Soal 2.3.8 Jika suatu mesin menyimpan intejer dengan metode komplemen dua, berapa intejer terbesar dan terkecil yang dapat disimpan apabila meng- gunakan pola 8-bit.
a) 4-bit b) 8-bit c) 16-bit d) 32-bit e) 2n-bit, n2Z+ Soal 2.3.9 Dide…nisikan himpunan X Z+ secara rekursif sebagai berikut:
a) 32X; dan
b) jika a; b2X; maka a+b 2X:
Buktikan bahwaX =f3k k2Z+g;himpunan semua intejer positif yang
habis dibagi 3:
Soal 2.3.10 Misalkan n2Z+ dengan
n =rk:10k+:::+r2:102 +r1:10 +r0:
Buktikan bahwa
1. 2jn jika dan hanya jika2jr0:
2. 4jn jika dan hanya jika(r1:10 +r0):
3. 8jn jika dan hanya jika(r2:102+r1:10 +r0):
Buatlah generalisasi dari hasil tersebut.
2.4
Algoritme Euclid
Bahasan yang diberikan pada bagian ini dan pada bagian berikutnya meru- pakan landasan dasar dari teori bilangan. Berapa teorema dan sifat-sifat diberikan tanpa disertai bukti dengan alasan bahwa seluruh materinya akan dibahas lebih rinci di matakuliah Pengantar Teori Bilangan.
De…nisi 2.3 Untuk a; b 2 Z, suatu intejer positif x dikatakan pembagi bersama dari a dan b jika x j a dan x j b: Selanjutnya, untuk a dan b
tidak keduanya nol, c2Z+ disebut pembagi bersama terbesardari a dan
b; dinotasikan dengan c = gcd (a; b); jika c adalah yang terbesar diantara semua pembagi bersama dari a dan b, atau dengan kata lain
c= maxfx2Z+ (x
Teorema 2.5 Misalkan c = gcd (a; b): Jika pembagi bersama d dari a dan
b; maka djc:
Teorema 2.6 Untuk setiap a; b 2 Z+; ada tepat satu c 2 Z+ sehingga c= gcd (a; b): Selanjutnya ada x; y 2 Z sehingga c = xa+yb (c adalah suatu kombinasi linear dari a dan b):
Sifat-sifat dasar dari pembagi bersama terbersar dapat dirinci sebagai berikut. Misalnya c= gcd (a; b);maka:
1. c adalah intejer positif terkecil dari himpunanfxa+yb=x; y2Zg:
2. Jikad=sa+tb untuk suatus; t 2Z;maka cjd:
3. gcd (a; b) = gcd ( a; b) = gcd (a; b) = gcd ( a; b) = gcd (b; a):
4. gcd (a;0) = jaj dan gcd (0;0)tak terde…nisikan. 5. c= gcd (a; b))gcd a
c; b c = 1:
Intejer a dan bdisebut prima relatif jika gcd (a; b) = 1; selanjutnya ada
x; y 2Z sehinggaxa+yb= 1:
Contoh 2.18 Karena gcd (42;70) = 14; maka adax; y 2Z; sehingga
42x+ 70y= 14,3x+ 5y= 1:
Mudah diperiksa bahwa x = 2 dan y = 1 adalah solusinya. Kemudian untuk k 2Z;
3(2 + 5k) + 5( 1 3k) = 1;
juga
42(2 5k) + 70( 1 + 3k) = 14:
Jadi nilai x dan y tidak tunggal.
Teorema 2.7 (Algoritme Euclid) Misalkan a; b 2 Z+; jika dengan algo-
ritme pembagian berlaku langkah-langkah berikut ini:
Langkah ke-1 a=q1b+r1 0< r1 < b Langkah ke-2 b =q2r1+r2 0< r2 < r1 Langkah ke-3 r1 =q3r2 +r3 0< r3 < r2 ... ... ... Langkah ke-(i+2) ri =qi+2ri+1+ri+2 0< ri+2 < ri+1 ... ... ... Langkah ke-k rk 2 =qkrk 1+rk 0< rk < rk 1 Langkah ke-(k+2) rk 1 =qk+1rk: , makark = gcd (a; b):
2.4 Algoritme Euclid 51
Contoh 2.19 Dengan algoritma Euclid, tentukan gcd(250;111); kemudian tentukan x; y 2Z sehingga gcd(250;111) = 250x+ 111y:
Jawab. Perhatikan langkah-langkah berikut ini.
Langkah ke-1 250 = 2(111) + 28 0<28<111 Langkah ke-2 111 = 3 (28) + 27 0<27<28 Langkah ke-3 28 = 1(27) + 1 0<1<27 Langkah ke-4 27 = 27(1) + 0
Maka gcd(250;111) = 1:Perhatikan bahwa langkah-langkah algotima Euclid bisa diringkas penulisannya dengan menggunakan sifat-sifat gcd berikut
gcd(250;111) = gcd(111;28) = gcd(28;27) = gcd(28;27) = gcd(27;1) = gcd(1;0) = 1:
Selanjutnya, untuk mendapatkan kombinasi linearnya kita lakukan langkah balik. Perhatikan pada Langkah ke-3:
1 = 28 1 (27)
= 28 1 (111 3 (28))
= ( 1) (111) + (4) (28)
= ( 1) (111) + (4) (250 2 (111)) = (4) 250 + ( 9) (111):
Secara umum, untuk k2Z;
1 = (4 111k) 250 + ( 9 + 250k) 111:
z Terkait dengan implementasi, algoritme Euclid dapat dirinci dalam Prose- dur 6 untuk mencari gcd (a; b) dimanaa; b2Z+:
PROSEDUR 6
procedure gcd(a; b: intejer positif, a b) begin r :=a mod b d:=b while r >0 do begin c:=d d:=r r :=c modd end return(d) end
De…nisi 2.4 Misalkan a; b 2 Z: Suatu interjer positif x disebut kelipatan bersamadariadanbjikaxadalah kelipatan dari keduaadanb;atau dengan kata lain
(ajx)^(b jx)
Untuka danb semuanya tak nol,cdisebutkelipatan bersama terkecildari
a dan b; dinotasikan c = lcm (a; b); jika c adalah yang terkecil dari semua kelipatan bersama dari a dan b; atau dengan kata lain
c= minfx2Z+ (a
jx)^(b jx)g:
Sifat-sifat dasar dari kelipatan bersama terkecil dinyatakan sebagai berikut. 1. 8n 2Z+; berlaku
lcm(1; n) = lcm(n;1) = n:
2. 8a; n2Z+; berlaku
lcm(a; na) =na:
3. Jikaa; m; n2Z+ dengan m n; maka
lcm(am; an) = an dan gcd(am; an) = am:
Teorema 2.8 Misalnya c= lcm (a; b):Jikay adalah kelipatan bersama dari
2.4 Algoritme Euclid 53
Teorema 2.9 Untuk a; b2Z+;
ab= lcm (a; b):gcd (a; b):
Jelas bahwa, jika a dan b adalah prima relatif, maka
lcm (a; b) =ab:
Contoh 2.20 Tentukan lcm(168;456):
Jawab. Periksalah bahwa gcd(168;456) = 24: Akibatnya, lcm(168;456) = (168)(456)
24 = 3192:
z Algoritme Euclid dapat diperluas sehingga tidak hanya mengasilkan pem- bagi bersama terbesar dari dua intejer a dan b; tetapi juga menghasilkan intejer x dan y yang memenuhiax+by =d; diberikan dalam Prosedur 7.
PROSEDUR 7
procedure gcd(a; b: intejer positif, positif, a b) begin if b= 0 then begin d:=a; x:= 1; y := 0 return(d; x; y) end x2 := 1; x1 := 0; y2 := 0; y1 := 1 while b >0 do begin q :=ba bc; r :=a qb; x:=x2 qx1; y :=y2 qy1 a:=b; b:=r; x2 :=x1; x1 :=x; y2 :=y1; y1 :=y end d:=a; x:=x2; y :=y2 return(d; x; y) end
Contoh 2.21 Gunakan Prosedur 7 untuk untuk menentukan gcd(a; b), x, dan y, sehingga gcd(a; b) =ax+by jika diketahui a = 4864 dan b= 3458:
Jawab. Tabel berikut menunjukkan langkah-langkah Prosedur 7 dengan input a = 4864 dan b = 3458; diperoleh gcd(4864;3458) = 38 sehingga
(4864)(32) + (3458)( 45) = 38: q r x y a b x2 x1 y2 y1 4864 3458 1 0 0 1 1 1406 1 1 3458 1406 0 1 1 1 2 646 2 3 1406 646 1 2 1 3 2 114 5 7 646 114 3 5 3 7 5 76 27 38 114 76 5 27 7 38 1 38 32 45 76 38 27 32 38 45 2 0 91 28 38 0 32 91 45 128 z Catatan bahwa jawaban dengan tabel pada contoh di atas dapat diseder- hanakan sebagai berikut, demi perhitungan menggunakan pensil dan kertas.
i qi+1 ri xi yi 0 4864 1 0 1 1 3458 0 1 2 2 1406 1 1 3 2 646 2 3 4 5 114 5 7 5 1 76 27 38 6 2 38 32 45 7 0
Perhatikan bahwa isian awal tabel ini adalah r0 =a; x0 = 1; y0 = 0; r1 =b;
x1 = 0; dan y1 = 1:Isian selanjutnya dihitung:
qi = b ri 1 ri c ; untuki 1; xi = xi 2 qi 1:xi 1; untuk i 2; dan yi = yi 2 qi 1:yi 1; untuki 2:
Jika rs = 0; maka proses berhenti. Dalam hal ini gcd(a; b) =rs 1; x=xs 1, dan y =ys 1:
De…nisi 2.5 Intejer positif p disebut prima jika faktor dari p hanyalah 1
dan dirinya sendiri p: Intejer positif yang bukan prima disebutkomposit.
Dari de…nisi tersebut jelas bahwa suatu intejer positifpadalah prima jika memenuhi
2.4 Algoritme Euclid 55
Suatu intejer positif n adalah komposit jika
(9n1; n2 2Z; 1< n1 < n; 1< n2 < n)n =n1n2: Sebagai ilutrasi, barisan prima dapat ditulikan
2;3;5;7;11;13;17; :::
Lemma 2.1 Jikan2Z+ adalah komposit, maka ada primapsehinggapjn: Bukti. Andaikan ada komposit n yang tidak mempunyai faktor prima, dan de…nisikan himpunanSyang anggotanya semua komposit ini, maka jelas bahwaS 6=?:Berdasarkan prinsip keterurutan dengan baik, makaSmemuat unsur terkecil, sebut saja s: Karena s komposit, maka 9s1; s2 2 Z; dengan 1 < s1 < sdan1 < s2 < ssehingga s = s1s2: Karena s tidak mepunyai faktor prima, maka s1 dan s2 haruslah juga tidak mempunyai faktor prima. Akibatnya, s1; s2 2 S; suatu kontradiksi, karena s adalah terkecil di dalam
S: Kesimpulannya,S =? atau n mempunyai faktor prima. z Lemma 2.2 Jika p prima dan pjab; maka pja atau pjb:
Lemma 2.3 Misalkan ai 2 Z+ untuk setiap 1 i n: Jika p prima dan
pja1a2:::an; maka pjai untuk suatu 1 i n:
Teorema 2.10 (Teorema Dasar Aritmatika) Setiap intejer n 2 dapat di- faktorisasikan secara tunggal sebagai produk kuasa prima:
n =pe1 1 p e2 2 :::p ek k ;
dimana pi prima berbeda dan ei intejer positif.
Ilustrasi untuk teorema di atas: 63 = 32:7; 100 = 22:52; 4864 = 28:19; 3458 = 2:7:13:19:
Contoh 2.22 Tentukan faktorisasi intejer 980220:
Jawab. Perhatikan langkah-langkah berikut ini
980220 = 21(490110) = 22(245055) = 2231(81685)
= 223151(16337) = 223151171(961) = 223151171312:
Contoh 2.23 Misalkan n2Z+ dan
10:9:8:7:6:5:4:3:2:n= 21:20:19:17:16:15:14:
Tunjukkan bahwa 17jn:
Jawab. Perhatikan bahwa karena17 membagi ruas kanan, maka 17j10:9:8:7:6:5:4:3:2:n:
Dari fakta ini dan karena 17- 10; 17- 9; 17 - 8; 17 - 7; 17 - 6; 17 -5; 17 -4;
17 - 3; dan 17- 2; berdasarkan Lemma 2.3 maka dapat disimpulkan bahwa
17jn: z
Soal 2.4.1 Untuk masing-masing dari pasangan a; b 2 Z+ berikut ini, ten-
tukan gcd(a; b) dan nyatakan sebagai kombinasi linear dari a; b:
a) a= 231; b= 1820 b) a= 1369; b= 2597 c) a = 2689; b= 4001.
Soal 2.4.2
1. Untuk a; b2Z+ dan d= gcd(a; b); buktikan bahwa gcd(a
d; b d) = 1
2. Untuk a; b; n2Z+ dan d = gcd(a; b); buktikan bahwa gcd(na; nb) = n:gcd(a; b)
3. Misalkan a; b; c2Z+ dengan c= gcd(a; b); buktikan bahwa
c2 jab:
4. Untuk a; b; c; d2Z+; buktikan bahwa jika d=a+bc; maka gcd(b; d) = gcd(a; b):
5. Misalkan a; b; c2Z+ dengan gcd(a; b) = 1: Jika ajbc; buktikan bahwa
ajc: