4 数论函数

§4 数论函数

对任一正整数n有确定值的函数f(n)称为数论函数.

[积性函数与完全积性函数] 若(m,n)=1,有f(mn)=f(m)f(n),则称数论函数f(n)为积性函数.若对任

意正整数m,n都有f(mn)=f(m)f(n),则称f(n)为完全积性函数.

积性函数具有下列性质:

1 若f(n)为非零积性函数,则f(1)=1.

2 若g(n),h(n)都为积性函数,则g(n)h(n)仍为积性函数.且

     

f n g d h n

d g n

d h d

d n d n

 

 

  

 







也为积性函数,这里是对n的所有不同因数d求和.

3 若g(n)为非零积性函数,且n p₁^a1p_s^as,则

           

f n g d g p_i g p_i g p_i^a

i s

d n

      i







^{1 2}

1



也为积性函数.

4 若f(n)为积性函数,则

f([m,n])f((m,n))=f(m)f(n) 式中(m,n)为m,n的最大公因数,[m,n]为m,n的最小公倍数.

[麦比乌斯函数] 函数

   







 

为一素数平方所整除 当

个不同素数之积 为

当 当

n r n n

n ^r

, 0

, 1

1 , =

1



称为麦比乌斯函数.

麦比乌斯函数具有下列性质:

1

  







 

n

d n

n n

, 1 0

, 1 1

当

 当

2 μ (n)为积性函数,但非完全积性函数.

3 设n p₁^a1p_s^as,若f(n)为积性函数,则

   

 d f d

d n



^



^

^{ } 



 ¹ 1

f p_i

i s

也为积性函数.例如



 

d d

d n



^

^

¹

^

1





 ^pi i

s



 

d d^

d n



^

^

¹

^

1





 ^{p i} i

s 

  











 



 



 



 n

d

s

i i

p n

n=

d d

1 1 ,

1

1 ,

1

1

当

 当

  











 



 



 



 n

d

s

i i

p n

n=

d d

1 1 ,

1

1 ,

1

1

当 当







[欧拉函数] 设n为自然数,(n)为不超过n且与n互素的正整数的个数,称为欧拉函数.

欧拉函数具有下列性质:

1  (n)为积性函数,但非完全积性函数.

2 若n p₁^a1p_s^as,则

 

   

 

 n n

p n

p p p p

p p

i i s

s

s

i i

s

i a

i a i

s

i i

  

 



 



 













^

1 1

1 1

1

1 2 1

1

1



特别,当p为素数时,

       

 p^a  p^a  p^a1,  p  p 1,  2p^a  p^a 3 

 

d n

d n



^

4

   

 

n n d

d n d





[除数函数] 自然数n的全部因数的个数称为除数函数,记作d(n).除数函数具有下列性质:

1 d(n) 为积性函数,但非完全积性函数,对任意自然数m,n,常有

     

d mn d m d n 2 若n p₁^a1p_s^as,则

   

d n a

d n

i i

s



 

 



1 1

1

[冯·曼哥特函数] 函数

(n)   

 否则

当 , 0

0 , ,

logp n p^m m

称为冯·曼哥特函数.(n)非积性函数.

[麦比乌斯反转公式与麦比乌斯变换]

1 反转公式一 设0₀ ₁,又设 h(k)为一非零完全积性函数.若对所有适合于₀ ₁

的常有

    ^{ }

g f k h k

k

 







 



1 ¹

则对上述也常有

       

f k g k h k

k

  







 



1 ¹

反之也真.

2 反转公式二 设₀ 1,又设 H(k)为一非零完全积性函数.若对所有适合于1  ₀的常

有

  ^{ }

G F

k H k

k

 



 

 

 





1

则对上述也常有

     

F k G

k H k

k

  



 

 

 





1

反之也真.

3 反转公式三 设n₀为一正整数, 又设h(k)为一非零完全积性函数.若对所有nn₀常有

   

g n f d h n

d n d

 

 



  ^{f n}_d ^{h d}

^{ }

d n



 





则对上述n也常有

     

f n d g n

d h d

d n

 

 



^ 

反之也真.

4 麦比乌斯变换 设n为正整数,若

   

g n f d

d n





 ^{f n}_d

d n



 





则

   

f n d g n

d n d

 

 



^   ^ _d^{n g d}

^{ }

d n

 





g(n)称为f(n)的麦比乌斯变换,f(n)称为g(n)的麦比乌斯逆变换.

5 乘积麦比乌斯变换 设n为正整数,若

   

g n f d

d n





则 f n

 

g d

 

n d d n





^{ }

g(n)称为f(n)的乘积麦比乌斯变换,f(n)称为g(n)的乘积麦比乌斯逆变换.

[麦比乌斯变换表]

g n

 

f d

 

d n





f n

   

d g n

d n d

 

 



^ 

g(n) f(n)



 

n 

 

n d(n)

1 1

0 1

, ,

n n







 

 

n

1 ^{1 1}

0 1

, ,

n n









d(n) 1



 

n 

 

n p

p n p





²₁

n 

 

n

n^{  }

d

d n d n

 , 





1

d

d n



_n



n d

d^

n^ 1

n

1

n

 

^1p



p n

(n) -

 

n logn

logn (n)