臺 北 市 立 建 國 高 級 中 學 暑 假 作 業
壹、前言
數學，在許多人腦中，往往會聯想到數也數不清的考試，聯想到各種代數、幾何、機率等 等的難題，聯想到許多百思不得其解的痛苦回憶。但如果，數學脫離了課本，走進我們的生 活，又會是什麼樣子呢？
書名：數學的祕密生命：數學家與數學大鬥智的有趣故事，課本裡沒有教的50個數學大發 現
班級：一年二十一班 座號：30號
姓名：陳鎮宇
「數學的祕密生命」一書藉由9個章節，50個不一樣但同樣有趣的故事，帶領我走進一個 處處充滿數學的世界。方桌一定能在地面站穩而不搖晃？依愛因斯坦的公式就能快速登機？
當最聰明的電腦與最優秀的玩家下棋，誰會贏得勝利？各種有趣的問題，背後所隱含的數學 概念，皆值得我們深思。
因50個故事過多，以下只精選較有趣、較特別的主題做探討。
貳、內容精選
一、麥當勞v.s.肯德基 (節選自第8篇故事：郵票、銅板與麥克雞塊)
在這篇故事中，作者敘述了三個情境，並提出數學問題，事實上，這些問題的本質皆
相同，以下列點敘述：
1.郵票問題
在電子郵件出現以前，寄信經常是人與人之間溝通的管道，既然要寄信，就需要郵票。
假設現在有四種面額的郵票，分別是1、4、7、8分錢，而信封最多只能貼3張郵票，
顯然的，我們最多只能貼24分錢，而最少能貼1分錢，但郵票在幾分錢以下都能貼？
這個問題不難，因為事實上，1到24分錢皆有辦法在3張郵票內湊足，但只要這個問
題被放大，如果能貼10張郵票，那這個問題就會變得很可觀，就算用電腦計算，也相
當耗時。
2.銅板問題
銅板問題和郵票問題相近，但因為銅板不像郵票，有張數或枚數的問題，所以問問題的
方式便會相反。若有2種銅板，那在多少以上，所有的價格皆能被這2種銅板支付？在
這裡，我們可以先做一個分析：
(1)只要其中有一種銅板是1元，那答案就是1元以上。
(2)如果這兩種銅板的公因數不為1(兩者不互質)，那答案無解。舉個例子，如果這兩種
銅板分別是2元以及4元，那所有奇數價格皆無法被這兩種銅板支付。
(3)如果這兩種銅板的公因數為1(兩者互質)，那答案是什麼？
在這裡，書中很貼心的提供了解答的方法，如下：
假設這兩種銅板分別為A、B，且(A、B)=1，那在X元以上，這兩種銅板皆能支付，
三者滿足右列的關係式：X=A×B-A-B
舉例，若有兩種銅板分別為3元以及7元，那在11元以上，這兩種銅板皆能支付。
因為，3×7-3-7=11(元)
3.麥克雞塊問題
這個問題最生活化，也相當的有趣，事實上，這個問題與銅板問題相同，不過，銅板只 有兩種，而麥克雞塊的盒裝種類卻有好幾種。麥當勞的麥克雞塊有四種販售方法，分別 為4塊雞盒裝、6塊雞盒裝、9塊雞盒裝和20塊雞盒裝，一定有一個數字，無法用上述
四個數字組合出來，如5塊雞，請問，這個數字最大是多少？
看見這個問題，我真的去查了麥當勞的官網，的確，就如同問題所說的，麥當勞只賣這
四種盒裝的麥克雞塊。我也去查了肯德基的官網，他們有賣四種歡聚餐，分別為5塊雞
歡聚餐、8塊雞歡聚餐、10塊雞歡聚餐、14塊雞歡聚餐，就姑且只看雞塊的部分，我做
了下面的表格整理，見表一。(X表示無法組合)
品牌 數量
麥當勞 (4、6、9、20塊)
肯德基
(5、8、10、14塊)
1 X X
2 X X
3 X X
4 4 X
5 X 5
6 6 X
7 X X
8 X 8
9 9 X
10 4+6=10 10
11 X X
12 6+6=12 X
13 4+9=13 5+8=13
14 4+4+6=14 14
15 6+9=15 5+10=15
16 4+6+6=16 8+8=16
17 4+4+9=17 X
18 6+6+6=18 10+8=18
19 4+6+9=19 14+5=19
20 20 10+10=20
21 6+6+9=21 8+8+5=21
22 4+9+9=22 8+14=22
23 4+4+6+9=23 5+8+10=23
24 4+20=24 8+8+8=24
25 4+6+6+9=25 5+10+10=25
表一
由這張表格，我們可以發現：
(1)只要超過11塊雞塊，麥當勞皆有辦法進行組合，但肯德基卻要超過17塊雞塊才辦得到。
(2)因為肯德基歡聚餐的雞塊數(5、8、10、14)較麥當勞的盒裝雞塊數(4、6、9、20)集中，所 以
仔細看18塊雞塊到25塊雞塊可以發現，只要2到3組，肯德基就有辦法湊出所要的雞塊
數，但麥當勞卻需要4盒(23、25)才辦得到。
二、飛機場上的狂奔 (節選自第10篇故事：在走道上要用跑的或走的？)
在這篇故事中，作者敘述了兩個情境，並提出數學問題，以下列點敘述：
1.在飛機場上綁鞋帶
如果，你的飛機即將起飛，而你正在往登機門狂奔而去，不幸的是，你的鞋帶卻在這 時候掉了，通往登機門的路上有電動走道，且你必須在登機前綁好鞋帶。請問，該不 該在電動走道上綁鞋帶？
這個問題比較偏向邏輯思考的問題，作者做了一個很簡單的模擬，告訴我們正確答案，
但因為是純文字敘述，較不容易理解，因此，我將文字畫成示意圖，請見下圖一。
由以上的模擬圖以及文字說明，我們可以發現：
(1)選擇在電動走道上綁鞋帶比較有利，因為竹竿 人B較竹竿人A先到達登機門。
(2)在圖一的第五格中，A的確逐漸靠近B，但只
要A一下了電動走道，就再也無法接近B，因 為兩者保持相同的速度往登機門移動。
(3)一開始，A得先等到B向前走了一步，才能蹲下
開始綁鞋帶，這段走一步的時間差很小，可以忽略。
時間 A與B之
間 的距離
綁鞋 帶
電動 走道 上行 走
踏出 電動 走道 後
B 踏
出電 動走 道後 A 0
圖二 A
A B
A B
A B
A B
A B
圖一 模擬開始，A、B兩名竹竿人站在電動走道
前準備就緒，斜線部分為電動走道，而右 側方框為登機門。
接著，B向前走了一步踏上電動走道，兩 名竹竿人同時蹲下開始綁鞋帶。
A、B兩名竹竿人皆綁完鞋帶起立準備向前 走，但B因為在電動走道上綁鞋帶，此時 他已遠離A一段距離。
A、B兩名竹竿人皆在電動走道上，以相同 的速度向登機門移動，此時，B來到了電 動走道的尾端。
當B下了電動走道後，行進速度變慢，此 時A、B兩人逐漸靠近，但A也走到了電 動走道的尾端。
A、B兩名竹竿人等速向登機門移動，最終 結果是，B先到達，A後到達，模擬結束。
(4)右側的座標圖，可以清楚比較隨著時間推移，兩 人之間的距離變化。
2.在飛機場上奔跑
除了綁鞋帶外，還有一個有趣的問題。和上面問題的敘述相同，但這一次，鞋帶沒掉，
且還有剩餘的力氣足以衝刺一小段時間，請問，應不應該在電動走道上衝刺？
以下，我設定了一些數據帶進去運算，找出了這個問題的答案。
若在電動走道
上衝刺，硬地上走路，則所需要的時間為24÷(3＋1)+36÷2=6+18=24(秒) 若在電動走道上走路，硬地上衝刺，則所需要的時間為24÷(2＋1)＋
18÷2+18÷3=8+9+6=23(秒)
由以上的算式以及文字說明，我們可以發現：
(1)我們不應該在電動走道上衝刺，應該將體力留在硬地上衝刺。
(2)這個結果符合飛機場上旅客行走的現象：正常人在電動走道上走得較慢，以節省體力消 耗。
三、分財產的難題 (節選自第37篇故事：猶太經典是賽局理論先驅)
在這篇故事中，作者提到了特殊的分財產方法，以及方法背後的理由，以下列點敘述：
1.兩位債權人甲、乙分別被積欠300美元和200美元，但破產公司的全部資產指值350 美元，請問該如何分配財產？
按照現代法官的做法，方法如下：
債權人甲得到350×60％=210(美元)
60m 24m
A
圖三 假設電動走道長24公尺，硬地長36公尺
假設人走路的秒速為2公尺 電動走道的秒速為1公尺
人跑步的秒速為3公尺(只能衝刺6秒)
債權人乙得到350×40％=140(美元)
但依現代的賽局理論來思考，方法如下：
首先，就算乙全拿200美元，甲仍可以拿剩餘的150美元，甲應至少拿150美元
同理，就算甲全拿300美元，乙仍可以拿剩餘的50美元，乙應至少拿50美元
再來，剩餘的錢150美元平分給甲乙兩人
因此，債權人甲得到150+75=225(美元)
債權人乙得到50+75=125(美元)
由上述兩種方法，我們可以發現：
(1)兩種方法都很公平，但如果債權人希望拿越多錢越好，那甲應選擇依賽局理論的分配方
法，
乙應選擇依現代法官的分配方法。
2.上述皆是參考書中內容整理而成的，實際上，這個問題最古老的版本在《塔木得經》
中就有出現，但分財產的有三人。有個男人在遺囑中決定，甲乙丙三位太太應該分別
得到300、200、100蘇西(一種古猶太祭師貨幣單位)，然而，他過世時，發現原來這 個男人的全部財產只有200蘇西，這份遺產應該如何分配呢？
雖然書中只提供解答，沒有提供分配的方法，但按照上述賽局理論的分配方式，這個 問題並不難，方法如下：
第一步，將甲太太和乙太太視為同一組，總共想得到500蘇西
則，就算丙太太全拿100蘇西，甲乙太太仍可拿剩餘的100蘇西，他們拿走100蘇西
同理，甲乙太太總共要拿500蘇西，這個數目超過遺產，因此丙太太不能拿錢
再來，剩餘的錢100蘇西平分給甲乙太太和丙太太 因此，甲乙太太拿走100+50=150(蘇西)
丙太太拿走0+50=50(蘇西)
第二步，將甲太太和乙太太分開，他們要分配的錢為150蘇西
則，甲太太要拿300蘇西，這個數目超過要分配的錢150蘇西，因此甲太太不能拿錢
乙太太要拿200蘇西，這個數目超過要分配的錢150蘇西，因此乙太太不能拿錢
再來，所有的錢150蘇西平分給甲乙兩太太 因此，甲太太拿走0+75=75(蘇西)
乙太太拿走0+75=75(蘇西)
這個財產分配案，最終以甲乙兩太太各拿走75蘇西，丙太太拿走50蘇西結束。
由上述分財產的方式，我們可以發現：
(1)這種分法應該會讓丙太太最開心，她一開始只期望拿到全部財產的六分之一，但最終結 果，
卻讓她拿到全部的四分之一。
(2)這種分法應該會讓甲太太最不開心，她原本期望能拿到總財產的一半，但最終無法如願，
更意外的是，這種分法竟然導致甲乙兩太太所分配到的錢相同。
(3)按照現代法官分配的方法，甲太太可拿100蘇西，乙太太可拿約67蘇西，丙太太可拿
約
33蘇西，兩種分配方法對乙太太沒有太大的差別。
四、三等分真麻煩 (節選自第38篇故事：你的蛋糕比我大？)
小時候，兄弟(或姊妹)兩人為了分配蛋糕，一定有進行過「你切我選」的活動，對切的 人而言，要盡量讓切出來的兩塊蛋糕一模一樣大，而選的人，要選擇較大塊的蛋糕才 有利。兩等分很簡單，那三等分呢？作者提供了下列有趣的方法給大家參考，因為是 純文字敘述，較不容易理解，因此，我將文字畫成示意圖，請見下圖四。
由以上的示意圖以及文字說明，我們可以發現：
(1)這個分配蛋糕的方法看似麻煩，但極為有效，這個分配方法不但符合比例，且不會引起 任
一方的嫉妒。
五、補充 (延伸自第34篇故事：誰贏得井字遊戲？)
井字遊戲是大家耳熟能詳的紙筆遊戲，相信大家小時候一定玩過，但這個遊戲並沒有 什麼太大的趣味性，因為每次玩，我們都有辦法阻撓對方連成一線，導致遊戲以和局 收場，看完這篇故事後，讓我想到井字遊戲的變形版，以下內容皆沒有出現在書中，
純粹是對井字遊戲的變形、延伸詳加敘述，僅供參考。
甲乙丙三位小朋友要來分一塊蜂蜜蛋糕，首 先由甲將蛋糕切成三塊。
切完後，眼尖的乙發現第三塊蛋糕似乎偏大 了一點，因此，他從第三塊切了一小塊蛋糕。 在他的心裡面，第二塊和第三塊蛋糕一樣大。
接著，輪到丙選蛋糕，假設他選了第三塊蛋 糕
再來，輪到乙選蛋糕，假設他選了第二塊蛋 糕
最後，甲拿走第一塊蛋糕。
而剛剛乙切下來的一小塊蛋糕由甲來切三等 分，乙來切一小塊，丙來選，就這樣繼續切、 繼續分，永無止盡。
圖四
1 2 3
1 2 3
1 2 3
乙切一小塊
圖五是大家熟悉的井字遊戲，它們皆以和局收場：
井字棋遊戲的變形版和井字棋的規 則相同，但第七步(先方第四步)下完
後，必須把第一
步拿起，同理第八步(後方第四步)下完後，也要把第二步拿起，完成所有動作後，若連 成一線，則勝負揭曉，參考圖六：
由上面 的流程圖，
我要 說明與補充：
(1)我將先方設定為藍色(奇數)，後方設定為紅色(偶數)。
(2)注意看流程圖的第四格，當9放在正中央時，3必須從左下角拿起來，因此先方(藍色)還
沒
有獲勝。
(3)注意看流程圖的第五格，當4拿起來時，10放在右下角，這個遊戲不可以將數字重疊，
圖五
圖六
1 2
3 4
5
6 2
7
3 4
5 6
8 7
3 4
5 6
9 8 7
4 5
9 6 8 7 5
6
10 9
8 7 6
11 10
但
前提是一定要「先拿後放」。
(4)基本上這個遊戲只要雙方沒有下錯，就會不斷循環下去，沒有結果，但實際在玩時，因 為
要考慮到「拿走」這個原則，因此很容易出錯。
(5)如果覺得這樣難度仍不夠時，可以將數字變回最傳統的圈圈叉叉，不但考驗記憶力，更 考
驗自己的反應能力。
參、結語
其實，數學也是很有趣、很生活化的。看完這本書，讓我對周遭的人事物有了不一樣的看 法，有時候，看到習以為常的事物，或許是一個現象，或許是一個待解決的問題，停下來想 一想，也許就會有不一樣的想法在腦海中呈現。笛卡兒說：「我思故我在。」只要常常思考，
處處皆是數學！
肆、參考資料
一、金石堂網路書店：http://www.kingstone.com.tw/book/book_page.asp?
kmcode=2013100079577
二、麥當勞官網：http://www.mcdonalds.com.tw/m/index.php 三、肯德基官網：http://www.kfcclub.com.tw/
四、井字棋：http://zh.wikipedia.org/wiki/井字棋
