PDF 傅壹數學

(1)

95321-30

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高中數學（三Ａ）

N

名師課程系列

ZX ^雲端學院

名師課程系列

ZX ^雲端學院

(2)

翰林版

1-1

常用的三角比公式 ��

27 1-2

弧度量 ��

10 1-3

三角函數的圖形 ��

18 1-4

正餘弦函數的疊合 ��

41 2-1

指數函數及其圖形 ��

46 2-2

對數與對數律 ��

60 2-3

對數函數及其圖形 ��

69 2-4

指數與對數函數的應用 ��

84 3-1

平面向量的表示法 ��

97 3-2

平面向量的內積 ��

120 3-3

面積與二階行列式 ��

138

-5-

00-11K-高中數學(三)A-傅壹版-目次(P1-9)-YA_3校.indd 5 2021/6/7 下午 05:14:05

(3)

高中數學(A) 第 1 章三角函數

27 _1-3 常用的三角比公式

1-3-1

正、餘弦和（差）角公式

【公式】1

cos

（

α

－

β

）＝

cos α cos β

＋

sin α sin β

。

2 cos

（

α

＋

β

）＝

cos α cos β

－

sin α sin β

。

3 sin

（

α

－

β

）＝

sin α cos β

－

cos α sin β

。

4 sin

（

α

＋

β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β

。

證

1 1 如右圖，在單位圓上取∠AOP＝α，∠AOQ＝β 則∠POQ＝α－β

P（cos α^csin α），Q（cos β^csin β） 2 #PQ²＝（cos α－cos β）²＋（sin α－sin β）²

＝1＋1－2（cos α cos β＋sin α sin β）

＝2－2（cos α_cosβ＋sin α_sinβ）...1 3 由餘弦定理知，在△POQ 中

cos（α^－β^）＝ ¹^＋¹^－^#^PQ

2

2×1×1

!#PQ²＝2－2 cos（α－β）...2

∴由1、2得 cos（α－β）＝cos α cos β＋sin α sin β 2 cos（α＋β）＝cos〔α－（－β）〕

＝cos α_cos（－β）＋sin α_sin（－β）

＝cos α cos β－sin α sin β 3 sin（α－β）＝cos〔90n－（α－β）〕

＝cos〔（90n－α）＋β〕

＝cos（90n－α^）cos β^－sin（90n－α^）sin β

＝sin α cos β－cos α sin β 4 sin（α＋β）＝cos〔90n－（α＋β）〕

＝cos〔（90n－α^）－β^〕

＝cos（90n－α）cos β＋sin（90n－α）sin β

＝sin α_cosβ＋cos α_sinβ

【範例】利用和角公式求

sin 15 n＝　　　　， cos 15 n＝　　　　。

解

sin 15n ＝sin（45n－30n）

＝sin 45ncos 30n－cos 45nsin 30n

＝a6 －a2 4

cos 15n ＝cos（45n－30n）

＝cos 45ncos 30n＋sin 45nsin 30n

＝a6 ＋a2 4

02-11K-高中數學(三)A-傅壹版1-3+1-4+2章(P27-96)-YA_4校pr3.indd 27 2021/6/11 下午 07:06:46

(4)

傅壹數學‧翰林雲端學院

28

正、餘弦和角公式

教學例題 1

試求

sin 100 n sin

（－

160 n

）＋

cos 200 n cos

（－

280 n

）＝　　　　。

原式化為 sin 80nsin 200n＋cos 200ncos 80n ＝

教學例題 2

若

α

，β 皆為銳角，且

sin α

＝

13

14

，

sin β

＝

11

14

，則：

1 sin

（

α

＋

β

）＝　　　　。

2 a

＋β＝　　　　。【南一中、建中，北一女、陽明】

1 2

解

線上限定任務:隨堂練習

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(5)

29 教學例題 3

△

ABC

中，若

sin A

＝

3

5

，

tan B

＝－

7

，則∠

C

＝　　　　。【陽明高中】

∵tan B＝－7 ! B 為鈍角

∴sin A＝3

5 ! cos A＝4 5 　tan B＝－7 ! sin B＝ 7

s50＝ 7 5a2 　cos B＝－ 1

5a2

1-3-2

正切和（差）角公式

【公式】

1 tan

（

α

＋

β）＝ tan α

＋

tan β 1

－

tan α tan β

。

2 tan

（

α

－

β）＝ tan α

－

tan β

1

＋

tan α tan β

。

證

1 tan（α＋β）＝ sin（α＋β） cos（α^＋β^）^＝

sin α cos β＋cos α sin β cos α cos β^－sin α sin β

＝ tan α＋tan β

1－tan α_tanβ^{（分子、分母同除以}^cosα cos β） 2 同理可得 tan（α－β）＝ tan α－tan β

1＋tan α tan β

【範例】右圖的大小方格均為正方形，則

tan

∠

ABC

＝　　　　。

【各校重要考題】

解

tan α＝4，tan β＝1 3

∴tan ∠ABC＝tan（α＋β）＝

4＋1 3 1－4×1

3

＝－13

解

(6)

龍騰版

單元

1

弧度量 ��

10

單元

2

18

單元

3

三角的和差角公式 ��

27

單元

4

正餘弦的疊合 ��

41

單元

5

指數函數 ��

46

單元

6

60

單元

7

對數函數 ��

69

單元

8

平面向量 ��

97

單元

9

平面向量的運算 ��

120

單元

10

二元一次聯立方程式 ��

138

-6-

(7)

南一版

1-1

10 1-2

三角的和角與差角公式 ��

27 2-1

指數函數 ��

46 2-2

60 2-3

對數函數 ��

69 3-1

平面向量的運算 ��

97 3-2

120 3-3

平面向量的應用 ��

138

-7-

(8)

泰宇版

1-1

弧度量與三角函數 ��

10 1-2

三角的和差角公式 ��

18 1-3

27 1-4

41 2-1

對數 ��

60 2-2

指數與對數函數圖形 ��

46 2-3

指數與對數的應用 ��

84 3-1

向量的基本運算 ��

97 3-2

120 3-3

行列式與面積 ��

138

-9-

(9)

10 _1-1 弳度量

1-1-1

弳度量（弧度制）

【度度量】（或稱角度制）

將圓周作

360

等分，每一等分所對應的圓心角稱為

1

度；記作

1 n。

【弳度量】（或稱弧度制）

1 定義： p

（弳）＝

180 n ⇒ p

＝

180 n

　　　　　可省略

2 性質：  AB

＝

r q

（

q

為弳）

【證明】

AB 

＝

2pr

．

2

＝

r q

〔註〕當

q

＝

1

（弳）時，即

AB 

＝

r

。

【討論】

1 1 n＝ 60 ′ ⇒ 1 ′＝ 60 ′′ ⇒ 1 n＝ 3600 ′′ ⇒

採

60

進制

2 p

＝

180 n ⇒ π

2

＝

90 n ⇒ π 4

＝

45 n 3 p

＝

180 n ⇒



 



  1

° = 180 π

180 ° ≈

1

（弳）＝

π 57 n 17 ′ 45 ′′

【範例】

1

判斷下列何者正確？

A sin π

2

＝

1

　B

cos

2

＝

0

　C

tan π

2

無意義　D

p n＝ 180 n

2

求

100

之最小正同界角與最大負同界角。

解 1 A○

B×：cos

2

⁰^{cos (1.57)}^n_⁰

C○

D×：pⁿ⁰(3.14)n

∴選AC

2 最小正同界角＝100－2p^×15 　　　　　　＝100－30p 最大負同界角＝100－2p^×16 　　　　　　＝100－32p

第 1 ^章 ^三角函數

-10-

01-11K-高中數學(三)A-傅壹版1-1+1-2(P10-26)-YA_5校pr1.indd 10 2021/6/11 下午 07:06:44

(10)

11

角度與弳的轉換

教學例題 1

1 500 n＝　　　　弳 2 500

弳＝　　　　度

3 p n＝　　　　弳 4 12 n 24 ′ 36 ′′＝　　　　弳

1 500n＝500×1n＝＝25

9 p（弳）

2 500＝500×1＝＝90000 3 p^n＝p^×1n＝p^× π

180＝ π²

180（弳）

4 12n24′36′′＝(12＋24 60＋ 36

3600)n

＝(12＋2 5＋ 1

100)n

＝(1241

100 )n＝1241 100 × π

180

＝1241 18000

π（弳）

時針分針所夾弧度

教學例題 2

鐘面上

4

點

48

分時，時針與分針所夾的較小角為　　　　弳。

〈key〉：時針速率＝ 1

12分針速率 a＝48×6－120n＝168n b^＝288n× 1

12＝24n q^＝a^－b^＝144n

＝144× π 180 ＝4

5 π

解

(11)

12

弧度與三角函數

教學例題 3

1 已知 a

＝

sin ( p

＋

2)

，請問下列哪些選項是正確的？

A

－

1

＜

a

＜－

1

2 B

－

1

2

＜

a

＜

0 C 0

＜

a

＜

1 2 D 1

2

＜

a

＜

3

2 E 3

2

＜

a

＜

1

【台南女中】

2 令 a

＝

cos ( p

²

)

，試問下列哪一個選項是正確的？

A a

＝－

1 B

－

1

＜

a N－ 1

2 C

－

1

2

＜

a N 0 D 0

＜

a N 1

2

　　E

1

2

＜

a N 1

【大學學測】

1 a＝sin (p^＋2)＝－sin 20－sin114n 2 p²^＝p²^（弳）

03.14p

＝2p^＋1.14p a0－cos 25n

cos 25n＞cos 30n＝ 3

2 ⇒－1＜aN− 3 2 2－1＜aN－1

2

1-1-2

扇形相關公式

【公式】扇形

OAB

1

弧長

  AB r  θ 2

周長

= 2r r + θ 3

面積

 1

2 r

²

θ





 



 

【證明】1

AB 

＝

2 p r

．

2

＝

r q

2 周長＝ OA

＋

OB

＋

 AB

＝

2r

＋

r q 3 面積＝ p r

²．

2

＝

1 2 r

²

q

解

(12)

三民版

1-1

指數函數 ��

46 1-2

對數律 ��

60 1-3

對數函數 ��

69 2-1

弧度量 ��

10 2-2

三角函數的圖形及其應用 ��

18 2-3

三角的和角與差角公式 ��

27 2-4

41 3-1

平面向量的表示法 ��

97 3-2

120 3-3

直線與向量 ��

130 3-4

面積與二階行列式 ��

138

-8-

(13)

_2-1 指數函數及其圖形

2-1-1

指數函數的圖形

【型】

y

＝

f

（

x

）＝

a

（^x

a

＞

0

，

a _ 1

）

1 a

＞

1 2 0

＜

a

＜

1 1圖形嚴格遞增且凹向上 1圖形嚴格遞減且凹向上 2恆過定點

（

0 c 1

）

2恆過定點

（

0 c 1

）

3以 x

軸（

y

＝

0

）當漸近線

3以 x

軸（

y

＝

0

）當漸近線

【討論】

y

＝

f

（

x

）＝

a

^x的圖形凹向上

⇔ f

（

x

1）＋

f

（

x

2）

2

＞

f （ ^x

¹^＋

₂ ^x

²

）

證如圖：P

（

^x¹^＋2^x² c2^x¹^＋²^x²

）

^，^Q

（

^x¹^＋2^x² cy¹＋y²

2

）

! Q

（

^x¹^＋₂^x² ^c²^x¹^＋₂²^x²

）

^∴²^x¹^＋₂²^x²^＞²^x¹^＋x² ²

指數函數圖形

教學例題 1

設

a

＞

1

，則有關函數

y

＝

f

（

x

）＝

a

^x之敘述，下列何者正確？

A

圖形由左向右上升

B

圖形以

x

軸為漸近線

C圖形恆過

（

1 c 0

）

D與 y

＝

a

^－^x對稱於

y

軸

E f （ ^x

¹^＋

₂ ^x

²

） ^M ¹ ₂

^（

^f

^（

^x

¹^）＋

^f

^（

^x

²^）） ^{【陽明高中】}

A B

C ：恆過（0c1）

D ：x 用－x 代，對稱 y 軸

E ：指數函數凹向上

∴線段中點＞函數中點即 f（x1）＋f（x2）

2 ＞f

（

^x¹^＋₂^x²

）

解

第 2 ^章 ^{指數與對數}

-46-

(14)

高中數學(A) 第 2 章指數與對數

47

細菌成長率

教學例題 2

設於某項新實驗中，細菌數

1

日後增加

a

倍，且已知

3

日後細菌數為

2000

，

4 1 2

日後其數為

16

,

000

，試計算：

1 a

＝　　　　。

2 5

日後細菌數為　　　　。

1 令原來細菌數 N

則＝2,000 ...1

!$

#$

% ＝16,000 ...2 2

1 !（1＋a）³²＝8 !（1＋a）³＝64＝4³

∴a＝3

2 所求＝N（1＋a）⁵

　　＝N（1＋a）³‧（1＋a）² 　　＝2000×4²＝2000×16 　　＝32000

教學例題 3

半衰期

放射性鉛之半衰期為

26.8

分鐘，問一塊鉛在

80.4

分鐘時為原來的　　　　倍，又在

13.4

分鐘後為原來的　　　　倍。

〈key〉 1 半衰期：

放射性元素，質量變為原來一半，所需的時間 2 設原來質量w0

半衰期 t0

則經過 t 時間後，

剩餘質量＝w0‧

（

¹₂

）

^t^t⁰

1 令原質量為w0

由已知：w0

（

¹₂

）

^＝^w

（

⁰ ¹₂

）

³^＝¹₈^‧^w⁰

Ans：1 8

2 由已知w0

（

¹₂

）

^＝^w⁰

（

¹₂

）

¹²^＝ _a2¹ ^w⁰

Ans： 1 a2

解

(15)

48 教學例題 4

應用問題

假設一般病患服用某種藥品，服藥後

x

小時，殘留在胃裡的藥量有

f

（

x

）＝

c

‧

a

^x（毫克），其關係圖如右。

1 求出 c

與

a

。

2 試問該藥品服用 2

小時後，殘留在體內的藥量有多少毫克？

【桃園高中】

1 1n 過（0c500）! f（0）＝c‧a⁰＝500 ∴c＝500

2n 過（0.5c400）! f（0.5）＝500‧a¹²＝400 ∴a¹²＝4

5 ! a＝16 25

2 由1知 f（x）＝500‧

（

¹⁶₂₅

）

^x

所求＝f（2）＝500

（

¹⁶₂₅

）

²^＝ ¹⁰²⁴₅

2-1-2

指數函數圖形的平移與對稱

【一般函數平移】

y

＝

f

（

x

）沿

x

軸向右平移

h

單位，沿

y

軸向上平移

k

單位，

則新函數為　（∵（

x c y

）→（

x

＋

h c y

＋

k

））

〈口訣〉平移代入函數

!

＋

!

－

# %

－!＋

Ex

1 y

＝

a

^x往右移

3

單位，往下移

2

單位：（

x c y

）→（

x

＋

3 c y

－

2

）則新函數為：

2 y

＝

a

^2x往左移

1

單位：（

x c y

）→（

x

－

1 c y

），

則新函數為：

【討論】指數函數圖形上、下、左、右平移

!

漸近線跟著上下平移與左右平移無關

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1-1

27 1-2

10 1-3

18 1-4

41 2-1

46 2-2

60 2-3

69 2-4

84 3-1

97 3-2

120 3-3

138

27

1-3 常用的三角比公式

1-3-1

cos

α

β

cos α cos β

sin α sin β

2 cos

α

β

cos α cos β

sin α sin β

3 sin

α

β

sin α cos β

cos α sin β

4 sin

α

β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β

sin 15 n＝ ， cos 15 n＝ 。

28

教學例題 1

sin 100 n sin

160 n

cos 200 n cos

280 n

教學例題 2

α

sin α

13

14

sin β

11

14

1 sin

α

β

2 a

解

解

線上限定任務:隨堂練習

29

教學例題 3

ABC

sin A

3

5

tan B

7

C

1-3-2

1 tan

α

β）＝ tan α

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_1-3 常用的三角比公式

sin 15 n＝　　　　， cos 15 n＝　　　　。

_1-1 弳度量