b) Untuk semua n2N+ dimana n >1; a
n = 2abn
2c;
1. tentukan an untuk semua 2 n 8:
2. buktikan bahwa an n untuk semua n 2Z+:
Soal 3.2.7 MisalkanA =f1;2;3;4;5g; B =fw; x; y; zg; A1 =f2;3;5g A;
dan g :A1 !B: Tentukan banyaknya cara memperluas (ekstensi) g menjadi
fungsi f :A!B:
Soal 3.2.8 Untuk n2Z+, dide…nisikan X
n =f1;2; :::; ng: Diberikanm; n2
Z+; fungsi f :Z
m !Zn disebut naik monoton jika untuk setiap i; j 2Zm
berlaku
1 i < j m)f(i) f(j):
1. Ada berapa banyak fungsi naik monoton dari X7 ke X5:
2. Ada berapa banyak fungsi naik monoton dari X6 ke X9:
3. Buatlah generalisasi dari jawaban Pertanyaan 1: dan 2:
4. Tentukan banyaknya fungsi naik monotonf :X10 !X6 dimanaf(4) = 4:
5. Tentukan banyaknya fungsi naik monotonf :X7 !X12dimanaf(5) = 9:
6. Buatlah generalisasi dari jawaban Pertanyaan 4: dan 6:
3.3
Fungsi Surjektif dan Bilangan Stirling Je-
nis Kedua
De…nisi 3.9 Suatu fungsi f :A!B disebut surjektif (onto), jikaf(A) =
B; artinya
(8y2B)(9x2A) y=f(x):
Contoh 3.12 Jika A=f1;2;3;4g dan B =fx; y; zg; Jelaskan bahwa
f1 = f(1; z);(2; y);(3; x);(4; y)g dan
f2 = f(1; x);(2; x);(3; y);(4; z)g
adalah dua fungsi surjektif dari A ke B; sedangkan fungsi
g =f(1; x);(2; x);(3; y);(4; y)g
Jawab. Perhatikan bahwa semua anggota B muncul sebagai komponen kedua di dalam keanggotaan f1 dan f2, sehingga f1 dan f2 adalah fungsi surjektif. Sekarang perhatikan fungsi g; ada anggota B yaitu z yang tidak muncul sebagai komponen kedua di dalam keanggotaan g; sehinggag tidak
surjektif. z
Contoh 3.13 Jelaskan bahwa fungsi f :Z!Z yang dide…nisikan dengan
f(x) = 3x+ 1; 8x2Z;
dan fungsi g :R!R yang dide…nisikan dengan
g(x) = x2; 8x2Z;
adalah tidak surjektif.
Jawab. Ambily= 2; maka3x+ 1 = 2tidak mempunyai solusi di dalam Z: Ini berarti 9y 2 Z (dalam hal ini ditunjukkan y = 2) sehingga @x 2 Z yang berlaku y=f(x):
Ambil y = 1; maka x2 = 1 tidak mempunyai solusi di dalam R: Ini berarti 9y 2 R (dalam hal ini ditunjukkan y = 1) sehingga @x 2 R yang
berlaku y=g(x): z
Contoh 3.14 Buktikan bahwa fungsi g :Q!Q yang dide…nisikan dengan
g(x) = 3x+ 1; 8x2Q;
dan fungsi h:R!R yang dide…nisikan dengan
h(x) =x3; 8x2R;
adalah surjektif.
Bukti. Ambil sembarangy 2 Q; makay = 3x+ 1, x= y31 dan jelas bahwa x2Q: Dengan demikian,(8y2Q)(9x= y31 2Q)sehingga berlaku
g(x) = g(y 1
3 )
= 3((y 1
3 ) + 1
= y:
3.3 Fungsi Surjektif dan Bilangan Stirling Jenis Kedua 73
Ambil sembarangy2R;makay=x3 ,x=p3y dan jelas bahwax2R: Dengan demikian, (8y2R)(9x=p3y 2R)sehingga berlaku
h(x) = h(p3 y) = (p3y)3
= y:
Kesimpulannya, h adalah surjektif. z
Dari de…nisi di atas jelas bahwa untukAdanB himpunan berhingga, jika
f : A ! B adalah surjektif, maka jAj jBj: Dua contoh berikut ini akan mengarah ke konklusi tentang banyaknya cara pende…nisian fungsi surjektif. Contoh 3.15 Jika A = fx; y; zg dan B = f1;2g; jelaskan bahwa semua fungsi f : A ! B adalah surjektif kecuali f merupakan fungsi konstan. Selanjutnya, simpulkan bahwa ada6cara mende…nisikan fungsi surjektif dari
A ke B: Kemudian, nyatakan secara umum untuk A sembarang himpunan dengan jAj=m 2; sedangkan ditetapkan B =f1;2g; maka ada
2m 2
cara mende…nisikan fungsi surjektif dari A ke B:
Jawab. Fungsi kosntan dari A keB ada 2; yaitu
f1 =f(x;1);(y;1);(z;1)g dan f1 =f(x;2);(y;2);(z;2)g:
Jika f : A ! B tidak kontan, maka jelas bahwa semua anggota B muncul sebagai komponen kedua di dalam keanggotaanf;akibatnyaf pasti surjektif. Dengan demikian, karena ada jBjjAj = 23 = 8 cara mende…nisikan semua fungsi dari A ke B; sedangkan hanya dua yang tidak surjektif, maka ada
8 2 = 6 cara mende…nisikan fungsi surjektif dari A keB: z
Contoh 3.16 Misalkan A =fx; y; z; wg dan B = f1;2;3g: Buktikan bahwa ada 3 3 3 4 3 2 2 4+ 3 1 1 4
cara mende…nisikan fungsi surjektif dari A ke B: Kemudian, nyatakan se- cara umum untuk A sembarang himpunan dengan jAj = m 3; sedangkan ditetapkan B =f1;2;3g; maka ada
3 3 3 m 3 2 2 m+ 3 1 1 m
Bukti. Berdasarkan Konklusi 2, jumlah fungsi yang bisa kita de…nisikan dari A ke B adalah34: Berdasarkan Contoh 1.14, ada 3
2 = 3 subhimpunan dari B yang berkardinalitas2;yaitu f1;2g;f1;3g;dan f2;3g:Jumlah fungsi dari A ke f1;2g adalah 24 termasuk fungsi konstan dari A ke f1g dan dari
A ke f2g: Secara sama, jumlah fungsi dari A ke f1;3g adalah 24 termasuk fungsi konstan dariAkef1gdan dariAkef3g:Demikian pula, jumlah fungsi dari Akef2;3g adalah24 termasuk fungsi konstan dariAkef2gdan dariA kef3g:Dengan demikian, total jumlah fungsi dariAke semua subhimpunan dari B yang berkardinalitas1 atau 2 adalah
3
2 2
4 3
1 1
4
(Perhatikan bahwa fungsi konstan masing-masing terhitung 2 kali; dalam hal ini fungsi kontan ada 31 jenis, yaituA ke f1g; A kef2g; dan A ke f3g;
dimana masing-masing berjumlah 1jAj = 14). Jelas bahwa jumlah tersebut merupakan jumlah semua fungsi ini bukan merupakan fungsi surjektif dari
A ke B: Kesimpulannya, jumlah semua fungsi yang surjektif dari A ke B
adalah 34 3 2 2 4 3 1 1 4 = 3 3 3 4 3 2 2 4+ 3 1 1 4 = 36 z Dua contoh terakhir di atas mengarah ke suatu pola (generalisasi) yang di berikan berikut ini, tanpa pembuktian.
Konklusi 4 Untuk sembarang himpunan berhingga tak-kosongAdanB den- gan jAj=m dan jBj=n; maka ada sebanyak
n n n m n n 1 (n 1) m+ n n 2 (n 2) m ::: +( 1)n 2 n 2 2 m+ ( 1)n 1 n 1 1 m = n 1 X k=0 ( 1)k n n k (n k) m = n X k=0 ( 1)k n n k (n k) m
3.3 Fungsi Surjektif dan Bilangan Stirling Jenis Kedua 75
Contoh 3.17 Misalkan A = f1;2;3;4;5;6;7g dan B = fw; x; y; zg: Ada berapa cara mende…nisikan fungsi surjektif dari A ke B?
Jawab. Dengan menerapkan Konklusi 4, banyaknya fungsi surjektif dari
A ke B adalah 4 X k=0 ( 1)k 4 4 k (4 k) 7 = 4 4 4 7 4 3 3 7+ 4 2 2 7 4 1 1 7 = 8400: z
Contoh 3.18 Departemen Pertahanan mempunyai 7 proyek yang berkaitan dengan keamanan tingkat tinggi. Telah ditunjuk 4 perusahaan untuk menan- gani ketujuh proyek tersebut. Demi memaksimalkan tingkat keamanan, setiap proyek tidak boleh ditangani oleh lebih dari satu perusahaan. Ada berapa cara pemberian proyek agar keempat perusahaan terlibat?
Jawab. Contoh ini dapat dimodelkan ke dalam Contoh 3.17 dengan memisalkanAadalah himpunan proyek danBadalah himpunan perusahaan. Banyaknya cara pemberian proyek merupakan merupakan banyaknya cara pende…nisian fungsi surjektif dari AkeB; sehingga jawabannya adalah8400
cara. z
Contoh 3.19 7 orang yang tidak saling kenal berada di lantai dasar sebuah gedung yang secara bersamaan akan menggunakan suatu lift untuk naik ke lantai atas. Jika gedung tersebut mempunyai 4 lantai (tingkat) diatas lantai dasar, tentukan probabilitas bahwa lift harus berhenti di setiap lantai lantaran ada diantara ketujuh orang tersebut yang keluar dari lift.
Jawab. Ukuran ruang contoh dari contoh soal ini adalah banyaknya cara 7 orang memilih 4 lantai (atau banyaknya cara pende…nisian fungsi dari domain berukuran 7ke kodomain berukuran 4), yaitu47 = 16384cara. Sedangkan ukuran ruang kejadiannya merupakan model Contoh 3.17, yaitu 8400cara. Dengan demikian, probabilitas bahwa lift harus berhenti di setiap
lantai adalah 163848400 = 0;5127: z
Contoh 3.20 Staf TU Departemen Matematika terdiri dari Kepala TU dan
3 asisten administratif. Misalkan ada 7 dokumen Departemen yang harus diproses oleh staf TU dan diharuskan tidak ada staf yang nganggur. Ada berapa cara Sekretaris Departemen menugasi staf TU apabila:
1. tidak batasan lagi?
2. Kepala TU harus mengerjakan satu dokumen yang paling penting? 3. Selain mengerjakan satu dokumen yang paling penting, Kepala TU
masih dibolehkan mengerjakan dokumen yang lain?
Jawab. Pertanyaan pada contoh soal ini merupakan model Contoh 3.17. Dengan demikian,
1. apabila tidak ada batasan lagi, jawabannya adalah 8400 cara.
2. Kepala TU harus mengerjakan satu dokumen yang paling penting, be- rarti6dokumen tersisa harus dikerjakan oleh3staf, sehingga jawaban- nya adalah 3 X k=0 ( 1)k 3 3 k (3 k) 6 = 540 cara.
3. apabila Kepala TU masih dibolehkan mengerjakan dokumen yang lain, berarti 6 dokumen tersisa harus dikerjakan oleh 4 staf, sehingga jawa- bannya adalah 4 X k=0 ( 1)k 4 4 k (4 k) 6 = 1560cara. z Contoh berikut ini akan mengarah generalisasi bilangan Stirling jenis ke- dua.
Contoh 3.21 Jika A = fa; b; c; dg dan B = f1;2;3g; maka ada 36 fungsi surjektif dari A ke B: Bentuk verbal dari pernyataan ini adalah ada 36
cara mendistribusikan 4 obyek yang berbeda ke dalam 3 wadah “yang da- pat dibedakan” (urutan wadah diperhatikan), dengan syarat tidak ada wadah yang kosong. Dari 36 cara tersebut, perhatikan 6 contoh berikut ini:
1) fa; bg1 fcg2 fdg3 2) fa; bg1 fdg2 fcg3 3) fcg1 fa; bg2 fdg3 4) fcg1 fdg2 fa; bg3 5) fdg1 fa; bg2 fcg3 6) fdg1 fcg2 fa; bg3
dimana, misalnya, notasifcg2 diartikan sebagaicada di dalam wadah kedua.
Sekarang, jika wadah “tidak lagi dapat dibedakan” (urutan wadah tidak diper- hatikan), maka keenam(3!)contoh tersebut dianggap identik (tidak dibedakan).
3.3 Fungsi Surjektif dan Bilangan Stirling Jenis Kedua 77
Dengan demikian, ada 36
3! = 6 cara mendistribusikan 4 obyek yang berbeda
ke dalam 3wadah “yang identik” (urutan wadah tidak diperhatikan), dengan syarat tidak ada wadah yang kosong.
Konklusi 5 Untuk m n; banyaknya cara mendistribusikan m obyek yang berbeda ke dalam n wadah yang identik, dengan tidak dibolehkan ada wadah yang kosong, adalah
1 n! n X k=0 ( 1)k n n k (n k) m:
Bilangan ini dinotasikan dengan S(m; n); dan disebut bilangan Stirling jenis kedua. Perhatikan bahwa jika jAj =m n = jBj; maka banyaknya fungsi surjektif dari A ke B adalah n!:S(m; n):
Teorema 3.3 Bilangan Stirling jenis kedua S(m; n) dapat dirumuskan se- cara rekursif dengan
S(m;1) = 1; S(m; m) = 1;
S(m; n) = S(m 1; n 1) +n:S(m 1; n); untuk 2 n m 1:
Bukti. Dari Konklusi 5, jelas bahwaS(m;1) = 1dan S(m; m) = 1:Mis- alkanA=fa1; a2; ::; amg;banyaknya cara mendistribusikan anggota-anggota
A ke dalamnwadah yang identik adalahS(m; n):DariS(m; n)cara pendis- tribusian ini hanya ada dua kemungkinan, yaitu:
1. am berada di dalam suatu wadah sedirian, atau
2. am berada di dalam suatu wadah tidak sedirian.
Pencacahan kasus yang pertama. Tempatkanam pada salah satu wadah,
kemudian anggota A yang tersisa didistribusikan ke dalam wadah yang ter- sisa, dengan tidak ada wadah yang kosong, sehingga adaS(m 1; n 1)cara pendistribusian.
Pencacahan kasus yang kedua. Distribusikan anggota A yang tersisa (tanpaam) ke dalam ke dalamnwadah tanpa ada yang kosong, sehingga ada
S(m 1; n)cara pendistribusian. Pada setiap cara ini, kemudian diikuti pen- empatan am pada n wadah, sehingga ada n cara penempatan. Bedasarkan
Aturan Kali, secara keseluruhan n:S(m 1; n)cara pendistribusian. Akhirnya, berdasarkan Aturan Jumlah,
z Dari teorema di atas, sebagaimana bilangan binomial, kalkulasi bilangan Stirling dapat disusun berdasarkan segitiga Pascal.
m 1 1 2 1 1 3 1 3 1 4 1 7 6 1 5 1 15 25 10 1 6 1 31 90 65 15 1 7 1 63 301 350 140 21 1
Dari tabel di atas, perhatikan perhitungan berikut.
S(5;3) = S(4;2) + 3:S(4;3) = 7 + 3:6 = 25: S(7;5) = S(6;4) + 5:S(6;5) = 65 + 5:15 = 140: S(8;4) = S(7;3) + 4:S(7;4) = 101 + 4:350 = 1501: Contoh 3.22 Untukm n; n P i=1
S(m; i)adalah banyaknya cara yang mungkin untuk mendistribusikan m obyek yang berbeda ke dalamn wadah yang iden- tik dengan ada wadah yang kosong diperbolehkan. Perhatikan dari baris ke-4
dalam tabel bilangan Stirling di atas, bahwa ada 1 + 6 + 7 = 14 cara mendis- tribusikan 4 obyek yang berbeda ke dalam 3 wadah yang identik, dengan ada wadah yang kosong diperbolehkan.
Soal 3.3.1 Berikan suatu contoh himpunan berhingga Adan B denganjAj;
jBj 4 dan fungsi f :A!B sedemikian sehingga 1. f bukan fungsi injektif maupun surjektif. 2. f fungsi injektif tetapi tidak surjektif. 3. f surjektif tetapi tidak injektif.
4. f surjektif maupun injektif.
Soal 3.3.2 Untuk setiap fungsi f : Z!Z berikut ini, tentukan apakah f
merupakan fungsi injektif dan apakah surjektif. Jikaf bukan fungsi surjektif, tentukan imejnya.
a) f(x) = x+ 7 b) f(x) = 2x 3 c) f(x) = x+ 5 d) f(x) = x2 e) f(x) = x2+x f) f(x) =x3
3.3 Fungsi Surjektif dan Bilangan Stirling Jenis Kedua 79
Soal 3.3.3 Misalkan A=f1;2;3;4g dan B =f1;2;3;4;5;6g:
1. Ada berapa banyak fungsi dari A ke B?
2. Ada berapa banyak fungsi dari A ke B yang injektif? 3. Ada berapa banyak fungsi dari A ke B yang surjektif? 4. Ada berapa banyak fungsi dari B ke A?
5. Ada berapa banyak fungsi dari B ke A yang injektif? 6. Ada berapa banyak fungsi dari B ke A yang surjektif?
Soal 3.3.4 1. Periksalah bahwa n X k=0 ( 1)k n n k (n k) m = 0 untuk n = 5 dan m = 2;3;4: 2. Periksalah bahwa 57 =P5 i=1 m i (i!)S(7; i):
3. Berilah argumen kombinatorial untuk membuktikan bahwa
mn = n X i=1 m i (i!)S(n; i); 8m; n2Z +: Soal 3.3.5
1. MisalkanA=f1;2;3;4;5;6gdanB =fv; w; x; y; zg:Tentukan banyaknya fungsi f :A!B dimana (a) f(A) = fv; xg; (b) jf(A)j= 2; (c) f(A) = fw; x; yg; (d) jf(A)j= 3; (e) f(A) = fv; x; y; zg; dan (f) jf(A)j= 3:
2. Misalkan A dan B adalah himpunan dengan jAj = m n = jBj:
Jika k 2 Z+ dengan 1 k n; berapa banyaknya fungsi f : A ! B
sehingga jf(A)j=k:
Soal 3.3.6 Seorang instruktur laboratorium komputasi mempunyai 5 orang asisten yang diminta untuk menyelesaikan suatu program yang terdiri atas 9
modul. Ada berapa cara sang instruktur menugasi asistennya dengan syarat semua asisten mendapat tugas dan setiap modul tidak boleh dikerjakan oleh lebih dari satu asisten?
Soal 3.3.7 Misalkan kita mempunyai8 bola dengan warna yang berbeda dan
3 wadah yang diberi nomor I; II; III:
1. Ada berapa cara kita dapat mendistribusikan bola ke dalam wadah se- hingga tidak ada wadah yang kosong?
2. Diketahui salah satu bola berwarna biru. Ada berapa cara kita dapat mendistribusikan bola ke dalam wadah sehingga tidak ada wadah yang kosong dan bola biru ada di wadah nomor II?
3. Jika nomor wadah kita hapus sehingga kita tidak mampu membedakan- nya, ada berapa cara kita dapat mendistribusikan bola ke dalam wadah sehingga tidak ada wadah yang kosong?
4. Jika nomor wadah kita hapus sehingga kita tidak mampu membedakan- nya, ada berapa cara kita dapat mendistribusikan bola ke dalam wadah, dengan ada wadah yang kosong diperbolehkan?
Soal 3.3.8
1. Tentukan dua baris berikutnya (yaitu m = 8 dan m = 9) dalam tabel bilangan Stirling.
2. Tuliskan program komputer (atau membuat algoritme) untuk menghi- tung bilangan Stirling S(m; n) jika 1 m 12dan 1 n m:
Soal 3.3.9
1. Untuk m; n:r 2 Z+ dengan m nr; misalkan S
r(m; n) menotasikan
banyaknya cara mendistribusikan m obyek yang berbeda ke dalam n
obyek yang identik, dimana setiap wadah menerima sedikitnyar obyek. Periksalah bahwa
Sr(m; n) =
m 1