第一章 代数、三角公式与初等代数 - Dr. Huang

第三章 代 数 方 程

代数方程的理论有下列几个主要问题：

(1) 根式解问题；

(2) 根的分布及近似计算；

(3) 根的存在问题；

(4) 根的性质的研究.

本章着重介绍（1）和（2）两个问题，对于（3）和（4）两个问题仅作简略的叙述.

根式解问题就是如何把方程的根用公式表达出来，这里具体列出了实数域上二、三、四 次方程根的表达式，并且指出根与系数之间的相互关系，还叙述了阿贝耳定理，即五次以及 更高次的代数方程没有一般的根式解.本章介绍了代数方程的性质，其中提到关于根的存在问 题的重要的“ 代数基本定理” ；并且叙述了伽罗瓦所指出的，存在用代数方法不能解的具体方 程；也介绍了代数方程的某些特殊解法与对称多项式的基本定理；给出了根的隔离的各种判 别法.最后介绍了方程实根的近似计算的多种方法，并对秦九韶法作了详细说明.

§1 二、三、四次方程的根的表达式

1. 基本概念

[数域] 如果一个数系满足下列两个条件，则称这个数系为一个数域：

(i) 系中有不等于零的数；

(ii) 对系内任意两个数（这两个数也可相同）的和、差、积、商（零不能作除数）仍为系

内的数，这就是说，系内的数对于四则运算是封闭的.

例如，有理数系、实数系、复数系都是数域.

[多项式的根] 形如

f(x)=a0xⁿ+a1x^n-1+a2x^n-2++an-1x+an=0

的方程称为在一个数域S上的一个未知数的n次代数方程，f(x)称为一元n次多项式，式中n 为正整数，a0,a1,a2,，an-1,an是属于数域S的常数，称为方程的系数，最高次项系数 a0简称 为首项系数.

设c 是一个常数,使 f(c)=0,则称 c 为多项式f(x)或方程 f(x)=0的根.本节先考虑在实数域上 的二、三、四次方程.

2. 二次方程

二次方程根的表达式及根与系数的相互关系

方程 ax²+bx+c=0 x²+px+q=0 根的表达式

x1,2=

a ac b

b 2

2 4



 x1,2= p p q



 



 



2

2 2

根与系数的关系















 a x c x

a x b x

2 1

2

1 







 q x x

p x x

2 1

2 1

判别式

=b²－4ac

>0 有两个不等的实根

=0 有两个相等的实根

<0 有两个复根

=p²－4q

>0 有两个不等的实根

=0 有两个相等的实根

<0 有两个复根 3.三次方程

[x³－1=0] 方程 x³－1=0 的三个根为 x₁=1, x₂=ω= 2

3 1i



, x₃=ω²= 2

3 1i

 (i²=－1) (1)

[x³+px+q=0(卡尔丹公式)] 方程

x³+px+q=0 的三个根为

x1=  



 







 



 



3

3 2

3 2

2

p q

q 3

3 2

3 2

2 



 







 



 

q q p

x2=ω  



 







 



 



3

3 2

3 2

2

p q

q ω^{2 3 2 3}

3 2

2 



 







 



 

 q q p

(2)

x3=ω²  



 







 



 



3

3 2

3 2

2

p q

q ω ^{3 2 3}

3 2

2 



 







 



 

q q p

式中ω,ω²同(1).这叫做卡尔丹公式.

根与系数的关系为

x₁+x₂+x₃=0,

q p x

x

x   

3 2 1

1 1

1 , x₁x₂x₃=－q 判别式为

=

3 2

3

2 



 







 



q p

>0 时，有一个实根和两个复根；=0 时，有三个实根，当 p=q=0 时，有一个三重零根；

当 0

3 2

3 2

 



 





 



 



q p 时，三个实根中有两个相等；<0时，有三个不等的实根.

三个根的三角函数表达式（仅当p<0时）为 x₁=2 ³ rcosθ

x2=2 ³ rcos(θ +120°)

x₃=2 ³ rcos(θ +240°) 式中

r=

3

3



 



 p

, θ = 3

1arc cos _



 

  r q 2 [ax³+bx²+cx+d=0] 一般三次方程

ax³+bx²+cx+d=0 (a0)

上式除以a，并设

x=y a

b

3 则化为如下的形式

y³+py+q=0

可按（2）的情形处理，解出y1，y2，y3，则一般三次方程的三个根为 x1=y1

a b

3 ， x2=y2

a b

3 ， x3=y3

a b

3 三个根与系数的关系为

x1+x2+x3= a

 b,

d c x

x

x   

3 2 1

1 1

1 , x1x2x3= a

d

4.四次方程

[ax⁴+cx²+e=0] 方程

ax⁴+cx²+e=0 中，设y=x²，则化为二次方程

ay²+cy+e=0 可解出四个根为

x1,2,3,4=

a ae c

c 2

2 4



  [ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0] 方程

ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0 中，设y=x+

x

1，则化为二次方程，可解出四个根为

x1,2,3,4=

2

2 4

 y

y , y=

a

a ac b

b

2

8

4 ²

2  



 [x⁴+bx³+cx²+dx+e=0] 一般四次方程

ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 都可化为首项系数为1的四次方程，而方程

x⁴+bx³+cx²+dx+e=0 的四个根与下面两个方程的四个根完全相同：

x²+

(

b+ 8yb² 4c

)

 2 x

(

y+

c b y

d by

4 8  ² 



)

=0

x²+

(

b－ 8yb² 4c

)

 2

x

(

y－

c b y

d by

4 8  ² 



)

=0

式中y是三次方程

8y³-4cy²+(2bd-8e)y+e(4c-b²)-d²=0 的任一实根.

5．阿贝耳定理

五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法（即由方程的系数经有限次四则运算和 开方运算求根的方法）.这是阿贝耳定理.