§2.3初等函数

1 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

§2.3 初等函数

一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四、三角函数 五、反三角函数

六、双曲函数与反双曲函数

2 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们

两者是一样的。

§2.3 初等函数

的定义方式尽可能保持一致。

本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：

映射关系等等。

定义、定义域、运算法则、连续性、解析性、单值性以及 特别是当自变量取实值时，

特别要注意与实初等函数的区别。

3 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

一、指数函数

, y i x

z   w 

e

^x(cos y  isin y)

对于复数 称

定义 为指数函数 ,

记为 或^{w  expz} w 

e

^z.

注 (1) 指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数 都通过指数函数来定义。

(2) 借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆：

. ) sin

e

(cos

e e e

e

y i y

w  ^z  ^xiy  ^x ^iy  ^x 

(3) 但事实上，从定义本身来看， 应理解为仅仅是一种

e

^z

记号或者规定，仅仅作为代替 的符号使用。^expz

P41 定义

2.5

4 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

一、指数函数

性质 (1)

e

^z 是单值函数。

事实上，对于给定的复数 ^{z  x  i y,}

定义中的 均为单值函数

。

y

x, cos y, sin

e

事实上，在无穷远点有

(2)

e

^z 除无穷远点外，处处有定义。

当 时

，





 x

y 0,

e

^z  ;

当 时

，





 x

y 0,

e

^z  0.

(3)

e

^z  0. 因为

e

^x  0, cos y  isin y  0.

5 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

性质

.

2

e

^z1^z

 )]

sin(

)

[cos( _{1 2 1 2}

2

e

^x1 ^x y  y  i y  y

 ^







e

^x1x2[(cos y₁ cos y₂ sin y₁ sin y₂) )]

sin cos

cos

(sin y_{1 2} y₁ y₂

i 

) sin

(cos )

sin

(cos _{1 1} ² _{2 2}

1 2

1

e e e

e

^z  ^z  ^x y  i y  ^x y  i y

事实上，由 有

, 1 2

sin 2

2 cos

e

^kπi  kπ  i kπ 

e

.

e e

e

^z2kπi  ^z  ^2kπi  ^z (6)

e

^z 是以 为周期的周期函数。2kπi

事实上，

一、指数函数

6 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

π y4

(w)

y (z)

x

w

y

ex

w 

e

z

Lnw z 

v

u (w)

一、指数函数

(6) 映射关系：

性质 由 w 

e

^z 

e

^x(cos y  i sin y) 

e

^x

e

^iy, 有

π y 2

由 z 的实部得到 w 的模；

由 z 的虚部得到 w 的辐角

。 ,

|

|w 

e

^x

, 2

Arg w  y  kπ

) , 2 , 1 , 0

(k    





x

z

y

7 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

二、对数函数

对数函数定义为指数函数的反函数。

. Ln z w 

记作

z

w  Ln  ln|z|  i Arg z 即

w  z

e

w  f (z)

满足方程 的函数 称为对数函数，

定义

计算 令 z  |z|

e

^iArgz  r

e

^i, w  u  i v, 由

e

^w  z, 有

e

^u

e

^iv  r 

e

^i,

,|

| ln

lnr z

u  

. Arg z v  



  由 z 的模得到 w 的实部

；由 z 的辐角得到 w 的虚部

。 ,

2 arg

|

|

ln z  i z  kπi

 ⁽k ^0,^1, ^2,^).

定义P43 2.6

8 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

二、对数函数

显然对数函数为多值函数。

主值 ( 枝 ) 称 ^{w  ln|z|  iarg z} 为 w  Ln z 的主值 ( 枝 ) ， .

ln z w 

记为

故有 ^{Ln z}  ^{ln z} ^{2kπi , (}k ^0,^1, ^2,^).

分支 ( 枝 )

特别地，当 时z  x  0 ,

的主值 就是实对数函数

。 z

Ln ln z  ln x

对于任意一个固定的 k ，称 为 的

i kπ z 2

ln  Ln z

一个分支 ( 枝 ) 。

, 2

arg

|

| ln

Ln z z i z kπi

w     ^{(k 0,1, 2,}_^).

9 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

二、对数函数

性质 (1) ^{w  Ln z} 在原点无定义，故它的定义域为 ^{z  0.}

(2) ^{Ln z}的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续；

z

ln 在除去原点及负实轴的平面内连续。

特别地，

注意到，函数 ^{arg z} 在原点及负实轴上不连续。

注意到，函数 ^{arg z} 在原点无定义；

.

e

^w  0 或者指数函数

10 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

w w

z z

) (

1 d

ln d

e

^

由反函数求导法则可得  1 1 .

e

^{w  z}



进一步有 z

i kπ z

z z

d

) 2

ln d(

d Ln

d   1 .

d ln d

z z

z 



( 在集合意义下 )

二、对数函数

性质 (3) ^{Ln z}的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析；

z

ln 在除去原点及负实轴的平面内解析。

特别地，

11 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

主值 .

) 2 (

ln π i

i  



解 (1) Ln(i)  ln| i|  iarg(i)  2kπi i

π π k

i 2

1 2

ln 

(



)



 2 ,

2 i kπi π 





i π k i

i i

i) ln|1 | arg(1 ) 2 1

(

Ln      

(2)

, 4 2

2

ln ^{ i}

(

^π

)

^{ kπi}



主值 .

2 4 ln )

1 (

ln  i   i

(

^π

)

12 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

; ) 1 2

( k  πi



解 Ln(1)  ln|1|  i arg(1)  2kπi

主值 ln(1)  πi .

i π k π

i 2

1

ln  



求对数 以及它的主值。^Ln(1) 例

▲

可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。

P43 例 2.11

13 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

解 Ln 2  ln|2|  i arg2  2kπi 主值 ln 2  ln 2.

; 2

2

ln  kπi

 求对数 以及它的主值。^Ln2 例

▲

在实数范围内 在复数范围内

可见，当z 为正实数时， 与实对数函数是一致的

。

z ln

14 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

. ln

)

(z z²

g 

例 求下列函数的导数。

; ) 1

( ln )

(z z

f   (2)

(1)

解 ,

1 ) 1

(z z

f    (1)

2 , 1 2

)

( ₂

z z z z

g   

(2)

其中， z  D1 ( 如图 ) 。

其中， z  D2 ( 如图 ) 。

1

D1

D2

15 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

三、幂函数

称为复变量 z 的幂函数。

还规定：当  为正实数，且 时， z  0 z^  0.

( 为复常数， ) z

w  ^z 

e

^Lnz

定义 函数 规定为  z  0

注意 上面利用指数函数以一种“规定”的方式定义了幂函数，

但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数，

e.

Ln e

Ln

e

e

e

^z  ^z ? ^z

即

P45 定义

2.7

16 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

讨论

此时， 处处解析，且z^ (z^ )  z^1.

当 为正整数时 , zⁿ 

e

^nLnz 

e

^nlnz . ( 单值 ) (1)

此时， 除原点外处处解析，且z^ (z^ )   z^1. 当 为负整数时 , ^{n 1}_n ^.

z^  z

(2) ( 单值 )

当 时  0 , ^{z0  1.} (3)

三、幂函数

17 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

讨论

其中， m 与 n 为互质的整数，且 n  1.

(5) 当 为无理数或复数 ( ) 时， Im  0 当 为有理数时 ,

(4) ^{n n m} .

m

z

z  ( n 值 )

此时， 除原点与负实轴外处处解析，z^

一般为无穷多值。

此时， 除原点与负实轴外处处解析。z^ .

)

(z^    z^1 且

三、幂函数

18 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

解 iⁱ 

e

^iLni 

e

^{i( 2 i2kπi)}



. ) , 2 , 1 , 0

(k    

),

( 2

e

^ 2 ^{ kπ}





可见， 是正实数，它的主值是ⁱⁱ

e

² .

 

例 求 的值。iⁱ

. ) , 2 , 1 , 0

(k    

, ) 2

2 ( sin )

2 2 (

cos kπ  i kπ



i π k 2

e

2



]

[0 (0 2 )

e

2 ^{i  k}

 求 的值。1 ² 例

1 Ln 2

2

e

1 

解

可见，不要想当然地认为^{1  1.}

P46

19 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

四、三角函数

启示 由欧拉公式

e

^i  cos  i sin , 有

e

^i  ^cos  i ^sin ^, ,

) 2 (

cos  1

e

^i 

e

^i

 ( ).

2

sin 1

e

^i

e

^i

i

 



余弦函数 ^{( );}

2

cos z  1

e

^iz 

e

^iz

正弦函数 ^{( ).}

2

sin 1

e

^iz

e

^iz

z  i  ^

定义

P47 定义

2.8

20 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

四、三角函数

性质 周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样；

各种三角公式以及求导公式可以照搬；

有界性 ( 即 ) 不成 立。

1

| cos

| , 1

| cos

| z  z 

( 略 )

21 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

i i

i i

i i

) 2 2 1 sin(

) 2 1 ( )

2 1

(

e

e

^  ^{ }





. 1 2 cos

1 2 sin

2 2

2

2

e e e

e

^  ^

 

 i

. cosi 例 求

cos

e

ⁱⁱ 2

e

ⁱⁱ

i

 

根据定义，有 

解 .

2

e e

¹ 

 ^ .

) 2 1

sin(  i 例 求

根据定义，有 解

i

i i

2

) 1 sin 1

(cos )

1 sin 1

(cos ²

2

e

e

  

 ^

22 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

五、反三角函数

记为 ^{w  Arccos z .} 如果

定义 ^{cosw  z ,} 则称 w 为复变量 z 的反余弦函数，

,

2 1

e

  

 ^iw z z

, 0 1

2 )

(

e

^{2 }

e

^{ }

 ^iw z ^iw

  iw  Ln

(

z  z² 1

)

, .

1 Ln

cos

Arc  

(

 ² 

)



 w z i z z

计算 ( ),

2

cos ^w 1

e

^iw

e

^iw

z    ^

由

同理可得

. 2 Ln

tan

Arc i z

z i z i



 

; 1

Ln sin

Arc z  i

(

iz   z²

)

P49 定义

2.9

23 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

六、双曲函数与反双曲函数

ch ; th sh

z z  z

双曲正切函数

sh . coth ch

z z  z

双曲余切函数

; ) 2(

sh z  1

e

^z 

e

^z

双曲正弦函数 定义

双曲余弦函数 ^{( );} 2

ch z  1

e

^z 

e

^z

P49 定义

2.10

24 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

六、双曲函数与反双曲函数

反双曲正切函数 ;

1 Ln1 2 Arth 1

z z z



 

反双曲余弦函数 Archz  Ln

(

z  z² 1

)

; 反双曲正弦函数

定义 Arshz  Ln

(

z  z²  1

)

;

反双曲余切函数 .

1 Ln 1

2 Arcoth 1



 

z z z

P50

25 第

二 章 解 析 函 数

§2.3 初等函数

休息一下 ……