遞迴方法
曾俊雄／建國高中
前言：
95 學年度普通高級中學數學課程綱要中，『遞迴關係』將從現行的數列級數單元(第 一學年第三章)移往排列組合單元(第二學年第五章)。為因應這樣的變化，許多老師 關心用什麼例子引入遞迴關係？在此提供筆者編寫給建中數理資優班有關『遞迴方 法』這一單元的上課講義與大家分享。
內容大綱為：
第一節 遞迴方法簡介
第二節 簡易遞迴數列的解法 第三節 生成函數解法
第一節 遞迴方法簡介：
一、遞迴方法的介紹
某些與自然數有關的問題，往往隱含固定的規律，處理這一類的問題通常分成三個步驟：
(1) 依據題設條件構造一個數列 an
(2) 建立相鄰項間的遞迴關係(亦稱為遞迴方程式) (3) 解遞迴方程式，求出一般項an (用n表示)
此種處理問題的方法叫做遞迴方法。簡單的說：遞迴方法就是構造遞推式的解題法。
我們先透過有趣的問題來引介 (1) 如何構造一個數列 an (2) 如何建立遞迴關係式
至於如何求解“遞迴數列“？較簡單的，可用 觀察 歸納 猜想 證明
的模式去處理。一般遞迴數列的解法將安排在第二節以後陸續介紹。
[例題1]用12的拼片(可橫放或直放) 拼2n的棋盤，假設拼好2n的棋盤，有an種方法。
(1)試建立an遞迴關係式。
(2) 用12的拼片(可橫放或直放) 拼210的棋盤的方法有幾種？
[解答]：
(1)我們從左上角開始拼，假設拼好2n的棋盤，有an種方法。
第一塊可以放直的或是橫的。
設第一塊是放直的，則剩下是2(n1)的棋盤，有an1種方法。
若第一塊是放橫的，則下方一塊勢必也是要橫的﹔此時剩下是2(n2)的棋盤，有an2 種方法。
因此得到的遞迴關係式為 an an1an2，nN 。 (2)由an的意義知a1 1,a2 2。可推得a10 = 89
[練習題]
一至二樓有8級樓梯，某人上樓，每次可跨1級或2級，假設爬n級樓梯的方法有an種方法。
(1)試建立an遞迴關係式。
(2)不同上樓的方法有 種。
【解答】(1)an an1an2，nN 。(2)34 [例題2](兔子問題)
義大利數學家費布納西(Fibonacci,1170~1250)曾經提出一個有趣的問題：一對兔子出生後，
兩個月就能生小兔子，以後每個月都恰好生一對小兔子(一雌一雄)，開始時假如養了初生的 小兔子一對，試問一年後共有幾對兔子？(假設生下的兔子都不會死)
[解答]：
(1)構造數列<Fn>，設經過n個月後兔子的數目有Fn對。列表計算並仔細觀察、歸納：
第n個月 一 二 三 四 五 六 七 八 … 大兔對數 1 1 1 1 2 3 5 8
小兔對數 0 0 1 2 3 5 8 13 總對數Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 說明：能生小兔的稱為大兔。
(2)建立遞迴關係式：
n個月後兔子的數目有Fn對是由兩部分構成：
第n1個月開始時的兔子對數Fn1，
第n2個月開始時的兔子對數Fn2。
¤j
¤j
¤j
¤p
¤j
¤p
¤p ¤p
¤p
¤p
¤p
¤p
1 1 2 3 5 ….
所以Fn Fn1Fn2，(n3)
(3)由
n n
n F F
F
F F
1 2
2
1 1
,可推得數列<Fn>：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
,
所以 F12 = 144。(註)Fn的一般項表達式將在第二節介紹。
棣美弗(de Moivre.法1667-1754)給出<Fn>的一般項表達式：
Fn = [()n()n]。
而數列<Fn>:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,………稱為費氏數列。
[練習題]
試用(第二)數學歸納法原理證明：Fn = [()n()n] 對一切自然數n都成立。
[例題3](河內塔問題)
相傳在創世紀時代，河內(Hanoi)的一座寺廟裡豎立者三根銀棒，有六十四個大小都不同的金 盤(金盤正中央有一小孔)”大盤在下，小盤在上”依序套在同一根銀棒上。造物主命僧侶把64 個金盤全部移到另一根銀棒上，並且規定：每依次只能移動一個金盤，在移動的過程中，較 大的金盤不可套在較少的金盤上。當金盤全數搬完，世界末日將降臨，忠誠者得到好報，不 忠者受到懲罰。試問搬完64個金盤最少需多少次?
[解答]：
(1)構造數列<an>，假設an代表搬完n個金盤所需的最少次數，列表計算，並仔細觀察、歸
納：
金盤數n 1 2 3 4 5 6 … 次數
a
n 1 3 7 15 31 63
(2)建立遞迴關係式：
如圖所示，根據搬動的規則，
先將A棒上面n1個金盤先搬到銀棒B上，則需要搬動an1次。
再將A棒上面最底的第n個金盤搬到銀棒C上，則需要搬動1次。
最後再將B棒上的n1個金盤搬到銀棒C上，則亦需要搬動an1次。
所以合計搬完n個金盤所需的最少次數
1
1 1
n n
n a a
a 2an1 1。
因a1 1，得a2 3221，a3 7231， 1
2 15 4
4
a ，…利用數學歸納法可證明 N
n
an 2n 1, 。 所以a64 2641。
(註)這項任務並不簡單，如果搬動一個金盤平均花掉一秒，那麼搬完64個金盤需 2641=18,446,744,073,709,551,61599秒 > 5840億年
即1秒鐘搬一個，日夜不停地工作，要完成造物主交代的任務，所需時間超過5840億年，世 界末日遙遙無期。但終將來臨！諸惡莫作，眾善奉行，切記！切記！
[練習題]
利用數學歸納法證明：an 2n 1對一切自然數n都成立。
[例題4](雪花－碎片)
設ABC是邊長為1的等邊三角形。將三邊分別三等分，取中間段為一邊向外側做正三角形 並且將中間這一段擦去，其次將剩下的每一邊再三等分，取中間段為一邊向外做正三角形，
再將中間這段擦去。仿此程序繼續做下去，得一系列的碎形。求(1)第6次之碎形的周長。(2)第 n次碎形的周長。
[解答]：
(1)構造數列
a
n
。設a
n 表第n個碎形的周長列表計算並仔細觀察、歸納:
第n個碎形 1 2 3 4 … … 周長
a
n 3 43 16
9 64
(2)建立遞迴關係式：
由 a1=3，a2= 4 (初始值)
又 第n+1個碎形的周長 = 第n個碎形的周長去掉每一邊的中間段，再增加中間段的 2倍。
得 an+1 = an an + an = an
(3)求解an：
由(2)知
a
n
為一等比數列，首項a1=3，公比r = 所以an = 3()n1 a6= 。[練習題]
設ABC是邊長為1的“直立”三角形，取三邊中點並兩兩連線，將ABC的面積四等分，得到 三個“直立”正三角形，和一個“倒立”正三角形(即圖中的陰影區)，將“倒立”正三角形移走。
其次將剩下的三個“直立”正三角形，依照相同的方法分割，並移去其中的“倒立”正三角形，
.
設第n次移走“倒立”正三角形後，所剩下的面積是Sn。 (1) 以遞迴的方式定義Sn。 (2) 求S5。[解答]：(1)
16 3 3
1
S ，Sn Sn ,n2,nN 4
3
1 (2) 3 0.10276
4096 243
5
S
像兔子問題(例2)，河內塔問題(例3)及碎形周長問題(例4)，如果一個接一個，一項一項去推算，
就像步入迷宮，岔路越來越多，不知所終。我們所採用的方法是 (1)依題意去構造一個數列<an>
(2)確定(觀察)數列的前幾項值(初始值) (3)建立遞迴關係式
然後再去求解
a
n ，這種處理問題的方法叫做遞迴方法，它常用在計算機科學，離散數學，遊戲……等許多領域。
習 題 一
1.一個邊長為n的大正方形中，共有n2個單位正方形，如果每一個單位正方形的邊都恰有一根火柴棒，
而此大正方形共用了an根火柴棒，那麼an＋1－an＝ 。
2.設平面上的n條直線最多可把平面分割成an個區域。
(1) 試求出a1 , a2 , a3 。
(2) 以遞迴的方式定義出an。
(3) 試證an 2
2n2
n ,n1。
3.設平面上經過一個定點的n個圓，最多能將平面分成an個部分。
(1) 試求出a1 , a2 , a3 , a4。
(2) 以遞迴的方式定義出an 。
(3) 試證an 2
2n2
n ,n1。
4.如圖，A柱中有n個大小不同的圓盤由大而小往上堆疊，若要 從A柱全部搬移至B柱，每次只能搬動一圓盤，且每次都必 須先經中間柱（不可由A直接放入B）且大盤不可放在小盤 之上，設共要搬動an次，若an 1 pan k，求p，k。
5.將1元、 2元、3元、4元四種郵票貼成一排，共貼 8元，問有幾種不同的貼法。
[提示：設貼成n元時有an種方法，找出
a
n
的初始條件及遞迴關係。]6.用紅、白、藍三色將1n棋盤上的方格塗色，對於n1,2,3,,令an表示沒有兩相鄰方格都塗紅色 的個數，求an所滿足的遞迴關係式。
7.（著色問題）地圖上某一地區有
n
個國家相鄰，但n
個國家只有一個公共 點（如圖）。現用紅，黃，綠三種顏色給地圖染色，但使相鄰的國家顏色不同。
令an表示滿足上述染色規則的方法數，求an所滿足的遞迴關係式。
8.(巴拿赫火柴問題)
有n根火柴，甲、乙兩人輪流取，每次只能取1根或2根。令an表示n根火柴，由甲先取並且輪到甲 取光的方法數，求an所滿足的遞迴關係式。
Sn S1 S2 S3
Sn-1
