台北市立建國高級中學第八十五期通訊解題解答與評析
設二次曲線y x 2ax b 與x軸交於( ,0),( ,0)m n ，其中m n, 為相異整數，若該 曲線通過點(1, 2011) ，試求數對( , )a b 。
【簡答】(2008, 4020) 或( 2012,0)
【分析】由題目的序數可以得知以下的一些性質：
(1) 二次曲線y x 2ax b 通過( ,0),( ,0),(1, 2011)m n 三個點。
(2) m n, 是方程式x2ax b 0的兩根，因此可得：
(i) x2ax b (x m x n )( ) (ii) m n a mn b,
【解答】(1) 不失一般性，假設m n 且yx2ax b (x m x n )( ) (2) 因為曲線通過(1, 2011) ，所以(1m)(1n) 2011 又1 n 1 m、m n, 為相異整數，且2011為質數
因此 1 2011
1 1
m n
或 1 1
1 2011
m n
解得( , ) ( 2010, 2)m n 或(0, 2012) (3) (i)當( , ) ( 2010, 2)m n 時，
( 2010)( 2)
y x x x22008x4020，即( , ) (2008, 4020)a b (ii)當( , ) (0, 2012)m n 時，
( 0)( 2012)
y x x x22012x，即( , ) ( 2012,0)a b 因此數對( , )a b (2008, 4020) 或( 2012,0) 。
【評析】
本題需要用到二次函數的因式分解概念，或者使用二次方程式的根與係數關 係。另外還要知道2011是質數，並且將兩整數進行因數分解。
徵答人數共19人：
滿分7分：
新北市新店國小黃毅、高雄市國昌中學吳邦誠、新北市義學國中黃昕偉、
新北市義學國中李明修、新北市碧華國中陳建勳、台北市介壽中學張建勳、
新北市江翠國中陳婕云、新北市蘆洲國中謝耀慶、台北市延平國中郭子生、
苗栗縣建臺中學彭劉健臺、新北市光復國中王永光、台北市民生國中李寬、
台北市民生國中張若愚、台北市民生國中林沿丞、台北市北投國中吳博生、
台中市光榮國中黃冠綸、
8501
其中新北市新店國小黃毅還證明了根與係數關係、2011是質數，更難能可貴 的是該生使用電腦排版，相當有條理地完成這次的作答，這樣的精神實在值 得肯定與鼓勵!
得3分：
新北市溪崑國中陳佳佑(該生因正負號計算錯誤，導致無法全對) 台北市敦化國中王世欣(該生因題目誤植為(1, 2011)，導致無法全對)
得1分：
台北市延平中學鄭之頎
因未使用通過(1, 2011) 的條件，所以誤判為無限多組解。
給定y軸上的一點A(0, a), (a＞1)，對於曲線y＝ 12x2 1上的動點M(x,y)，試 求A、M兩點之間距離AM 的最小值(用a表示)。
【簡答】AM 的最小值＝
4 , 1 2
4 1
, 1
a a
a a
【解答】
如圖，易求得曲線上諸點的座標為：E( 2,0)，F( 2,0)，D(0,1)，當x2＜ 2，即 2x 2時，曲線方程為y＝1－
2 x2 …(1)
而當x22時，即x 2或x 2時，曲線方程為y＝ 1 2
2
x …(2)
對於情形(1)，即當 2x 2時，顯然M為(0,1)時，AM 有最小值為a－
1；對於情形(2)，即當x 2或x 2時，設點M(x, 1
2
2
x )，由於
AM2= x2 + 2 1 )2
(x2 a = ( 2 2 )2 4
1 x a +2a+1
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因a＞1，則2a＞2， 2a＞ 2 ，於是，當x＝ 2a 時，AM 有最小值
1
2a ；再比較a－1與 2a1， (a－1)2－(2a＋1)=a(a－4)，
則當1＜a4時，(a1) 2a1，即最小值為a－
1；
而當a＞4時，(a1) 2a1，則最小值為 2a1
所以AM 的最小值＝
4 , 1 2
4 1
, 1
a a
a
a 。
【評析】
1.此題主要數學觀念是絕對值、二次函數的圖形、以及配方法求最小值，並且 能加以討論比較兩數的大小。
2.此題，大部分同學的作答很好，可見同學在這方面的能力佳。
3.必須一提的是，當x 2或x 2，AM 有最小值時，此時M點坐標為
( 2a,a1)，而不是在( 2a2,a)，如下圖所示的AM 並不是最小值。
4.欣賞一下此題的特例情形：當a＝4時，
如下圖所示，A(0, 4)，D(0, 1)，M(2 2,3)，且AD＝AM
5.本題參與徵答人數有8人，分數如下：
得7分者，3人：
臺北市民生國中蔡孟修 臺北市民生國中李寬 高雄市國昌國中吳邦誠 得6分者，2人：
臺北市介壽國中張建勳 苗栗縣建臺國中彭劉建臺 得5分者，1人：
臺北市民生國中張若愚 得2分者，2人：
臺北市敦化國中王士欣 臺北市北投國中吳博生
T
B H
A
S C
在ABC中，AB AC，AT 是BAC的平分線，在BC上有一點S，使
TC
BS ，求證：AS2AT2 (ABAC)2。
【解答】
作邊上的高，則有
AS2AT 2=(2+2)(2+2) (畢氏定理)
=22 (消去2)
=()(+) (因式分解)
=(+) (和差變換)
=(BH HC )
=(BT TC)(BH HC ) (和差變換)……(1)
∵平分BAC，故有
AB BT =
AC TC =
AC AB
TC BT
=
AC AB
TC BT
=
∴BT TC =(ABAC)……(2) 由(1)(2)知
AS2AT 2=(ABAC )(BH HC )
∵(BH HC )=(BH HC )=
===ABAC
∴AS2AT 2 =(ABAC )(ABAC)=(ABAC)2。
【解題重點】
本題我們提供的解法，是利用畢氏定理、內角平分線性質及和差變換解題。
來函徵答的同學有的用量化的方法、有的用三角函數的方法、也有人用三角 函數導出的特殊定理解題。為了強化同學們的幾何解題能力，我們比較鼓勵 同學們朝純幾何思維的方向思考。
【評析】
本題徵答人數4人，其中得7分者有4位同學：
台北市民生國中8年7班李寬同學、台北市民生國中9年5班張若愚同學、
台北市介壽國中9年3班張建勳同學、高雄市國昌國中8年5班吳邦誠同學。
已知7個正六邊形中的每個都塗有黑白兩色之一(如圖所示)，每一步操作都可 以隨意選定一個正六邊形，並將它以及與它相鄰的所有正六邊形同時改塗成 另一種顏色(即黑改白、白改黑)。求證：在對圖(a)進行若干步改塗後，
(1)有可能得到如圖(b)所示的塗色方式。
(2)不可能得到如圖(c)所示的塗色方式。
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(a) (b) (c)
【解答】
(1)將7個正六邊形分別標上字母如下圖所示，
依序塗E(F,G,D跟著變色)及B(A,G,C跟著變色)即可，
如下圖(d)
(e)
(f)，即可由圖(a)得到圖(b)所示的塗色方式。(d) (e) (f)
(2)在塗白色的正六邊形中寫上1，塗黑色的正六邊形中寫上1。題中所規
定的每步操作，相當於將涉及到的正六邊形中的數同時乘以1。容易看出，
在任何操作之下，4個正六邊形A, C, D, F中所寫數的乘積都不改變，因此 總為1。但因圖(c)中這4個數之積為1，所以無論怎樣操作和操作多少次 都不能得到圖(c)所示的塗色方式。
【評析】
本題新北市蘆洲國中謝耀慶同學及新北市光復國中王永光同學，兩位作答較 為完整，證明過程論理清楚。其餘台北市介壽國中張建勳同學、新北市碧華國 中陳建勳同學、高雄市國昌國中吳邦誠同學、新北市江翠國中廖學儒同學、台 北市敦化國中王士欣同學等回答不夠完整，或討論不夠清楚，有所遺漏，實 為可惜。
x
的方程式3x32ax2 bx70，當常數a,b是正整數時，x
有正整數解，8505
求 a,b 之值為？
【簡答】a1,b2
【解答】
設
m
為其正整數解，則2am2 bm73m3， 若m22am2bm0不合。故m132ab702ab4a1,b2。
【評析】
本題只需對正整數的特性有一定的了解，再加上對不定方程式自然數解的概 念。只要同學動手嘗試，幾無做不出來之理。
本題有23人參與徵答，全數都得到7分滿分。計有：
苗栗建臺完全中學 彭劉建臺同學 台北市延平國中 郭子生同學 新北市蘆洲國中 謝耀慶同學
新北市江翠國中 陳柏廷同學、陳婕云同學、廖學儒同學 台北市介壽國中 張建勳同學
高雄市國昌完全中學 吳邦誠同學
台北市景興國中 張右澄同學、黃世良同學、黃子宸同學、鄭庭謙同學、林慈 恩同學、李政諭同學
雲林 崙背國中 鍾宜廷同學 台北市敦化國中 王士欣同學 台中市光榮國中 黃冠綸同學 新北市溪崑國中 陳佳佑同學
台北市民生國中 張若愚同學、蔡孟修同學、林沿丞同學 新北市光復國中 王永光同學
特別讚賞：
新北市新店國小黃毅同學以小六之姿，論理清楚不輸國中的大哥哥、大姐姐，
值得鼓勵。
