PADA BARISAN BILANGAN REAL
Darmadi 1) Agung Lukito 2) Ketut Budayasa 3) Ridha Rokhani 4) 1) Mahasiswa Program Pascasarjana UNESA
2)
Staf Pengajar Program Pascasarjana UNESA
3)
Staf Pengajar Program Pascasarjana UNESA
4)
Mahasiswa IKIP PGRI Madiun
Abstrak
Untuk lebih memahami definisi formal pada barisan bilangan real, dapat digunakan visualisasi. Beberapa penelitian menunjukkan bahwa perempuan tidak lebih baik secara visual dari pada laki-laki. Beberapa penelitian menunjukkan bahwa perbedaan tersebut tidaklah signifikan. Lebih baik apa tidak berpikir visual perempuan, lebihdidasarkan pada hasil. Namun, bagaimana proses perempuan memahami secara visual belum diungkap. Pada makalah ini akan dibahas bagaimana profil berpikir visual mahasiswa perempuan calon guru matematika dalam memahami definisi formal pada barisan bilangan real.
Kata kunci: berpikir visual, memahami, dan definisi formal
A. Pendahuluan
Analisis real merupakan suatu matakuliah wajib bagi mahasiswa program studi pendidikan matematika. Beberapa permasalahan muncul dalam pembelajaran analisis real; seperti: 1) Hasil belajar analisis real kurang memuaskan (Darmadi, 2008a), 2) Mahasiswa kesulitan belajar analisis real sulit sejak awal (Darmadi, 2008b), 3) Pemahaman mahasiswa terhadap definisi formal pada kalkulus kurang (Darmadi, 2009a); 4) Persiapan kuliah mahasiswa kurang dengan berbagai alasan seperti mendapat kurangnya waktu belajar, mengerjakan tugas dari dosen lain, sakit, hajatan, materi kurang menarik, dan kurang suka pada dosennya (Darmadi, 2009b).
Beberapa metode dan model pembelajaran dengan aneka media pembelajaran yang dianggap sesuai telah dicoba; seperti: pengembangan model pembelajaran analisis real berbasis teori David Tall (Darmadi, 2009b) dan penggunaan Lesson Study dalam pembelajaran analisis real (Darmadi, 2010). Meskipun demikian, kemampuan berpikir analitis, kreatif, kritis, dan inovatif masih perlu untuk selalu ditingkatkan (Darmadi, 2011a).
Salah satu contoh permasalahan yang muncul dalam pembelajaran analisis real pokok bahasan barisan bilangan real adalah memahami definisi barisan bilangan real konvergen. Barisan {𝑎𝑛}𝑛≥1dikatakan konvergen (ke a) jika dan hanya jika terdapat𝑎 ∈ 𝑹sehingga untuk setiap𝜀 > 0terdapat𝑛0∈ 𝑵dengan𝑛0= 𝑛0(𝜀)sehingga untuk𝑛 ≥ 𝑛0berlaku 𝑎𝑛− 𝑎 < 𝜀. Mengapa definisinya seperti itu? Mengapa harus ada a, 𝜀, dan 𝑛0? Bagaimana gambaran hubungan 𝑎, 𝜀 dan 𝑛0? Mengapa menggunakan harga mutlak? dan sebagainya. Kita akan dapat menjawab pertanyaan tersebut dengan memvisualiasikan definisi formal tersebut.
Barisan bilangan real adalah fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real. Materi barisan bilangan real perlu dipelajari lebih mendalam karena dapat digunakan sebagai dasar dalam memahami fungsi real. Konsep kekonvergenan dapat membantu mempelajari konsep limit fungsi. Konsep kekonvergenan, terbatas, monoton naik/turu juga sering digunakan dalam pemrograman komputer.
Definisi-definisi pada barisan bilangan real, biasa disajikan dalam bentuk formal yaitu disajikan dengan simbol-simbol matematis. Selain itu, definisi barisan bilangan real diberikan untuk mahasiswa dimana menurut Piaget pada tingkat kognitif formal. Oleh karena itu, Tall dkk menyebut definisi seperti tersebut dengan definisi formal.
Memahami definisi formal merupakan suatu kegiatan berpikir tingkat tinggi. Dalam memahami definisi formal terdapat proses pengolahan informasi pada pikiran. Sesuai teori penyandian-ganda, suatu informasi disandikan dalam dua cara yaitu penyandian verbal dan penyandian visual. Sebagian informasi disimpan dalam bentuk verbal dan sebagian disimpan dalam bentuk visual. Bagaimana mengolah dan memanfaatkan informasi visual untuk memahami definisi formal pada barisan bilangan real belum banyak diketahui.
Pemanfaatkan pengetahuan visual dalam pembelajaran analisis real jarang digunakan. Hasil tes kemampuan memahami definisi formal dan mengsketsa grafik menunjukkan bahwa kekayaan imajeri mahasiswa masih kurang (Darmadi, 2011b). Hal ini terjadi karena dalam pembelajaran sebelumnya kurang memanfaatkan gambar-gambar sebagai visualisasi dan masih terpaku pada formalitas atau menggunakan rumus-rumus saja.
Berpikir dengan menggunakan informasi visual disebut berpikir visual. Bahan baku dari berpikir visual adalah bayangan mental (imajeri). Hasil berpikir visual berupa gambar/grafik. Perlu membangun pembelajaran matematika yang menyenangkan dengan visualisasi (Darmadi, 2012a).
Pepatah cina kuno mengatakan bahwa gambar dapat menyatakan seribu kata. Banyak ahli matematika yang menggunakan kemampuan imajeri (berpikir visual) dalam melakukan pekerjaan mereka. Suatu alternatif untuk memahami definisi-definisi formal pada pembelajaran barisan bilangan real yaitu dengan memvisualisasikannya (Darmadi, 2012b).
Pada makalah ini dibahas profil berpikir vsual mahasiswa perempuan calon guru matematika dalam memahami definisi formal pada barisan bilangan real. Gender dipilih perempuan karena sebagian besar mahasiswa calon guru adalah perempuan. Dengan dipilihnya mahasiswa perempuan, diharapkan dapat juga menguak mengapa pada beberapa hasil penelitian menunjukkan bahwa perempuan tidak lebih baik atau kurang dari laki-laki dalam hal berpikir visual. Atau memberi pandangan cukup bijaksanakah kita mengatakan seperti itu.
B. Pembahasan
Barisan bilangan real didefinisikan sebagai suatu fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real. Misalkan 𝑎𝑛 adalah nilai fungsi yang membentuk barisan bilangan real, maka barisan bilangan real tersebut disajikan dalam bentuk 𝑎𝑛 𝑛=1∞ oleh Goldberg (1976), (𝑎𝑛) oleh Bartle & Sherbet (1982), dan 𝑎𝑛 oleh Wasan & Prakash. Simbol untuk menyatakan barisan bilangan real tiap buku acuan dapat berbeda. Pada pembahasan ini, barisan bilangan real dinotasikan dengan{𝑎𝑛}𝑛≥1. Untuk mempersingkat istilah, barisan bilangan real selanjutnya disebut barisan.
Berdasarkan tingkat kesulitan berpikir visual dalam memahami definisi formal pada barisan bilangan real, diperoleh gambaran sebagai berikut.
Gambar 1. Pengelompokkan definisi-definisi formal pada barisan bilangan real berdasarkan tingkat kesulitan berpikir visual untuk memahami
Berdasarkan hasil analisis tingkat kesulitan berpikir visual dalam memahami definisi formal pada barisan bilangan real tersebut, dilakukan pemilihan definisi untuk mendapatkan profil berpikir visual mahasiswa laki-laki calon guru matematika dalam memahami definisi formal pada barisan bilangan real. Untuk tingkat pertama dipilih definisi formal topik barisan monoton naik, barisan monoton turun, dan barisan konstan. Untuk tingkat kedua dipilih definisi formal topik barisan terbatas di atas, barisan terbatas di bawah, dan barisan terbatas. Untuk
Definisi formal pada barisan bilangan real tingkat 1 (berdasarkan kedudukan antar anggota) monoton naik tegas monoton naik konstan monoton turun turun tegas tidak monoton tingkat 2 (berdasarkan eksistensi batas) ada batasan terbatas di atas terbatas terbatas di bawah tidak ada batasan tingkat 3 (berdasarkan arah kecenderungannya) konvergen divergen divergen ke ∞ oscillatory divergen ke -∞
tingkat ketiga dipilih definisi formal topik barisan divergen ke ∞, barisan divergen ke -∞, dan barisan konvergen.
Dengan buku acuan dapat diperoleh definisi yang berbeda. Untuk memperoleh kereliabilitasan data, pada msing-masing topik definisi dibuat empat tipe definisi yaitu menggunakan „jika dan hanya jika‟, „jika maka‟, „diberikan jika maka‟, dan „syarat perlu dan syarat cukup‟. Dalam beberapa buku sering digunakan tipe kedua atau ketiga yaitu „jika maka‟ atau „diberikan jika maka‟, namun karena definisi yang benar secara logika matematika adalah definisi formal maka yang dipergunakan pertama kali adalah tipe pertama yaitu „jika dan hanya jika‟ yang identik secara logika matematika dengan tipe keempat yaitu „syarat perlu dan syarat cukup‟. Tipe kedua dan ketiga digunakan, selain karena sering digunakan pada beberapa buku yang digunakan dalam perkulihan, definisi tersebut juga mudah diterima oleh subjek. Sesuai pendapat Poincare bahwa definisi yang baik adalah definisi yang mudah diterima oleh peserta didik. Selama dapat diterima dan diperkuat dengan adanya „kesepakatan‟, definisi tersebut digunakan.
Untuk mendapatkan data, perlu dibuat instrumen bantu yaitu lembar tugas mahasiswa sebagai tugas subjek selama wawancara. Setelah lembar tugas mahasiswa didiskusikan dan mendapat validasi, LTM digunakan untuk penelitian. Wawancara dilakukan pada subjek perempuan dengan beberapa kriteria antara lain 1) baru mengambil matakuliah analisis real, 2) mempunyai IPK di atas 2,75, 3) nilai kalkulus dan pengantar dasar matematika minimal B, 4) komunikatif, jujur, dan bersedia menjadi subjek penelitian. kriteria ini perlu dilakukan untuk menjamin mendapatkan data. Oleh karena itu dilakukan penjaringan subjek sehingga diperoleh seorang mahasisa perempuan sebagai subjek.
Dalam memahami definisi formal, dimungkinkan seseorang memahami perdefinisi atau dalam kelompok definisi. Untuk itu dilakukan tiga tahap dalam pengumpulan data. Tahap pertama adalah untuk mendapatkan profil berpikir visual dalam memamahami suatu definisi formal pada barisan bilangan real. Tahap kedua adalah untuk mendapatkan profil berpikir visual dalam memahami sekelompok definisi formal. Tahap ketiga untuk mendapatkan profil berpikir fisuan dalam memahami sekelompok definisi formal satu tapok beda tipe.
Karena dipilih sembilan topik definisi dengan masing-masing definisi dibuat empat tipe dan melalui tiga tahap untuk wawancara, maka minimal diperlukan 36 kali wawancara untuk tahap pertama, 12 kali untuk tahap kedua, dan 9 kali wawancara untuk tahap ketiga. Meskipun banyak yang harus ditanyakan, pelaksanaannya, dalam satu pertemuan dapat diberiskan beberapa pertannyaan dengan ketentuan subjek bisa mengejakan dengan baik atau tidak lelah, tidak berurutan dalam satu topik, dan diusahakan antar definisi saling independen pada pertemuan yang sama.
Berikut diberikan contoh representasi berpikir visual subjek dalam memahami definisi formal pada suatu barisan bilangan real. Setelah menerima dan membaca LTM, subjek
mempunyai kegiatan yaitu mengenali, memvisualisasi, dan menyimpulkan. Untuk memahami sekelompok definisi formal, subjek mengenali terlebih dahulu semua definisi untuk dikelompkkan sesuai kriteria tertentu apa tidak, jika ada yang sesuai dikelompokkan dalam satu kelompok. Kegiatan mengenali yaitu kegiatan subjek menjaring informasi, memfokuskan pada informasi-informasi tertentu, dan mengolahnya untuk mendapatkan gambaran visualisasi definisi seperti berikut.
Setelah mencoba mengenali, subjek akan mengingat pengetahuan sebelumnya. Kegiatan mengingat sering digunakan subjek ketika memahami sekelompok definisi dengan memanggil bayang mental yang telah diperoleh untuk diperlihatkan. Namun jika sebelumnya belum mempunyai gambaran, subjek memperlihatkan yaitu kegiatan subjek untuk menujukkan sekaligus mengevaluasi pada diri sendi atau orang lain seperti ini.
Setelah memperlihatkan, subjek memperdalam. Kegiatan memperdalam yaitu kegiatan subjek untuk mencoba-coba barisan yang lain, atau menunjukkan contoh yang sesuai dan contoh yang tidak sesuai definisi seperti berikut.
Contoh yang sering sesuai digunakan ketika subjek belum banyak mempunyai gambaran mental. Contoh yang tidak sesuai digunakan ketika subjek merasa sudah mempunyai banyak gambaran mental. Kegiatan memperdalam sering tidak dilakukan ketika subjek harus memahami sekelompok definisi. Selanjutnya kegiatan menyimpulkan, yaitu kegiatan subjek mengumpulkan informasi, mengolah informasi-informasi yang diperoleh, dan menyajikan dalam bentuk kata-kata atau diagram venn.
Penyajian dalam bentuk diagram venn digunakan untuk menggambarkan hubungan antar konsep pada definisi. Untuk makin jelasnya perhatikan uraian berikutnya.
Untuk mendapatkan profil berpikir visual subjek perempuan dalam memahami suatu definisi formal dilakukan wawancara tahap pertama dengan tiga puluh enam pertanyaan pokok. Hasil wawancara menujukkan bahwa setelah menerima dan membaca LTM, subjek memahami definisi formal yang diberikan melalui tiga kegiatan yaitu mengenali, memvisualisasi, dan menyimpulkan. Kegiatan memvisualisasi dapat dikelompokkan menjadi dua sub kegiatan yaitu memperlihatkan dan memperdalam dengan menggunakan gambar/grafik.Gambaran alur berpikir visual subjek perempuan dalam memahami suatu definisi formal pada barisan bilangan real dapat disajikan sebagai berikut.
Gambar 2. Profil berpikir visual subjek perempuan dalam memahami suatu definisi
Kegiatan mengenali dilakukan subjek dengan membuat rangkuman definisi, menentukan kata kunci, dan menjabarkan/ mengolahnya. Kadang kata kunci tidak dijabarkan karena sudah dapat ditangkap/diterima oleh subjek. Kegiatan memperlihatkan dilakukan subjek dengan memberi contoh barisan, mendaftar anggota barisan, menggambar grafik contoh, mengevaluasi gambar, dan memberi kesimpulan. Untuk memperlihatkan, subjek memilih contoh barisan yang sesuai dengan definisi. Pemilihan contoh lebih berdasarkan kata kunci dan coba-coba sehingga kadang subjek memberikan contoh yang ternyata tidak sesuai definisi. Kegiatan memperdalam dilakukan subjek dengan memberikan contoh lain, mendaftar anggota barisan, menggambar grafik contoh, mengevaluasi gambar, dan memberi kesimpulan. Contoh yang digunakan untuk memperdalam kadang ada yang sesuai definisi, kadang ada yang tidak sesuai definisi. Subjek
Menyimpulkan
Memvisualisasi
memberikan contoh lain yang sesuai definisi jika merasa belum begitu memahami definisi. Subjek memberikan contoh lain yang tidak sesuai definisi jika merasa sudah memahami definisi. Kadang subjek memberikan contoh lain yang sesuai dan yang tidak sesuai definisi. Kegiatan menyimpulkan dilakukan subjek dengan memperhatikan kembali definisi dan gambar-gambar yang telah diperoleh, dan kemudian menulis/menarik kesimpulan sebagai pemahaman. Ketika menyimpulkan, kadang subjek lebih berdasar pada definisi saja, kadang lebih berdasar pada gambar saja, kadang berdasar pada keduanya yaitu definisi dan gambar, atau kadang juga lupa tidak menyimpulkan.
Untuk mendapatkan profil berpikir visual subjek perempuan dalam memahami kelompok definisi formal, dilakukan wawancara tahap kedua dengan tugas memahami dua belas kelompok definisi. Hasil wawancara menunjukkan bahwa setelah menerima dan membaca LTM, subjek melakukan tiga kegiatan yaitu mengenali, memvisualisasi, dan menyimpulkan seperti gambar berikut.
Gambar 3. Profil berpikir visual subjek perempuan dalam memahami sekelompok definisi Setelah mengetahui bahwa tiap definisi mempunyai syarat yang berbeda, subjek memperlihatkan gambaran tiap-tiap definisi sebelum melihat hubungan antar definisi tersebut sebagai kesimpulan. Kegiatan mengenali dilakukan subjek dengan cara membuat rangkuman definisi, menentukan kata kunci, dan menjabarkan/mengolahnya. Kegiatan memperlihatkan dilakukan subjek dengan membayangkan barisan yang sesuai definisi, membuat contoh barisan, dan kemudian menggambarkan dalam bentuk grafik untuk masing-masing definisi. Subjek tidak memberi kesimpulan setelah memperlihatkan, karena sudah mempunyai „gambaran‟ terhadap definisi formal yang diberikan. Kegiatan menyimpulkan dilakukan dengan cara memperhatikan kembali definisi-definisi dan gambar-gambar yang kemudian digunakan untuk menarik kesimpulan sebagai pemahaman. Kesimpulan yang diperoleh subjek sering disajikan dalam