2 基本单元与线性插值

§2 基本单元与线性插值

一、 基本单元与型函数

基本单元就是指边界平直的子区域，仅取其顶点作节点，并且只用待定函数值作为节点 参数值。常用的几何形状是

一维的直线段（二节点）。

二维的三边形（三节点），四边形（四节点）。

三维的四面体（四节点），六面体（八节点）。

在这类单元上，插值函数是线性、双线性或三线性的多项式，即对各个坐标变量

x,y

或

z

来说 都是一次的。

为明确起见,本节以

P

表示坐标为

( x , y , z )

的变点,而以

P

i表示节点。设单元有

p

个节点, 其局部序号为

i  1 , 2 ,  , p

,局部坐标为

( 

_i

, 

_i

, 

_i

) ( i  1 , 2 ,  , p )

,而相应的整体直角坐标取作

) , ,

( x

_i

y

_i

z

_i

( i  1 , 2 ,  , p )

。这些坐标系都取右手系。

如果在基本单元内同样有

p

个多项式



₁

( P ), 

₂

( P ),  , 

_p

( P )

满足条件：

（i)

p

个多项式



_i之和恒等于

1，即 1 ) (

1

 

 p

i

i

P



（8）

（ii) 任一



_i

(P )

在节点

P

_i取值

1，在其余 p-1

个节点取值

0，即

ij j

i

P 

 ( ) 

( i , j  1 , 2 ,  , p )

（9）

则称



_i

(P )

为该单元的型函数。



_i

(P )

可以写成

x , y , z

或

 ,  , 

的函数。

基本单元的型函数存在而且是线性（包括双线性、三线性）的。因此对于线性的插值函数

e e

e

v w

u , ,

，包括

x , y , z

(看作坐标本身的线性函数)可表示为







^p

i

i i

e

P P u

u

1

) ( )

( 

（10）







^p

i

i

i

P x

x

1

)

 (

（11）

二、 直线段单元

[距离坐标] 设直线段二端点为

P

₁

, P

₂,则线段上任一点

P

的距离坐标

( 

₁

, 

₂

)

定义为

s P P s

P

P

_{1 2 1} ² _{1 2}

1

= = ,  = =



显然端点

P

₁

, P

₂的距离坐标

( 

₁

, 

₂

)

分别为(1,0),(0,1),且有

2

1

1

  



[型函数] 距离坐标



_i(i=1,2)本身可取作型函数



_i

(P )

。它们与直角坐标之间的关系依 (11)为

x  

₁

x

₁

 

₂

x

₂

[坐标变换] 由于

P

在直线段

P

₁

, P

₂上,所以坐标变量只有一个独立,假定取

x;同样其距离

坐标也只有一个独立,假定取



₂。从上二式得

1 2

1

2

x x

x x



 



[线性插值函数]

2 1 2

1 1

1 2

2 2 2 1 1 2

1

) (

)

( u

x x

x u x

x x

x u x

u u u

i i i

e



 



 





 









三、 三边形单元

[面积坐标] 设三边形的顶点为

P

₁

, P

₂

, P

₃,则三边形的任一点

P

的面积坐标

( 

₁

, 

₂

, 

₃

)

定义 为

i i i

i

H

h A A =

 =

(i=1,2,3)

式中

A

_i表示

P

与

P

_i的对边

P

_j

P

_k构成的

 PP

_j

P

_k的面积,A 为

3 2 1

P P

 P

的面积，而

h

_i

, H

_i分别表示

P， P

_i到

P

_j

P

_k的距离。显然

3 2 1

, P , P

P

的面积坐标分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),且有

3

1

2 1

    



[型函数]



_i

(P )

就是面积坐标



_i,它们与直角坐标之间的线性关系式为

3 3 2 2 1

1

x x x

x      

[坐标变换及其雅可比式] 由于

P

在

P

₁

P

₂

P

₃平面上,所以只有两个坐标变量独立,假定取

x,y;

同样,面积坐标只有两个独立,假定取



₁

, 

₂。从上二式可得

 

 







 



 



 

 

 





3 3 13

31 32 23 2

1

2 1

y y

x x x y

x y

 A



式中

x

_ij

 x

_i

 x

_j

, y

_ij

 y

_i

 y

_j，

23 13

23 13

3 2 1

3 2

1

2

= 1 1 1 1 2

= 1

y y

x x y

y y

x x x A

其绝对值等于单元面积

A

即

A  A

。

雅可比式(即变换矩阵的行列式)为

y A y

x x x x y

J x 2

y ) y

, (

) , (

23 13

23 13

2 1

2 1 2

1











 







 

 













逆变换矩阵为

 

 



 

 

 





 

 











 







13 31

32 23 2

2 1 1

2 1

x y

x y A y

x y

x 







[线性插值函数]













³

1

3 3 2 2 1 1 i

i i

e

u u u u

u    

利用



₁

, 

₂

, 

₃的循环性，以

x,y

为变量的型函数可写成

 







 







 







 















 







 









 







 







y x x y y x y x

x y y x y x

x y y x y x A

1 2

1

21 12 1 2 2 1

13 31 3 1 1 3

32 23 2 3 3 2

3 2 1

3 2 1













四、 四边形单元

[双向距离坐标] 从四边形一顶点

P

₁开始各在二邻边

4 1 2 1

P , P P

P

定义距离坐标;然后再在其对边沿同方向即

P

₄

P

₃

, P

₂

P

₃同 样定义距离坐标。把

P

₁

P

₂与

P

₄

P

₃,以及

P

₁

P

₄与

P

₂

P

₃具相同的距离坐 标的变点联成直线段，构成一个局部坐标网。于是四边形的任 意一点

P

是坐标网的一个结点,其局部坐标(ξ ,η )可分别取

2 1

P

P

，

P

₁

P

₄二线段的第二距离坐标（即



₂）。这样,直角坐标系 中的四边形

P

₁

P

₂

P

₃

P

₄与局部坐标系中的单元正方形(0≤ ξ ≤

1,0

≤ η ≤

1）之间就建立一一对应(图 19.3)。

[型函数] 对于单位正方形的



_i

(P )

显然可取

),

1 )(

1

1

(  

    

₂

  ( 1   )

,



₃

 

,



₄

 ( 1   ) 

它是双线

性的,即对ξ 或η 都是线性的。由于顶点

P

_i的局部坐标

( 

_i

, 

_i

)

取值为

1

或

0,型函数还可以统一

写成

) 1 )(

1 (

) 1

(     



^i _{i i}

i

i

   



^ (i=1,2,3,4) [坐标变换及其雅可比式]























⁴

1

4 3

2

1

( 1 ) ( 1 )

) 1 )(

1 (

i i

i

x x x x x

x        

雅可比式（即变换矩阵的行列式）为

























41 32

41 32 34

21 34 21 41 21

41 21

34 12 41

34 12 21

34 12 41

34 12 21

) (

) (

) (

) (

) , (

) , (

y y

x x y

y x x y y

x x

y y y

y y y

x x x

x x x

y y y J x





















 







 

 



 

逆变换矩阵为

 

 



















 

 

 





 

 











 







) (

) (

) (

) 1 (

34 12 21

34 12 12

34 12 14

34 12 41

x x x

y y y

x x x

y y y

J y x

y x

















它的元素是ξ ,η 的分式线性函数。

[双线性插值函数]

 

 



   







⁴

1

4

1

) 1 )(

1 (

) 1 (

i i

i i i

i i

e

u u

u 

^{i i}

   

五、 四面体单元

[体积坐标] 设四面体顶点为

P

_i(i=1,2,3,4),则四面体的任一点

P

的体积坐标

)

, , ,

( 

₁



₂



₃



₄ 定义为

i i i

i

H

h V V 

 

(i=1,2,3,4)

式中

V

_i表示

P

与

P

_i所对的底面三角形构成四面体的体积,V为四面 体单元的体积,而

h

_i

, H

_i分别表示

P, P

_i到底面的距离。显然,

P

_i的体积 坐标除



_i

 1

外,其余



_j

 0

且有

4

1

3 2

1

      



(12) [型函数]



_i

( p )

就是体积坐标



_i(i=1,2,3,4),它们与直角坐标 之间的线性关系式为

4 4 3 3 2 2 1

1

x x x x

x        

(13) [坐标变换及其雅可比式] 假定



₁

, 

₂

, 

₃为独立变量,则由上(12),(13)得

 







 













 







 









 







 







4 4 4

34 34 34

24 24 24

14 14 14

3 2 1

6 1

z z

y y

x x

Z Y X

Z Y X

Z Y X

 V





式中

4 4

4 4 4

k j

k j

i

z z

y

X  y

，

4 4

4 4 4

k j

k j

i

x x

z

Y  z

，

4 4

4 4 4

k j

k j

i

y y

x Z  x

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

34 24 14

34 24 14

34 24 14

1 1 1 1

6 1 6

1

z z z z

y y y y

x x x x z

z z

y y y

x x x

V 





其绝对值等于单元体积

V

即

V  V

。 雅可比式（即变换矩阵的行列式）为

V z

z z

y y y

x x x z

y

J x 6

) , , (

) , , (

34 24 14

34 24 14

34 24 14

3 2 1



 

 







逆变换矩阵为

 







 









 

 

 







 

 

 

















 









 











34 34 34

24 24 24

14 14 14

3 3 3

2 2 2

1 1 1

6 1

Z Y X

Z Y X

Z Y X V z

y x

z y x

z y x



















[线性插值函数]















⁴

1

4 4 3 3 2 2 1 1 i

i i

e

u u u u u

u     

由(12),(13)可直接求得

 

 





 

 





 

 





 

 























 

 





 

 







 

 





 

 





z y x

Z Y

X V

Z Y

X V

Z Y

X V

Z Y

X V

V

1

6 1

4 4

4 123

3 3

3 412

2 2

2 341

1 1

1 234

4 3 2 1

4 3 2 1

















等式右端系数矩阵各元素可循环定义如下：





4 3 2

4 3 2 1 4

3 2

4 3 2 1

4 3 2

4 3 2 1

1 1 1

, 1 1 1

1 1 1

,

y y y

x x x Z x

x x

z z z Y

z z z

y y y X z

z z

y y y

x x x V

k j i

k j i

k j i ijk









实际上不难看出

V

₂₃₄

 x

₄

X

₁₄

 y

₄

Y

₁₄

 z

₄

Z

₁₄，

X

₁

 X

₁₄

, Y

₁

 Y

₁₄

, Z

₁

 Z

₁₄,…，只不过这里用三阶 行列式代替

X

i4等二阶行列式，便于循环定义,结果还是一致的。

六、 六面体单元

[三向距离坐标] 设六面体的顶点为

P

_i(i=1,2,…,8)(图

19.5)。利用双向距离坐标,先把四

边形

P

₁

P

₂

P

₃

P

₄变换到局部坐标系(ξ ,η ,ζ )的坐标面ζ

=0

上的单位正方形(0≤ ξ ≤

1,0≤

η ≤

1);

再在

P

₁

P

₅线段上定义距离坐标,并取作(1-ζ ,ζ ),

P

₁

, P

₅的ζ 分别为

0

与

1。现在又对四边形

8 7 6

5 利用双向距离坐标,把它变换到坐标面ζ 上的单位正方形(0≤ ξ ≤

1,0≤

η ≤

1)。这

就在四边形

P

₁

P

₂

P

₃

P

₄与

P

₅

P

₆

P

₇

P

₈分别同ζ

=0

与ζ

=1

上的单位正方形各点间建立一一对应。最 后把上下四边形具同样局部坐标(ξ ,η )的点联成线段,并沿

P

₁

P

₅方向(由下而上)定义距离坐标 (1-ζ ,ζ )。于是该线段上任意一点

P

的局部坐标可取为(ξ ,η ,ζ )。这样,直角坐标系中的任意 六面体单元与局部坐标系中的单位立方体(0≤ ξ ≤

1,0≤

η ≤

1,0≤

ζ ≤

1)之间就建立了一一

对应。

[型函数] 对于单位立方体，利用节点的对称性得出型函数为

)

1 )(

1 )(

1

1

(   

    



₅

 ( 1   )( 1   )  )

1 )(

1

2

 (  

   



₆

  ( 1   )  )

1

3

 ( 

  



₇

 



₄

 ( 1   )  ( 1   )



₈

 ( 1   ) 

由于顶点

P

_i的局部坐标

( 

_i

, 

_i

, 

_i

)

取值为

1

或

0, 

_i可统一写成

) 1 )(

1 )(

1 (

) 1 ( ) , ,

(  

^{1  }



_i

 

_i

 

_i



i

i i

i

     









^{  } （i=1,2,…,8）

它是三线性的,即对ξ 或η 或ζ 都是线性的。

[坐标变换及其雅可比式]

































⁸

1 1 8

1

) 1 )(

1 )(

1 (

) 1 (

i

i i i

i i

i

i

x x

x 

^{i i i}

     

同



_i一样,它是三线性的。这表明六面体的棱边应是直线段。

雅可比式（即变换矩阵的行列式）为





































 

 

8

1 8

1 8

1

8

1 8

1 8

1

8

1 8

1 8

1

) , , (

) , , (

i i i i

i i i

i i

i i i i

i i i

i i

i i i i

i i i

i i

z z

z

y y

y

x x

x z

y J x

























式中

) 1 )(

1 (

) 1

( 

¹

   



^{  } _{i i}

i

i i

i

   



^{  }

) 1 )(

1 (

) 1

( 

¹

   



^{  } _{i i}

i

i i

i

   



^{  }

) 1 )(

1 (

) 1

( 

¹

   



^{  } _{i i}

i

i i

i

   



^{  }

变换矩阵也可写成

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 

















































































 







 









 

 

 







 

 

 

















 









 

















































































































) 1 ( )

1 (

) 1 ( )

1 (

) 1 )(

1 ( ) 1 ( )

1 (

) 1 ( )

1 )(

1 ( ) 1 (

) 1 ( )

1 (

) 1 ( )

1 ( )

1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1 (

...

...

...

8 2

1

8 2

1

8 2

1

z z

z

y y

y

x x

x

z z z

y y y

x x x

从上式看出变换矩阵各行关于ξ ,η ,ζ 的二次项系数是相同的,记

8 7 6 5 4 3 2 1 8

1 1

0

( 1 ) x x x x x x x x x

X

i

i

i i

i

        



 







  

32 14 34 12 4 3 2 1

1

x x x x x x x x

X        

62 15 65 12 6 5 2 1

2

x x x x x x x x

X        

84 15 85 14 8 5 4 1

3

x x x x x x x x

X        

对

y

_i

, z

_i也有相应的记号

Y

₀

, Y

₁

, Y

₂

, Y

₃

, Z

₀

, Z

₁

, Z

₂

, Z

₃,则变换矩阵可写成

 







 





























































51 3 2 0

41 1 3 0

21 2 1 0

51 3 2 0

41 1 3 0

21 2

1 0

51 3 2 0

41 1 3 0

21 2

1 0

z Z Z Z

z Z Z Z

z Z Z Z

y Y Y Y

y Y Y Y

y Y Y Y

x X X X

x X X X

x X X X























































其行列式是ξ ,η ,ζ 的四次多项式,而且



²



²

, 

²



²

, 

²



²各项的系数为零。

[三线性插值函数]

































⁸

1 1 8

1

) 1 )(

1 )(

1 (

) 1 ( )

, , (

i

i i i

i i

i i

e

u u

u    

^{i i i}

     

七、 三棱柱单元

[局部坐标] 上、下底三角形可利用面积坐标,而沿高度方 向则利用距离坐标来构成局部坐标。设ξ ,η 取其第二、三面积 坐标,ζ 取第二距离坐标,于是直角坐标系中的三棱柱与局部坐 标系中的单位三棱柱(上下底是腰为

1

的等腰直角三角形,高为

6 5 4 6

1

3 2

1

) 1

(

) 1 ( ) 1 ( ) 1 )(

1 (

x x x

x x

x x

x

i i i





















































 



[型函数]

) 1 )(

1

1

(   

    



₄

 ( 1     )  )

1

2

 ( 

  



₅

 

) 1

3

 ( 

  



₆

 

由于顶点

P

_i的局部坐标

( 

_i

, 

_i

, 

_i

)

取值为

1

或

0, 

_i可统一写成

]

) 1 2 ( ) 1 2

(

) 1

][(

) 1 2 ( ) 1 [(

















































i i i

i

ii i i

i i

(i=1,2,…,6）

[坐标变换及其雅可比式]

变换矩阵为

 

 

 

 





 

 

 

 





























 







 









 

 

 





 

 

 





 

 

  









  

 

 



















































0

0 1 1

0

0 1

1 1

1

6 2

1

6 2

1

6 2

1

z z

z

y y

y

x x

x

z z z

y y y

x x x







雅可比式为

41 2 1 31 2 21 1

41 2

1 31 2

21 1

41 2 1 31 2 21 1

) , , (

) , , (

z Z Z z Z z Z

y Y Y y Y y Y

x X X x X x z X

y J x

























 

 































式中

X

₁

 x

₁

 x

₂

 x

₄

 x

₅

, X

₂

 x

₁

 x

₃

 x

₄

 x

₆ 其余的

Y

₁

, Y

₂

, Z

₁

, Z

₂可类似定义。

八、 基本单元的特点

综合上述，可知基本单元具有以下特点：

1° 基本单元形态简洁,因而得到广泛的应用。坐标变换与插值的表达式都是线性(包括双 线性、三线性)的,并具有同样的模式。两个相邻的基本单元在公共边界上是相容的,即保持连 续性。

2° 在单元分析中通常是把对(x,y,z)所作的微分与积分运算改用局部坐标来进行,这就需 要用到变换矩阵及雅可比式

J。除六面体单元外,其表达式比较简单。如果六面体的形状单纯,

例如常用一系列平行于直角坐标的正六面体为单元,则其坐标变换退化为线性的,变换矩阵也 很简单。

3° 在选取单元的形状时,为了减少插值误差,三边形或四面体单元不能取得太尖或太扁;

四边形或六面体单元应当取凸的,而且不能太尖或太扁。

4° 基本单元的局部坐标系是通过内在的度量比坐标来构成的,与直角坐标系之间的对应

关系是借助型函数直接表示出来。由于在局部坐标系中单元是规则的,型函数容易构成,因此这 种方法不但对基本单元行之有效,还可以推广到其他类型的单元(参看后两节)。