第八节 方程的近似解

三、一般迭代法

⁽ 补充 )

第八节

的实根 求方程 f (x)  0

可求精确根

无法求精确根 求近似根 两种情形 ( 有时计算很繁 ) 本节内容 :

一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形

方程的近似解

第三章

一、根的隔离与二分法

， 内只有一个根 在

若方程 f (x)  0 [a,b]

内严格单调

）

（ 在

且 f (x) a,b

为 则称[a,b] 其隔根区间.

0 )

( ) ( ,

] , [ )

(x C a b f a f b 

f [a,b]为隔根区间

(1) 作图法

1. 求隔根区间的一般方法

; )

(

的草图 估计隔根区间 由

y



f x



转化为等价方程 将

( )



0



f x

O x

y



) (x f y 

. )

( ,

)

( 的草图估计隔根区间 由y 



x y 



x

a b

) ( )

(x



x







) (x y  

) (x y 

O x

y

a b

(2) 逐步收索法

0 1

, 方程 x³  x   例如

3  x 1 x

由图可见只有一个实根



(1,1.5), 可转化为

. )

5 . 1 , 1

( 即为其隔根区间

, ]

,

[ 的左端点出发

从区间 a b _以定步长 h 一步步向右 搜索 , 若

0 )

) 1 (

( )

(a  jh f a  j  h  f

) )

1 (

; ,

1 , 0

( j   a  j  h  b .

] ) 1 (

[ ， 内必有根

则区间 a  jh a  j  h

x y

2 1

x3

y





1



x y

O

只有 且方程 f (x)  0

a1 b₁

2. 二分法

，

设 f (x)C[a,b] f (a) f (b)  0，

，

一个根



(a, b) _取中点



₁ ^{ a}₂^b_，



1

，

若 f (



₁)  0 _则



_{1 即为所求根}



.

，

若 f (a) f (



₁)  0 则根



(a,



₁),令 a₁  a, b₁ 



₁ ; ,

) , (



₁ b



 否则

对新的隔根区间[a₁ , b₁]_{重复以上步骤 ,反复进行 ,得} , , ₁

1

1 b b

a 





令



  



 [ , ] [ , ] ]

,

[a b a₁ b₁ a_n b_n 的中点

若取 [ a_n , b_n]

则误差满足



_n1 



 ¹₂ (b_n  a_n ) ₁ ^{( )}

2

1 b a

n 

 _

a b

)

2 (

1 1 n n

n_  a  b



_作为



_{的近似根,}

 0

 

^n a1 b₁

例 1. 用二分法求方程x³ 1.1x²  0.9x 1.4  0 _的近似 实根时 ,要使误差不超过 10^3, 至少应对分区间多少次 ?

解 : 设 f (x)  x³ 1.1x²  0.9x 1.4,则 f (x)C(,  ) 9

. 0 2

. 2 3

)

(  ²  

 x x x

 f  0 (  5.67  0) ,

) ,

( )

( 单    单 单 单 单

 f x 单

, 0 4

. 1 )

0

(   

f f (1) 1.6  0

故该方程只有一个实根  ,[0,1]单 单 单 单 单 单 单 单 , _欲使 )

0 1

1 (

2

1   1_ 

 n

n





10^3

必需 2^n1 1000, _即 n  log₂1000 1  8.96

可见只要对分区间 次 即可得满足要求的实根近似值



二、牛顿切线法及其变形

: )

(x 满足 f

0 )

( ) ( ,

] , [ )

1 在 a b 上连续 f a f b 

不变号 及

上

在[ , ] ( ) ( ) )

2 a b f  x f  x

. )

, ( 0

)

( _{在 内有唯一的实根}



方程 f x  a b

有如下四种情况 :

b x a

y

O b x

a y

O b x

a y O 0

0



 f f

0 0



 f f

0

0



 f f

0 0



 f f

b x a

y O

) (

) (

0 0 0

1 f x

x x f

x    牛顿切线法的基本思想 :

程的近似根 .

记纵坐标与 f (x) _{同号的端点为} ,

)) (

,

(x₀ f x₀

用切线近似代替曲线弧求方

x1

在此点作切线 ,其方程为 )

)(

( )

(x₀ f x₀ x x₀ f

y    

令 y = 0 得它与 x 轴的交点(x₁ , 0),_其中

再在点(x₁ , f (x₁))_{作切线 , 可得近似根}x₂. 如此继续下去 , 可得求近似根的迭代公式 :

) (

) (

1 1 1



   



n n n

n f x

x x f

x (n 1,2,)

x2

称为牛顿迭代公式

 y

a x

O xb₀

x1

x2

 y

a x

O xb₀

牛顿法的误差估计 :

) (

) (

1 1 1



   



n n n

n f x

x x f

x 由微分中值定理得

) )(

( )

( )

(x_n  f



 f 



x_n 



f

) ( 在 x_n 与 之间 ,

0 )

( 

 f

) (

) (

 

f x

x_n f ⁿ

 





,

 0 则得

m x x_n f ( ⁿ)





说明 : 用牛顿法时 , 若过纵坐标与f (x)_{异号的端点作} 切线 则切线与 , x 轴焦点的横坐标未必在[a, b]内.

) ( min[ , ] f x m  a b  单

牛顿法的变形 :

(1) 简化牛顿法

若用一常数代替 f (x_n1), _即用平行

, ) (

)

( ₀  _1

 x f x_n

f 代替

例如用

则得简化牛顿迭代公式 . 线代替切线 ,

得

) (

) (

0 1 1

x f

x x f

x_{n n} ⁿ

 

 _ ^ (n 1,2,)

优点 : 避免每次计算 f (x_n1)，_{因而节省计算量} . 缺点 : 逼近根的速度慢一些 .

 y

a x

O x₀

 y

0 x

x x₁

(2) 割线法

为避免求导运算 ,

, ) ( _1

 x_n f

用割线代替切线 ,

2 1

2

1) ( )

(







 



n n

n n

x x

x f x

即用差商 f 代替

从而得迭代公式 :

) )(

( )

(

) (

2 1

2 1

1 1  





  

 

 _{n n}

n n

n n

n x x

x f x

f

x x f

x

x2 x₃

( 双点割线法 )

) ,

3 , 2

(n  

特点 : 逼近根的速度快于简化牛顿法 , 但慢于牛顿法 . 说明 : 若将上式中x_n2 单 单 x₀ ,_{则为单点割线法} , 逼近 根的速度与简化牛顿法相当 .

O

例 2. 用切线法求方程x³  2x²  4x  7  0_的近似解 , 使 误差不超过 0.01 .

解 : 设 f (x)  x³  2x²  4x  7.

由草图可见方程有唯一的正实根  ,且 9

) 4 ( ,

10 )

3

(   f 

f

. ]

4 3

[ ， 为一隔根区间 因此

上

， 由于在[3 4]

4 4

3 )

(  ²  

 x x x

f  (3x  2)(x  2) 0 4

6 )

(  

 x x

f  2(3x  2)  0 )

( min f x

m    f (3) 11

y

x O 3 4

,

0  4

故取 x _得

) 4 (

) 4 4 (

1 f

x f

 

 28

4  9

  3.68

而 m

x x f ( ₁)

1 





11 03 .

 1  0.09

， 精度不够

故 x_{1 再求}

) 68 . 3 (

) 68 . 3 68 (

.

2 3

f x f

 

 21.9

03 . 68 1

.

3 

  3.63 m

x

x f ( ₂)

2 





11 042 .

 0  0.004  0.01 因此得满足精度要求的近似解



 3.63

y

x O 3 4

三 . 一般迭代法

^{( 补充 )}

, ) ( 0

)

(x x x

f  转化为等价方程 



将方程 在隔根区

0 ,

间内任取一点 x ^{按递推公式}

) ,

2 , 1 (

)

( ₁  

 x _ n x_n



_n

 

^x_n ^,

生成数列 lim 



,



 n

n x

若 _则  _{即为原方程的根} .

①

式①称为迭代格式 ,

, )

(x 称为迭代函数

 ^x_{0 称为迭代}

, lim 存在称迭代收敛 若 _n

n x





初值 .

否则称为发散 .

例 3. 用迭代法求方

程 x³  x 1 0在[1,2]内的实根. 解法 1 将方程变形为x  x³ 1, 迭代格式为

,

3 1

1 

 _n

n x

x 取 x₀ 1.5

1 2 3 

n xn

0 5 .

1 2.375 12.396 1903.779  ^{发散 !} 解法 2 将方程变形为x  ³ x 1, _{迭代格式为}

, 1

3 1 

 _n

n x

x 取 x₀ 1.5

1 2 

n xn

0 5 .

1 1.35721 1.33086 

7 8

32472 .

1 1.32472

迭代收敛 ,1.32472 为计算精度范围内的所求根 .

定理 . 方程 x 



(x)在区间[a,b]上满足 : b

x a

x

x  ( )  ( ) 

1单



单 单 单单



1 )

( )

(

2_）



 x _存在，且



 x  L 

， 上有唯一解

在 方程

）



( ) [ , ]



1 x  x a b





 







 n n

n x

x

b a x

) (

] , [ 2

1

） 0

( 证明略 )

迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关 .可以证明 下述定理 :

内容小结

1. 隔根方法 作图法 二分法

2. 求近似根的方法

二分法

牛顿切线法 简化牛顿法 割线法

一般迭代法

思考与练习

比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点 .

……

( 习题

作业

3-8)

P182 1 ; 3