PPT 第五节 可降阶的高阶微分方程

) ,

(x y f

y   

可降阶高阶微分方程 第五节

一、 型的微分方程 二、 型的微分方程

)

) (

( f x

y ⁿ 

) ,

( y y f

y   

三、 型的微分方程

第七章

一、

^{y(n)  f (x)}

令 z  y^(n1), ^{( )} d

d _n

x y z 

则 ^因此

d 1

)

(x x C f

z 





即 y^(n1) 



f (x)dx  C₁

同理可得 ^{y(n2) }

  

^{f (x)d x  C1}



^{dx  C}₂





^dx







f (x) dx

依次通过 n 次积分 , 可得含 n 个任意常数的通解 .

, ) (x

 f

2 1x C C 



型的微分方程

例 1. 求解 y   e^2x  cos x.

解 : ^{y  }

_ 

^{e2x  cos x}



^{dx  C}₁^

2 sin 1

2e

1 ^x  x  C



y e²x

4

 1



y e²x

8

 1



_{1 1}



2 1 C C   此处

x

 sin  C₁x² C₂x  C₃ x

 cos  C₁x  C₂

t F

, O

0  0



x t

例 2. 质量为

m

_{的质点受力} F 的作用沿

Ox

_轴作

运动直线

, 在开始时刻

, )

0

( F₀

F  _{随着时间的增大 , 此力 F 均匀地} 直到

t =

T 时 F(T) = 0 减

. 如果开始时质点在原点 , 解 : 据题意

有 ( ) d

d

2 2

t t F

m x 

d 0 d

0 



t t

x

) 1

0 (

T F  t

t = 0

_时

设力

F

_仅是时间

t

_的函数 : F = F (

t

^{) .}

小 ,

求质点的运动规律 . 初速度为 0,

且

对方程两边积分 , 得

 ) (t ) F

1 d (

d ₀

2 2

T t m

F t

x   ^F0

T

1

0 2 )

( 2 d

d C

T t t

m F t

x   

利用初始条件 得C₁  0, ^于是 2 )

d (

d ₀ ²

T t t

m F t

x  

两边再积分得 ₂

3

0 2 )

6

( 2 C

T t t

m

x  F  

再利用 x _{t 0}  0 得 C₂  0, _{故所求质点运动规律为} 3 )

2 (

2 3 0

T t t

m

x  F 

d 0 d

0 



t t

x

) ,

(x y f

y   

型的微分方程

设 y  p(x) , 则 y   p, ^{原方程化为一阶方程} )

, (x p f

p 

设其通解为 p   (x,C₁) 则得 y   (x,C₁)

再一次积分 , 得原方程的通解

2 1)d

,

(x C x C

y 



^ 

二、

例 3. 求解 (1 x²)y   2xy ,

0 1



y x y _x0  3

解 : 设 y  p(x), 则 y   p, 代入方程得 p

x p

x ) 2 1

(  ²   ^分离变量

) 1

(

d 2

d

x2

x x p

p

 

积分得 ln p  ln (1 x²)  ln C₁ , 即 p  C₁ (1 x²) ,

0  3

 _x

利用 y 得 C₁  3,^于是有 y  3(1 x²) 两端再积分得 y  x³  3 x  C₂

利用 y _x0 1, 得 C₂ 1,

1

3  3 

 x x

y

因此所求特解为

例 4. 绳索仅受 重力作用而下垂

, 解 : 取坐标系如图 .

考察最低点 A 到

s

g (  : 密度 , s : 弧 长 )

弧段重力大小 按静力平衡条件 ,

有 T cos  H, a s

tan  1

M  s

g

) (其中a  _^H_g

s g T sin  

y ^x 1 y dx

0



^{ }2

a

 1

故有 1 1 ²

a y

y     设有一均匀 , 柔软的绳索 , 两端固定 ,

问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?

任意点 M ( x, y ) 弧段的受力情况 : T

A 点受水平张力 HM 点受切向张力 T

两式相除得

H _A

y

O x

1 1 y 2

y   _a   ,

a OA 

设 则得定解问题 :

0 a,

y _x  y _x0  0 ),

(x p y

令 ,

d d

x y   p

则 ^{原方程化为} p

d x

a d

 1 两端积分得

) 1

( ln sh

Ar p  p   p²

, sh

Ar p  _a^x  C₁ 由y _x0  0 得C₁  0, 则有 y  sh ^x_a

两端积分得 y  ach _a^x  C₂,由y _x0  a,得C₂  0 故所求绳索的形状为

a a x

y  ch ( e e ) 2

ax ax

a  ^



悬 链 线

a

1 p2

M  s

g

T

H _A

y

O x

三、

^{y   f (y, y)}

型的微分方程

令 y  p(y),

x y p

d

 d 则 

x y y

p d d d

d 

 y

p p d

 d

故方程化为 ( , ) d

d f y p

y p p 

设其通解为 p  (y,C₁), _即得 ) ,

( y C₁ y 

分离变量后积分 , 得原方程的通解

2 1)

, (

d x C

C y

y  



_

例 5. 求解yy   y²  0 .

代入方程得 0, d

d  p₂  y

p p

y y

y p

p d d  即

两端积分得 ln p  ln y  ln C₁ , 即 p  C₁y, y

C y  ₁

 ( 一阶线性齐次方程 )

故所求通解为 y C₂ e ^{C1 x} 解 :设 y  p (y),

x y p

d

 d 则 

x y y

p d d d

 d

y p p

d

 d

M : 地球质量 m : 物体质量 例 6.

静止开始落向地面 , (不计空气阻力 ).

解 : 如图所示选取坐标系则有定解问题. :

2 

2

d d

t

m y ₂

y M m

 k

0 l,

y _t  y _t0  0 d ,

) d

( t

y y

v 

设 t

v t

y

d d d

d

2

2 

则 t

y y

v

d d d

d 

 y

v v d

 d 代入方程得 d ₂ dy,

y M v k

v   _积分得 ² 2 ₁

y C M v  k 

一个离地面很高的物体 , 受地球引力的作用由

y R

l

O

求它落到地面时的速度和所需时间

2 2 1

y C M v  k  1 ,

2 1

2  



 kM y l

v

d , d

t v  y



y y l

l M

v   2k  即



 d t y

y l

y M

k

l d

2 

 两端积分得  

M k t l

2

0 l, y _t 

利用 得C₂  0, 因此有





 

 

l l y

y y

M l k

t l arccos

2

2

l l y

y y

l  ²  arccos  C2

 ,

,

0 ₀

0

0 y y l

v _t   _{t }  _{t } 

利用 l

M C 2k

1   得

注意“－”号

由于 y = R 时y   g, _{由原方程可得}

M R k g

 2

因此落到地面 ( y = R ) 时的速度和所需时间分别为





 

 

 l

l R R

R g l

l

t _{y R} R arccos

2

1 ₂

l

R l

R

v _yR   2 g (  )

2 

2

d d

t

m y ₂ ,

y M m

 k

y y l

l M

v   2k 





 

 

l l y

y y

M l k

t l arccos

2

2

y R

l

O

说明 : 若此例改为如图所示的坐标系 ,

2 

2

d d

t

m y ₂

) (l y

M m k

 ,

0  0



y t y _t0  0

， 令 t

v y

d

 d 解方程可得

1) ( 1

2 2

l y

M l k

v 

 

问 : 此时开方根号前应取什么符号 ? 说明道理 .

则定解问题为

R y l O

例 7. 解初值问题 解 : 令



 y   e^2y  0 ,

0  0



y x y _x0 1 ),

(y p

y  ,

d d

y p p

y  

则 ^{代入方程得}

y p

p d  e^2yd

积分得 ¹₂ p²  ₂¹ e^2y  C₁

利用初始条件 ,得C₁  0, ^根据 p _y0y _x0  1 0, p y

x

y e

d  

d

积分得  e^y  x  C₂ , 再由 y _x0  0, 得C₂  1 故所求特解为 1 e^y  x

得

为曲边的曲边梯形面积 上述两直线与 x 轴围成的三角形 面

例 8. 设函数 y (x) (x  0) _二阶可导 , 且y(x)  0, )

(x y y 

过曲线 上任一点 P(x, y) 作该曲线 切线及 x 轴的垂线 , 的

1,

S 区间 [ 0, x ] 上以

2, 记为S

) (x y ,

1 2S₁  S₂ 

且 求 y  y(x)

解 : 因为y(0)  1, y(x)  0, 所以y (x)  0.

于是

 2 cot

1 ₂

1 y

S 

y y

  2

2 S2

) (x y y 

设曲线 在点 P(x, y) 处的切线倾角为

,

满足的方程 . ,

1 )

0 (  y

积记为

( 1999 考研 )

t  t

y

S ^x ( ) d

2 ^



0

P x

1 y S ₁

y

O x

再利用 y (0) = 1 得

利用 2S₁  S₂ 1, 得 ^y_y²_ ^



₀^{xy(t) d t 1}

两边对 x 求导 , 得

)2

( y y

y   

定解条件为 y(0) 1, y(0)  ),

(y p y 

令 , ^方程化为

d d

y p p

y   则

y y p

p d d 

1y, C p 

解得 利用定解条件得 C₁  1, 再解 y  y, 得 ,

2 ex

C

y  C₂ 1, ^{故所求曲线方程为} y  ex

2

d

d p

y p p

y 

1

S2

P x

1 y S ₁

y

O x

y S y

  2

2 1

t t

y

S ^x ( )d

2 ^



0

内容小结

可降阶微分方程的解法 —— 降阶 ) 法

( .

1 y⁽ⁿ⁾  f x 逐次积分

) ,

( .

2 y   f x y 令 y  p(x) ,

x y p

d

 d 则 

) ,

( .

3 y   f y y 令 y  p(y) ,

y p p

y d

 d 则 

思考与练习

1. 方程 y   f (y) _{如何代换求解 ?} 答 : 令y  p(x) _或 y  p(y)

一般说 , 用前者方便些 .

均可 . 有时用后者方便 .例如 , y   e^(y)2

2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?

答 : (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便 .

(2) 遇到开平方时 , 要根据题意确定正负号

. 例 6 例 7

P323 1

(5) , (7) , (10)

; 2

^{(3) , (6)}

; 3 ; 4

作业

y

O x

) 1 , 0 (

A 速度 大小为 2v, 方向指向 A ,

) 0 , (1

) , (x y B

t v

提示 : 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示 ,

则有 y 

t v s

d 2  d

x y

s ^x 1 d

1



_ ^{ }2



x t y

x 1 d

d d

1



_ ^{ }2

 t

y x

d 1 ² d

 去分母后两边对 x 求导 ,

得

x v t x

x y

d d d

d

2

2  

又由于

y t

v 

 1

 x

设物体 A 从点 ( 0, 1 ) 出发 , 以大小为常

数 v

备用题

的速度沿 y 轴正向运动物体 , B 从 (–1, 0 ) 出发 ,

试建立物体 B 的运动轨迹应满 足的微分方程及初始条件 .

①

)2

d ( d 2 1

1 d

d

x y v

x

t  



0 2 1

1 d

d ₂

2

2   y 

x x y

代入 ① 式得所求微分方程 :

其初始条件为 ,

1  0





y x y _x1  1

x v t x

x y

d d d

d

2

2   _①

0 2 1

1  ₂ 

  y

y 即 x

y

O x

) 1 , 0 (

A

) 0 , (1

) , (x y B

t v