4.3 Relasi Rekurensi
4.3.3 Relasi Rekurensi Tak-homogen
Kita perhatikan relasi rekurensi
an an 1 =f(n); n 1;
f(n) tidak semuanya nol untuk nilain; maka solusinya
an =a0+
n
X
i=1
f(i): (4.6)
Kita dapat menyelesaikan Persamaan (4.6) dalam n; jika kita dapat meru- muskan Pni=1f(i):
4.3 Relasi Rekurensi 121
Contoh 4.20 Selesaikan relasi rekurensi
an an 1 = 3n2; n 1; dan a0 = 7: Jawab. Disinif(n) = 3n2; sehingga solusi umumnya
an = a0+ n X i=1 f(i) = 7 + n X i=1 3i2 = 7 + 1 2(n) (n+ 1) (2n+ 1) z
Pengantar Teori Graf
5.1
Konsep Dasar Graf
De…nisi 5.1 Misalkan V adalah himpunan takkosong dan berhingga, dan misalkan pula E V V. Pasangan (V; E) disebut graph berarah (di- rected graph – digraph) pada V, dimana V disebut himpunan verteks atau
node, dan E disebut himpunan (directed) edge atau arc. Selanjutnya un- tuk menyatakan graph seperti ini ditulis G= (V; E). JikaE himpunan edge
takberarah,G= (V; E) disebut graph takberarah.
Contoh 5.1 Dide…nisikan suatu graf berarah G= (V; E) dengan
V =fa; b; c; d; eg dan E =f(a; a);(a; b);(a; d);(b; c)g:
Graf ini direpresenratasikan pada Gambar 5.1.
5.1 Konsep Dasar Graf 123
a b
d c
e
Gambar 5.1
Untuk sembarang edge, misalkane= (x; y), makaedisebutinsiden(inci- dent) dengan verteksxdany; xdisebutadjacent ke y;danydisebutadjacent dari x: Suatu verteks yang adjacent ke dirinya sendiri disebut loop. Suatu verteks yang tidak adjacent dengan verteks apapun termasuk dirinya sendiri disebut verteks terisolasi. Pada Gambar 5.1, edge (a; a) adalah loop dan verteks e adalah verteks yang terisolasi.
Contoh 5.2 Dide…nisikan suatu graf takberarahG= (V; E) dengan
V =fa; b; c; dg dan E =ffa; bg;fa; dg;fb; cgg
Graf ini direpresenratasikan pada Gambar 5.2.
a b
d c
Perhatikan bahwa pada pede…nisian graf takberarah edge-nya diberikan dalam bentuk himpunan, misalnya sajafa; bg:Sesuai dengan pengertian him- punan, ini berarti urutannya tidak diperhatikan, sehingga fa; bg = fb; ag:
Sedangkan pada pede…nisian graf berarah, edge-nya menggunakan pasangan terurut, sehingga(a; b)6= (b; a):Di dalam diktat ini,jika diberikan suatu graf
G tanpa keterangan apapun (berarah atau takberarah), maka yang dimaksud adalah graf takberarah dan tanpa loop.
De…nisi 5.2 Misalkanxdany (tidak perlu berbeda) adalah verteks di dalam suatu graph takberarah G = (V; E). Suatu walk x y di dalam G adalah barisan berhingga (bebas loop)
x=x0; e1; x2; e2; : : : ; en 1; xn 1; en; xn =y
dari verteks dan edge (selang-seling) yang diawali dan diakhiri oleh verteks.
Panjang dari suatu walk, dinotasikan dengan n, adalah banyaknya edge yang terdapat di dalam walk itu. Jika n = 0; berati walk tidak memuat edge, maka walk disebut trivial.
Jika x=y; walk disebut tertutup. Jika x6=y; walk disebut terbuka.
Catatan bahwa bahwa barisan pada de…nisi walk di atas, verteks dan edge boleh diulang.
De…nisi 5.3 Pandang sembarang walk x y dalam suatu graph takberarah
G= (V; E).
Jika tidak ada edge yang diulang di dalam barisan x y; maka walk disebut trail x y: Trail yang tertutup (verteks awal dan akhir sama) disebut sirkuit (circuit). Catatan bahwa di dalam trail, verteks boleh berulang.
Jika setiap verteks hanya muncul sekali (tidak boleh berulang) di dalam barisanx y;maka walk disebutpathx y:Path yang tertutup (verteks awal dan akhir sama) disebut cycle.
Pengertian pada de…nisi di atas juga berlaku untuk graph berarah. Hanya saja peristilahannya menjadi: trail berarah,sirkuit berarah,path berarah, dan
5.1 Konsep Dasar Graf 125
a b
d c
e
Gambar 5.3
Contoh 5.3 Dari Gambar 5.3, buatlah suatu contoh: 1. walk a c dengan panjang 5:
2. trail a d dengan panjang 5:
3. sirkuit a a dengan panjang 6:
4. path a c dengan panjang 4:
5. cycle a a dengan panjang 5:
Jawab. Berdasarkan de…nisinya, berikut ini diberikan masing-masing satu contoh untuk:
1. walka c dengan panjang5 :
fa; bg;fb; dg;fd; ag;fa; bg;fb; cg:
2. traila d dengan panjang 5 :
fa; bg;fb; eg;fe; cg;fc; bg;fb; dg:
3. sirkuita a dengan panjang6 :
4. patha c dengan panjang4 :
fa; bg;fb; dg;fd; eg;fe; cg:
5. cycle a a dengan panjang5 :
fa; bg;fb; dg;fd; eg;fe; cg;fc; ag:
z
Teorema 5.1 MisalkanG= (V; E)adalah graph takberarah dengana; b2V
dan a6=b: Jika ada trail di dalamG dari a ke b, maka ada path di dalamG
dari a ke b.
Bukti. Karena ada traila b di dalam G;maka dapat dipilih satu yang terpendek, sebut saja
fa; x1g;fx1; x2g; :::;fxn; bg: (5.1)
Jika trail ini tidak mempunyai path, maka ia pasti mempunyai bentuk fa; x1g;fx1; x2g; :::;fxk 1; xkg;fxk; xk+1g;fxk+1; xk+2g; :::; fxm 1; xmg;fxm; xm+1g;fxm+1; xm+2g; :::;fxn; bg;
dimana k < m dan xk = xm; bisa terjadi k = 0 dan a(= x0) = xm; atau,
m =n+ 1 dan xk =b(=xn+1):Ini adalah suatu kontradiksi, karena barisan fa; x1g;fx1; x2g; :::;fxk 1; xkg;fxm; xm+1g; :::;fxn; bg
merupakan trail yang lebih pendek dari trail (5.1). z
De…nisi 5.4 Graph takberarahGdisebut terhubung(connected) jika untuk setiap dua verteks yang berbeda terdapat suatu path yang menghubungkan keduanya. Jika tidak demikian G disebut takterhubung (disconnected).
5.1 Konsep Dasar Graf 127
a b
e d c
f
Gambar 5.4
Contoh 5.4 Gambar 5.2 dan Gambar 5.3 merupakan contoh graf terhubung. Sedangkan Gambar 5.4 merupakan contoh graf takterhubung.
Gambar 5.4 merepresentasikan graf takterhubungG= (V; E); dimanaV
dapat dipartisikan dalam dua subhimpunan V1 =fa; b; c; dg dan V2 =fe; fg sedemikian sehingga tidak ada edge fx; yg 2 E dengan x 2 V1 dan y 2
V2. Dalam hal ini Graf G terpartisikan menjadi 2 graf yaitu G1 = (V1; E1) dan G2 = (V2; E2), dimana E1 = ffa; bg;fa; dg;fb; cgg dan E2 = ffe; fgg: Anggota partisi dari suatu graf takterhubung disebut dengan komponen.
Secara umum, suatu graf dikatakan takterhubung jika ia terpartisikan menjadilebih dari satu komponen, sedangkan suatu graf dikatakanterhubung
jika ia terdiri dari hanya satu komponen. Banyaknya komponen dari suatu graf Gdinotasikan dengan K(G): Misalnya, untuk graf Gpada Gambar 5.4, K(G) = 2:
De…nisi 5.5 Misalkan V himpunan takkosong dan berhingga. Pasangan
(V; E) menentukanmultigrafGdengan himpunan verteksV dan himpunan edge E, jika untuk suatu x; y 2V, ada dua atau lebih edge dalam E berben- tuk:
(x; y) untuk multigraph berarah, atau
e
a b
d c
Gambar 5.5
Gambar 5.5 merupakan contoh representasi dari suatu multigraf berarah.
b e f
a g
c d
Gambar 5.6
Soal 5.1.1 Untuk suatu graf G= (V; E) yang direpresentasikan pada Gam- bar 5.6, tentukan:
1. contoh suatu walk b d di dalamG yang bukan suatu trail. 2. contoh suatu trail b d di dalamG yang bukan suatu path. 3. contoh suatu path b d di dalam G.
4. contoh suatu walk tertutup b b di dalamG yang bukan suatu sirkuit. 5. contoh suatu sirkuit b b di dalam G yang bukan suatu cycle.
5.1 Konsep Dasar Graf 129
6. contoh suatu cycle b d di dalamG. 7. banyaknya semua path b f:
a k l
d g m
j
e f h i
Gambar 5.7
Soal 5.1.2 Misalkan a dan b adalah dua verteks yang berbeda di dalam su- atu graf takberarah dan terhubung. Jarak dari a ke b dide…nisikan sebagai panjang path terpendek dari ake b (jikaa =b; jaraknya dide…nisikan sebagai
0). Untuk suatu graf G yang direpresentasikan pada Gambar 5.7, tentukan jarak dari verteks d ke verteks yang lain di dalamG:
Soal 5.1.3 Untuk n 2; misalkan G= (V; E)adalah graf tak berarah tanpa loop dimana V adalah himpunan semua bitstring dengan panjang n; dan
E =ffu; vg u; v 2V dan u; v berbeda di tepat 2 posisig:
Ilustrasi, misalkan n= 4; u= 1011; v = 0010; danw= 1010; makafu; vg 2 E; fu; wg2= E; dan fv; wg2=E: Tentukan K(G):
Soal 5.1.4 Tujuh kota a; b; c; d; e; f; dan g dihubungkan oleh suatu sistem jalan bebas hambatan sebagai berikut:
I-22 menghubungkan dari a ke cmelalui b:
I-44 menghubungkan dari d ke a melalui e:
I-55 menghubungkan dari f ke b melalui g:
I-66 menghubungkan dari g ke d:
Terkait dengan sistem tersebut, jawablah6 pertanyaan berikut ini. 1. Dengan merepresentasikan kota sebagai verteks, segmen jalan bebas
hambatan sebagai edge berarah, gambarkan graf berarah yang merep- resentasikan sistem di atas.
2. Daftarkan semua path dari g ke a:
3. Tentukan jumlah terkecil segmen jalan yang diharuskan tertutup agar perjalanan dari b ke d terhalang.
4. Apakah mungkin berangkat dari c dan kembali lagi ke c; dan mengun- jungi semua kota yang lain masing-masing hanya sekali.
5. Jawablah Pentanyaan 4: jika tidak diharuskan kembali lagi ke c:
6. Apakah mungkin berangkat dari suatu kota melalui semua jalan masing- masing hanya sekali. (Pada pertanyaan ini dibolehkan mengunjungi suatu kota lebih dari satu kali, dan tidak diharuskan kota terakhir sama dengan kota saat berangkat.)
Soal 5.1.5 MisalkanG= (V; E) adalah graf takberarah dan tanpa loop, dan misalkan pula fa; bg adalah suatu edge di dalam G: Buktikan bahwa fa; bg
adalah anggota dari suatu cycle di dalamG jika dan hanya jika penghapusan
fa; bg (verteks a dan b tidak ikut terhapus) tidak menghasilkan graf takter- hubung.
Soal 5.1.6 Berikan suatu contoh graf G yang apabila dihapus sembarang edge-nya menghasilkan graf takterhubung.
Soal 5.1.7 Jawablah 2 pertanyaan berikut ini.
1. JikaG= (V; E)adalah graf takberarah dan tanpa loop, dengan jVj=v
dan jEj=e; buktikan bahwa
5.1 Konsep Dasar Graf 131
2. Nyatakan rumusan seperti Pertanyaan 1: untuk kasus graf berarah.
Soal 5.1.8 Misalkan G = (V; E) adalah graf takberarah. De…nisikan suatu relasi R pada V dengan aRb jika dan hanya jika ada suatu path a b di dalam G. Buktikan bahwa R adalah relasi ekuivalensi. Terangkan bertuk partisi dari V yang disebabkan oleh R: