數學考科

總召集∕陳彥良 出　版∕民國一 一 一年二月

總編輯∕李心筠 發行所∕70248 臺南市新樂路 76 號 主　編∕吳崇欽 編輯部∕70252 臺南市新忠路 8 -1 號 責　編∕黃美甄•方欽暉 電　話∕(06)2619621 #312

美　編∕戴 寧•陳雅惠 E-mail∕periodical@hanlin.com.tw 本書內容同步刊載於翰林官網 翰林官網 http://www.hle.com.tw

臺中一中•李宜展 老師 大園高中•葉子榕 老師

數學 ^考科

00847-02

25

一

前　言

　　111 年的學科能力測驗是萬眾矚目的一屆，除了是 108 課綱的第一屆之外，本次數學 考科分為數學 A 和數學 B 兩種試卷，且增加了混合題型。

　　肩負大學選才需求的大考中心揭櫫學測測驗目標如下：

1　測驗考生所具有的基本學科能力。

2　測驗考生為銜接大學教育而所具有的基本學科知能。

3　測驗考生能於不同的情境中整合運用基本學科知識、解決問題的能力。

4　測驗考生的閱讀理解、圖表判讀、證據運用、邏輯推論、分析評價、表達說明等能 力。

　　究竟本次數學 B 的考題是否有符合測驗目標呢？讓我們繼續看下去……

試題配分分析

二

冊　別 單　元 題　號 難易度 占　分 單冊占分合計

第一冊

第一章　數與式 單選 1 易 5

20 第二章　指數、對數

第三章　多項式函數 多選 9 多選 12

中 中偏難

5 5 第四章　直線與圓 多選 8 中 5

第二冊

第一章　數列與級數 單選 2 易 5

37.5 第二章　數據分析 多選 10 中偏難 5

第三章　排列組合與機率

單選 3 選填 16 選填 17

易 中 中偏難

5 5 5

第四章　三角比

選填 14 混合 19 混合 20

易 中偏易 中

2.5 4 6

大園高中 ●葉子榕 老師

26 26

試題分析

冊　別 單　元 題　號 難易度 占　分 單冊占分合計

第三冊 B

第一章　正弦函數與週期性現象 單選 6 混合 18

易 易

2.5 5

30 第二章　按比例成長模型 單選 4

選填 13

中偏易 中

2.5 5

第三章　平面向量與應用

單選 4 單選 7 多選 11 選填 14

中偏易 中 易 易

2.5 5 5 2.5

第四冊 B

第一章　空間概念與空間坐標系 單選 6 易 2.5 第二章　圓錐曲線的認識與應用 12.5

第三章　機率 選填 15 易 5

第四章　矩陣與資料表 單選 5 中偏易 5

（跨章節題目占分平分於各章節）

試題特色分析

三

1　整體難易度中偏易：

試題難易度占分如下：易 40 ％，中偏易 14 ％，中 31 ％，中偏難 15 ％。多數的題目 只要用單一觀念即可解題，也沒有過於繁雜的計算。跨章節的綜合題只有 3 題，分別 為單選第 4 題、單選第 6 題和選填第 14 題。學生只要能掌握各章節的基本概念就能輕 鬆得分。

2　試題融入生活情境：

單選第 2 題用燈會布置考週期性變化，選填第 15 題的搜尋失蹤輕航機考貝氏定理，及 選填第 17 題的拍照站位考排列組合，情境融入毫無違和感。而單選第 6 題的經緯度應 用，單選第 7 題的單點透視法，及第 18 ∼ 20 題題組的斜塔問題，結合地理和藝術建 築的領域，讓題目更貼近學生的生活。

3　閱讀量適中有鑑別度：

雖然今年的生活情境題多，但沒有過於冗長的舖陳或是模糊難理解的題意，閱讀量適 中。多選第 11 題及選填第 14 題的向量內積，沒有結合其他的情境，直球對決，命題 相當單純。而多選第 10 題的數據分析需平移伸縮，選填第 17 題的排列組合必須分情 況討論，對學生具挑戰性，有鑑別度。

27 27

4　新課綱新增內容：

單選第 6 題的經緯度，單選第 7 題的單點透視法，及多選第 9 題的三次函數圖形皆為 新課綱新增內容，但考題內容與課本題型相似，有穩定學生信心之用！但只有數學 B 才有的圓錐曲線的認識與應用沒有出題，有點可惜。

5　混合題型：

今年新增的混合題型為第 18 ∼ 20 題題組的斜塔問題，測驗學生能否將所學到的數學 應用在解決問題上，出的很「素養」！第 18 題為單選題考弧度量，第 19、20 題為手 寫題，題組設計循序漸進，能引導學生解題。若能依題意將圖形畫出，便能迎刃而 解。

四

結　語

　　綜合來說，今年的數學 B 題目十分和藹可親，平易近人，充分展現友善校園的精神，

出題方向緊扣 108 課綱及學測的測驗目標。能感受到出題者的用心之處！這樣的試題趨 勢，相信對於學生及教學現場的老師都是一大鼓勵，也能幫助教學更正常化。只要熟悉課 本的內容，概念清晰並勤練計算，數學就不會背叛你！

F

28

數學 B ^考科

第壹部分、選擇（填）題（占 85 分）

一、單選題（占 35 分）

1 7 5

1　試問有多少個整數 x 滿足 2 | _x |＋x＜10？

1 13 個 2 14 個 3 15 個 4 16 個 5無窮多個

答　　案 1

命題出處 第一冊第一章　數與式

測驗目標 絕對值不等式

難 易 度 易

詳　　解 1　若 xM0，則 2x＋x＜10 0Nx＜10

3 ，x＝0，1，2，3，共 4 個 2　若 x＜0，則 2（－x）＋x＜10 －10＜x＜0

x＝－9，－8，－7，……，－1，共 9 個 由1、2知整數 x 共有 4＋9＝13（個），故選1

2　某燈會布置變色閃燈，每次啟動後的閃燈顏色會依照以下的順序做週期性變 換：藍－白－紅－白－藍－白－紅－白－藍－白－紅－白……，每四次一循環，其中藍光每 次持續 5 秒，白光每次持續 2 秒，而紅光每次持續 6 秒。假設換燈號的時間極 短可被忽略，試選出啟動後第 99 至 101 秒之間的燈號。

1皆為藍燈 2皆為白燈

3皆為紅燈 4先亮藍燈再亮白燈 5先亮白燈再亮紅燈

答　　案 3

命題出處 第二冊第一章　數列與級數

測驗目標 數列的規律

難 易 度 易

詳　　解 每一循環：「藍－白－紅－白」共 5＋2＋6＋2＝15（秒）

六個循環後共 15×6＝90（秒）

藍：91 ∼ 95 秒，白：96 ∼ 97 秒，紅：98 ∼ 103 秒

故第 99 至 101 秒之間皆為紅燈

故選3

大園高中 ●葉子榕 老師

試題解析

29

3　有八棟大廈排成一列，由左至右分別編號 1，2，3，4，5，6，7，8。今電信 公司想選取其中三棟大廈的屋頂分別設立一座電信基地臺。若基地臺不能設立 於相鄰的兩棟大廈，以免訊號互相干擾，試問在 3 號大廈不設立基地臺的情況 下，有多少種設立基地臺的選取方法？

1 12 2 13 3 20 4 30 5 35

答　　案 2

命題出處 第二冊第三章　排列組合與機率

測驗目標 有系統的計數

難 易 度 易

詳　　解 1 2 3 4 5 6 7 8

L × L L

L × L L

L × L L

L × L L

L × L L

L × L L

L × L L

L × L L

L × L L

L × L L

L × L L

L × L L

× L L L

共 13 種，故選2

〈另解〉

有 3 號且任三個不相鄰的選法

1 2 3 4 5 6 7 8

× L ×

（1c5），（1c6），（1c7），（1c8），（5c7），（5c8），（6c8）， 共 7 種

n

（任三個不相鄰）－n（有 3 號且任三個不相鄰）

＝C36－7＝20－7＝13（種）

故選2

30

試題解析

4　在坐標平面上，已知向量 PQ ＝

（

^{log 1}5c－10^－5

）

^{，其中點 P 的坐標為}

（

^{log 1}2c2^－5

）

^{。試選出正確的選項。}

1點 Q 在第一象限 2點 Q 在第二象限 3點 Q 在第三象限 4點 Q 在第四象限 5點 Q 位於坐標軸上

答　　案 2

命題出處 第三冊 B 第二章　按比例成長模型、

第三冊 B 第三章　平面向量與應用

測驗目標 向量的坐標表示法、對數運算

難 易 度 中偏易

詳　　解 設 Q（xcy）

PQ ＝

（

^{log 1}5c－10^－5

）

^＝

（

^{x－log 1}2cy－2^－5

）

（xcy）＝

（

^{log 1}5＋log 1

2c－10^－5＋2^－5

）

＝

（

^log 10¹ c－10^－5＋2^－5

）

＝（－1c－10^－5＋2^－5）

又－10^－5＋2^－5＞0　∴點 Q 在第二象限，故選2

5　設矩陣 A＝ 1　 1

1　－1 ，若 A⁷－3A＝ a　b

c　d ，則 a＋b＋c＋d 之值為下列哪一個選 項？

1－8 2－5 3 5 4 8 5 10

答　　案 5

命題出處 第四冊 B 第四章　矩陣與資料表

測驗目標 矩陣的運算

難 易 度 中偏易

詳　　解 A²＝ 1　 1 1　－1

1　 1

1　－1 ＝ 2　0 0　2 ＝2I A⁷＝A⁶×A＝（A²）³×A＝（2I）³×A＝8A A⁷－3A＝8A－3A＝5A＝ 5　 5

5　－5

a＋b＋c＋d＝5＋5＋5－5＝10，故選5

31

6　假設地球為一半徑 r 的球體，有一質點自甲地沿著該地所在經線往北移動，抵 達北極點時移動所經過的弧線之長度為 7

12πr。試問哪一個選項最可能是甲地 的位置？

1東經 75n、北緯 15n 2東經 30n、南緯 75n 3東經 75n、南緯 15n 4西經 30n、北緯 75n 5西經 15n、南緯 30n

答　　案 3

命題出處 第三冊 B 第一章　正弦函數與週期性現象、

第四冊 B 第一章　空間概念與空間坐標系

測驗目標 經緯線

難 易 度 易

詳　　解 往北移動，與經度無關 弧長為 rθ＝ 7

12πr θ＝ 7

12π＝105n 即南緯 15n，故選3

7　畫家把空間景物用單點透視法畫在平面的畫紙上時，有以下原則要遵守：

一、空間中的直線畫在畫紙上必須是一條直線。

二、空間直線上點的相關位置必須和畫紙所畫的點的相關位置一致。

三、空間直線上的任四個相異點的 K 值，和畫紙所畫的四個點之 K 值必須相 同，其中 K 值的定義如下：直線上任給四個有順序的相異點 P1，P2，P3， P4，如右圖。其所對應的 K 值定義為

K＝ P₁P₄×P₂P₃ P₁P₃×P₂P₄

今某畫家依照以上原則，將空間中一直線及該線上的四相異點 Q1，Q2，Q3， Q4描繪在畫紙上，其中 Q1Q2＝Q2Q3＝Q3Q4。若將畫紙上所畫的直線視為一數 線，並將線上的點用坐標來表示，則在下列選項的四個坐標中，試問哪一組最 可能是該四點在畫紙上的坐標？

1 1，2，4，8 2 3，4，6，9 3 1，5，8，9

4 1，2，4，9 5 1，7，9，10

答　　案 5

命題出處 第三冊 B 第三章　平面向量與應用

測驗目標 平面上的比例

難 易 度 中

32

試題解析

詳　　解 令

則 K＝ 3t×t 2t×2t ＝3

4 1　如下圖，K＝7×2

3×6＝7 9

2　如下圖，K＝6×2 3×5＝4

5

3　如下圖，K＝8×3 7×4＝6

7

4　如下圖，K＝8×2 3×7＝16

21

5　如下圖，K＝9×2 8×3＝3

4

故選5

33

二、多選題（占25 分）

8 12 5

8　有一射擊遊戲，將發射臺設置於坐標平面的原點，並放置三個半徑為 1 的圓盤 靶子，其圓心分別為（2c2）、（4c6）與（8c1）。玩家選定一正數 a，並按 下按鈕後，發射臺將向點（1ca）方向發射一道雷射光束（形成一射線）。假 設雷射光束擊中靶子後可以穿透並繼續沿原方向前進（削過圓盤邊緣也視為擊 中）。試選出正確的選項。

1雷射光束落在通過原點且斜率為 a 的直線上 2若 a＝3

2，則雷射光束會擊中圓心為（4c6）的圓盤靶子 3玩家可以僅發射一道雷射光束就擊中三個圓盤靶子

4玩家至少需要發射三道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子

5玩家發射一道雷射光束後，若擊中圓心為（8c1）的圓盤靶子，則 aN16 63

答　　案 125

命題出處 第一冊第四章　直線與圓

測驗目標 圓與直線的關係

難 易 度 中

詳　　解 1　○： 過（0c0）、（1ca）的直線 m＝a－0 1－0＝a 2　○： a＝3

2 的直線為 y＝3

2 x 通過（4c6） 5　○：設 L：y＝ax 為圓 C3的切線

d（C₃cL）N1

| _8a－1 |

a²＋1 N1 64a²－16a＋1Na²＋1 63a²－16aN0 0＜aN16

63（a 為正數）

34　×：可由右圖判斷至少需要 2 道雷射光

亦可由圓 C₂上的（2c1）與圓 C₃的切線 L 必過

（

^2c3263

）

得知雷射光無法同時通過圓 C₂ 與圓 C₃

而（0c0）、圓 C2上的（2c3）與圓 C1的圓心（4c6）共線 所以至少需要 2 道

故選125

34

試題解析

9　設 f（x）＝2x³－3x＋1，下列關於函數 y＝f（x）的圖形之描述，試選出正確的選 項。

1 y＝f（x）的圖形通過點（1c0） 2 y＝f（x）的圖形與 x 軸只有一個交點 3點（1c0）是 y＝f（x）的圖形之對稱中心

4 y＝f（x）的圖形在對稱中心附近會近似於一直線 y＝3x－3 5 y＝3x³－6x²＋2x 的圖形可由 y＝f（x）的圖形經適當平移得到

答　　案 1

命題出處 第一冊第三章　多項式函數

測驗目標 多項式函數及其圖形

難 易 度 中

詳　　解 1　○： f（1）＝2－3＋1＝0

2　×： 由1可知 f（x）有 x－1 的因式

f（x）＝2x³－3x＋1＝（x－1）（2x²＋2x－1） 又 2x²＋2x－1＝0 的判別式為 2²＋8＞0

故 f（x）＝0 有三個實根，與 x 軸有三個交點 3　×：由標準式 y＝a（x－h）³＋p（x－h）²＋k

可知 y＝2（x－0）³－3（x－0）＋1 的對稱中心為（0c1）

4　×：y＝2x³－3x＋1 在（0c1）附近的一次近似為 y＝－3x＋1 5　×： y＝3x³－6x²＋2x 的首項係數為 3

而 y＝2x³－3x＋1 的首項係數為 2，無法由平移得到 故選1

35

0　甲、乙兩班各有 40 位同學參加某次數學考試（總分為 100 分），考試後甲、乙 兩班分別以 y1＝0.8x1＋20 和 y2＝0.75x2＋25 的方式來調整分數，其中 x1，x2分 別代表甲、乙兩班的原始考試分數，y1，y2分別代表甲、乙兩班調整後的分 數。已知調整後兩班的平均分數均為 60 分，調整後的標準差分別為 16 分 和 15 分。試選出正確的選項。

1甲班每位同學調整後的分數均不低於其原始分數

2甲班原始分數的平均分數比乙班原始分數的平均分數高 3甲班原始分數的標準差比乙班原始分數的標準差高

4 若甲班 A 同學調整後的分數比乙班 B 同學調整後的分數高，則 A 同學的原始 分數比 B 同學的原始分數高

5 若甲班調整後不及格（小於 60 分）的人數比乙班調整後不及格的人數多，則 甲班原始分數不及格的人數必定比乙班原始分數不及格的人數多

答　　案 124

命題出處 第二冊第二章　數據分析

測驗目標 一維數據分析

難 易 度 中偏難

詳　　解 1　○： x1＞0.8x1＋20 0.2x1＞20 x1＞100

表示超過 100 分調整後分數會低於原始分數 2　○：0.8 x₁＋20＝60 x₁＝ 40

0.8 ＝50 0.75 x₂＋25＝60 x₂＝ 35

0.75 ＝46.6

∴ _x

1＞ _x

2

3　×： 0.8 _x1＝16 _x1＝ 16

0.8 ＝20 0.75 x₂＝15 x₂＝ 15

0.75 ＝20

∴ _x

1＝ _x

2

4　○：0.8x₁＋20＞0.75x₂＋25 x₁＞15

16 x₂＋25 4

x1－x2＞15

16 x2＋25

4 －x2 ＝－ 1

16 x2＋25 4

＝ 1

16（100－x2）M0（∵x2N100）

∴x₁＞x₂

36

試題解析

5　×：0.8x1＋20＜60 x1＜50 0.75x2＋25＜60 x2＜46.6

只能知道原始分數甲班考未滿 50 分的人數多於乙班考未滿 46.6 分的人數

故選124

q　考慮坐標平面上的點 O（0c0）、A、B、C、D、E、F、 G，如右圖所示，其中 B 點、C 與 D 點、E 與 F 點、

G 與 A 點依序在一、二、三、四象限內。若 v 為坐標 平面上的向量，且滿足 v ．OA ＞0 及 v ．OB ＞0， 則 v 與下列哪些向量的內積一定小於 0？

1 OC 2 OD 3 OE 4 OF 5 OG

答　　案 23

命題出處 第三冊 B 第三章　平面向量與應用

測驗目標 平面向量的內積

難 易 度 易

詳　　解 如右圖

與 v 內積小於 0 與 v 夾角為鈍角 OD 和 OE 符合 故選23

w　設 a，b，c 都是非零的實數，且二次方程式 ax²＋bx＋c＝0 的兩根都落在 1 和 3 之間。試選出兩根必定都落在 4 和 5 之間的方程式。

1 a（x－2）²＋b（x－2）＋c＝0 2 a（x＋2）²＋b（x＋2）＋c＝0 3 a（2x－7）²＋b（2x－7）＋c＝0 4 a

（

^x＋2⁷

）

^2＋b

（

^x＋2⁷

）

^＋c＝0

5 a（3x－11）²＋b（3x－11）＋c＝0

答　　案 35

命題出處 第一冊第三章　多項式函數

測驗目標 多項式不等式

難 易 度 中偏難

37

詳　　解 令 ax²＋bx＋c＝0 的根為 t 在 1 和 3 之間 1＜t＜3 1　×：1＜x－2＜3 3＜x＜5

2　×：1＜x＋2＜3 －1＜x＜1

3　○：1＜2x－7＜3 8＜2x＜10 4＜x＜5 4　×：1＜ x＋7

2 ＜3 2＜x＋7＜6 －5＜x＜－1 5　○：1＜3x－11＜3 12＜3x＜14 4＜x＜14

3 ＜5 故選35

三、選填題（占 25 分）

13 17 5

e　若 x，y 為兩正實數，且滿足 x^－13y²＝1 及 2 log y＝1，則 x－y² 10 ＝ 　13-1 13-2　。

答　　案 99

命題出處 第三冊 B 第二章　按比例成長模型

測驗目標 指對數的運算

難 易 度 中

詳　　解 2 log y＝1 log y²＝1 y²＝10 代入 x^－13y²＝1 得 x^－13×10＝1 x^－13＝ 1

10＝10^－1 x¹³＝10 x＝1000 x－y²

10 ＝1000－10

10 ＝990 10 ＝99

r　坐標平面上有一個半徑為 7 的圓，其圓心為 O 點。已知圓上有 A，B 兩點，

且 AB＝8，則內積 OA ．OB ＝　14-1 14-2　。

答　　案 17

命題出處 第二冊第四章　三角比、第三冊 B 第三章　平面向量與應用

測驗目標 平面向量的內積、餘弦定理 難 易 度 易

詳　　解 如右圖，OA ．OB ＝|_OA ||_OB | cos∠AOB

＝7×7× 7²＋7²－8² 2×7×7 ＝17

38

試題解析

t　根據某國對失蹤輕航機的調查得知：失蹤輕航機中有 70 ％後來會被找到，在被 找到的輕航機當中，有 60 ％裝設緊急定位傳送器；而沒被找到的失蹤輕航機當 中，則有 90 ％未裝設緊急定位傳送器。緊急定位傳送器會在飛機失事墜毀時發 送訊號，讓搜救人員可以定位。現有一架輕航機失蹤，若已知該機有裝設緊急

定位傳送器，則它會被找到的機率為

　15-1 15-2　

　15-3 15-4　。（化為最簡分數）

答　　案 14 15

命題出處 第四冊 B 第三章　機率

測驗目標 貝氏定理

難 易 度 易

詳　　解 有裝

沒裝 有裝 沒裝 找到

沒找到 0.7

0.3 0.1

0.6 0.4

0.9

P（找到|有裝）＝ P（找到∩有裝）

P（有裝） ＝ 0.7×0.6

0.7×0.6＋0.3×0.1＝42 45＝14

15

y　袋中有藍、綠、黃三種顏色的球共 10 顆。今從袋中隨機抽取兩顆球（每顆球 被抽中的機率相等），若抽出的兩顆球皆為藍色的機率為 1

15，皆為綠色的機率 為 2

9，則從袋中隨機抽出兩球，此兩球為相異顏色的機率為 　16-1 16-2　

　16-3 16-4 　。（化為最簡分數）

答　　案 31 45

命題出處 第二冊第三章　排列組合與機率

測驗目標 古典機率

難 易 度 中

39

詳　　解 設藍色球有 x 顆，綠色球有 y 顆 C^x2

C₂¹⁰ ＝ 1

15 x（x－1） 10×9 ＝ 1

15 x（x－1）＝6 x＝3 C^y₂

C2 10 ＝2

9 y（y－1）

10×9 ＝2

9 y（y－1）＝20 y＝5

∴藍色球有 3 顆，綠色球有 5 顆，黃色球有 2 顆 P（兩球異色）＝1－P（兩球同色）

＝1－P（兩藍）－P（兩綠）－P（兩黃）

＝1－ 1 15－2

9－ C²₂

C₂¹⁰ ＝1－ 1 15－2

9－ 1

45＝31 45

u　有三女三男共六位在校時和老師常有互動的同學，畢業後老師邀聚餐，餐後七 人站一橫排照相留念。已知同學中有一女一男兩位曾有過不愉快，照相時不想 相鄰，而老師站在正中間且三位男生不完全站在老師的同一側，則可能的排列 方式共有　17-1 17-2 17-3　種。

答　　案 456

命題出處 第二冊第三章　排列組合與機率

測驗目標 排列

難 易 度 中偏難

詳　　解 　　　　　　師　　　　　　

　　1　　　　2　　　　　3　　　　　　4　　　　　5　　　　6

設有不愉快的女生為 A，男生為 B

不合的情形有「男女各一側」及「AB 相鄰」兩種情形 且兩種情形不會同時發生

n（男女各一側）＝3!×3!×2＝72 n（AB 相鄰）＝4×2!×4!＝192

其他 4 人排列 AB 排列

（1c2）（2c3）（4c5）（5c6）

排列方法數＝n（6 人排列）－n（男女各一側）－n（AB 相鄰）

＝6!－72－192＝456（種）

40

試題解析

第貳部分、混合題或非選擇題（占 15 分）

說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號的作答區內作 答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮 擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必 須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

18－20 題為題組

　　瘦長的塔因為年代久遠，塔身容易傾斜。在下方右圖中，以粗黑線條代表塔 身，而塔身的長度稱為塔高，塔身與鉛直虛線的夾角θn稱為該塔的傾斜度

（0Nθ＜90），又塔頂至鉛直虛線的距離稱為該塔的偏移距離。

根據上述資料，試回答下列問題。

i　 已知世界上傾斜度最高的摩天大樓坐落於阿布達比，其傾斜度達到 18n，此傾 斜度換算成弳（或弧度）為下列哪一個選項？（單選題，5 分）

1 π

36 2 π

18 3 π

20

4 π

10 5 π

8

答　　案 4

命題出處 第三冊 B 第一章　正弦函數與週期性現象

測驗目標 弧度量

難 易 度 易

詳　　解 18n× π

180n＝π

10，故選4

o　中國虎丘塔、護珠塔與義大利的比薩斜塔是三座著名斜塔，它們的塔高分別為 48、19 與 57（公尺），偏移距離分別為 2.3、2.3 與 4（公尺），塔的傾斜度分 別記為θ₁n、θ₂n與θ₃n。試比較θ₁、θ₂與θ₃三數的大小關係。（非選擇題，

4 分）

答　　案 θ₂＞θ₃＞θ₁

41

命題出處 第二冊第四章　三角比

測驗目標 直角三角形的三角比

難 易 度 中偏易

詳　　解 偏移距離

塔高 ＝sinθ sinθ₁n＝ 2.3

48 ~0.05，sinθ₂n＝ 2.3

19 ~0.12，sinθ₃n＝ 4

57~0.07

∵sinθ₂n＞sinθ₃n＞sinθ₁n

∴θ₂＞θ₃＞θ₁

p　 假設有塔高相等的兩座鐵塔，它們的傾斜度αn，βn分別滿足 sinαn＝1 5 與 sinβn＝ 7

25。已知兩座鐵塔的偏移距離相差 20 公尺，試求它們的塔頂到地面 之距離相差多少公尺。（非選擇題，6 分）

答　　案 （100 6 －240）公尺

命題出處 第二冊第四章　三角比

測驗目標 直角三角形的三角比

難 易 度 中

詳　　解 如右示意圖 令塔高為 H 公尺 偏移距離的差為

H sinβn－H sinαn＝

（

25⁷ －1

5

）

^H＝25² H＝20 H＝250

又 sinαn＝1

5 cosαn＝ 2 6 5 　 sinβn＝ 7

25 cosβn＝24 25 塔頂到地面之距離的差為 H cosαn－H cosβn

＝250× 2 6

5 －250×24

25＝100 6 －240（公尺）

42

試題解析

參考公式及可能用到的數值

1　首項為 a，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為 S＝n（2a＋（n－1）d） 2

首項為 a，公比為 r（r≠1）的等比數列前 n 項之和為 S＝a（1－rⁿ） 1－r 2　 △ABC 的正弦定理： a

sin A＝ b

sin B＝ c

sin C＝2R（R 為△ABC 外接圓半徑）

△ABC 的餘弦定理：c²＝a²＋b²－2ab cos C 3　一維數據 X：x1，x2，……，xn，

算術平均數 _X＝1

n（x1＋x2＋……＋xn） 標準差 _X ＝ 1

n〔（x₁－ _X）²＋（x₂－ _X）²＋……＋（x_n－ _X）²〕

＝ 1

n〔（x12＋x22＋……＋xn2）－n X2〕

4　二維數據（XcY）：（x1cy1），（x2cy2），……，（xncyn），

相關係數 r_XcY＝（x₁－ _X）（y₁－ _Y）＋（x₂－ _X）（y₂－ _Y）＋……＋（x_n－ _X）（y_n－ _Y） n _{X Y}

迴歸直線（最適合直線）方程式 y－ _Y＝rXcY Y X

（x－ _X）

5　參考數值： 2 ~1.414， 3 ~1.732， 5 ~2.236， 6 ~2.449，π~3.142 6　對數值：log 2~0.3010，log 3~0.4771，log 5~0.6990，log 7~0.8451

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