   x

( ) ( ) ( )

f x    x f x  f x    x

^{( x 很小时)}

(2).求在点附近的近似值f x( ) x  0 ;

x x x

（令，当很小时） 

(0 ) (0) (0) ,

f    x f  f    x



( ) (0) (0)

f x f f  x

   

P62 例 5,6,7

证明：

ln(1.002) 0.002  如：

令 ^{f (x)  ln(1 x)}，^{f '(x) } _1¹ _x f(0)=0,f ^ˊ(0)=1

ln(1  x )  x . 例如：

(2).求在点附近的近似值f x( ) x  0 ;

（当很小时）x

( ) (0) (0)

f x  f  f   x

由

f ( x )  f ( 0 )  f ' ( 0 ) x

^{ f (x)  x}

即 ln(1 x)  x

2. 常用近似公式

^{( x 很小时)}

. )

1 ln(

) 5 (

; 1

) 4 ( );

( tan

) 3 (

);

( sin

) 2 ( 1 ;

1 1

) 1 (

x x

x e

x x

x

x x

x n x

x

x n



  









为弧度

为弧度

证明 (1) 设 f (x)  ⁿ 1  x, 1 (1 ) , )

( ¹

1



  x ⁿ

x n f

1 . )

0 ( ,

1 )

0

( f n

f   

x f

f x

f ( )  (0)  (0)

 1 .

n

 x



( ) (0) (0)

f x  f  f   x

1 1 1

n

x x

  

n 公式应用：如利用

3 6

(1) 996 65

求；（ 2 ） 的近似值

x ⁿ 1 x 1 1 x

   n

（1（（（ | |（（（（

3 996  3 1000 4

而 ³ 4 ³ 4

1000 ) 10

1000 1000

 （1  1 10(1 1 4 ) 9.9867

  

小结

★

微分学所要解决的两类问题 :

函数的变化率问题 导数的概念 函数的增量问题 微分的概念 求导数与微分的方法 , 叫做微分法 .

研究微分法与导数理论及其应用的科学 , 叫做微分学 .

★

导数与微分的联系 :

可导  可微^.