1. Buktikan bahwa gcd(n; n+ 2) = (1_2):
2. Berapa nilai yang mungkin darigcd(n; n+3)?Bagaimana dengangcd(n; n+ 4)?
3. Secara umum, untukk2Z+;berapa nilai yang mungkin darigcd(n; n+
k)? Buktikan dengan induksi matematik.
Soal 2.4.4 Tentukan nilai-nilai dari c 2 Z+; 10 < c < 20; sedemikian se-
hingga persamaan Diophantine84x+990y=ctidak mempunyai solusi. Ten- tukan solusi untuk nilai-nilai cyang lainnya (nilai cdalam kasus persamaan mempunyai solusi).
Soal 2.4.5
1. Jika a; b 2 Z+ dengan a = 630; gcd(a; b) = 105; dan lcm(a; b) = 242550; tentukan b:
2. Untuk setiap n 2Z+; tentukan gcd(n; n+ 1) dan lcm(n; n+ 1):
2.5
Aritmatik Intejer Modulo
n
Misalkan n adalah intejer positif.
De…nisi 2.6 Jika a dan b adalah intejer, maka a disebut kongruen ke b
modulo n; ditulisa b(modn);apabila n membagi(a b): Intejern disebut modulus dari kongruensi.
Contoh 2.24 24 9(mod 5) karena 24 9 = 3:5; dan 11 17(mod 7)
karena 11 17 = ( 4)(7):
Teorema 2.11 (Sifat-sifat kongruensi) Untuk semuaa; a1; b; b1; c2Z;maka
berlaku berikut ini.
1. a b(modn), a dan b mempunyai sisa yang sama apabila dibagi n:
2. Re‡eksif.: a a(modn):
3. Simetrik: jika a b(modn); makab a(modn):
5. Jika a a1(modn) dan b b1(modn); maka a+b a1 +b1(modn)
dan ab a1b1(modn):
De…nisi 2.7 Intejer modulo n; dinotasikan Zn; adalah himpunan (kelas
ekuavalensi) intejer f0;1;2; :::; n 1g yang dikenai operasi: jumlah dan kali diperlakukan dalam modulo n. Untuk a; b; c2Zn;
a+b = c,a+b c(modn) ab = c,ab c(modn) Contoh 2.25 Z10 =f0;1;2; :::;9g: Di dalam Z10; 6 + 7 = 3 4 8 = 2 3 9 = 3 + 1 = 4:
De…nisi 2.8 Misalkan a 2 Zn; Invers multiplikatif dari a modulo n
adalah suatu intejer x 2 Zn sehingga ax 1(modn): Faktanya tidak se-
mua anggota Zn mempunyai invers (x belum tentu ada). Dalam hal x yang
bersangkutan ada, maka a disebut invertibel dan x disebut invers dari a;
dinotasikan x=a 1: Selanjutnya, a dibagi b modulo ndiartikan sebagai a
kali b 1 modulo n: gcd (227;1000) 2512 : 13 407 807 929 942 597 099 574 024 998 205 846 127 479 365 820 592 393 377 723 561 443 721 764 030 073 546 976 801 874 298 166 903 427 690 031 858 186 486 050 853 753 882 811 946 569 946 433 649 006 084 096
Teorema 2.12 Misalkan a 2 Zn; a adalah invertible jika dan hanya jika
gcd(a; n) = 1:
Contoh 2.26 Di dalam Z9; unsur-unsur yang invertibel adalah1;2; 4; 5;7;
dan 8: Dalam hal ini, 7 1 = 4 karena 7:4 1 (mod 9):
Catatan 2.1 Berdasarkan Teorema 2.6, gcd(a; n) = 1 jika dan hanya jika ada intejer x dan y sehingga
2.5 Aritmatik Intejer Modulo n 59
Ini berarti x adalah invers dari a modulo n dan untuk menghitung x dapat digunakan Prosedur 7, dengan input a dan n:
327 1mod 500
: (263 162) mod 500 = 106
De…nisi 2.9 Grup multiplikatif dari Zn adalah himpunan
Zn =fa2Zn=gcd(a; n) = 1g
Contoh: Z10 = f1;3;7;9g, Z15 = f1;2;4;7;8;11;13;14g, dan Z5 = f1;2;3;4g: Kardinalitas dari Zn; yaitu jZnj; disebut dengan bilangan Phi
Euler dinotasikan dengan (n);
(n) = jZnj:
Teorema 2.13 (Teorema Fermat) Misalkanpadalah prima. Jikagcd(a; p) = 1; maka
ap 1 1 (mod p):
Khususnya, untuk sembarang intejer a;
ap a (mod p)
Teorema 2.14 (Teorema Euler) Jika a2Zn; maka
a (n) 1 (mod n):
Teorema 2.15 Jika pdanq adalah dua intejer positif dengan gcd(p; q) = 1;
maka
(pq) = (p): (q):
Khususnya, jika p dan q keduanya prima, maka
(pq) = (p 1)(q 1)
Soal 2.5.1 Tanpa melakukan “perkalian yang panjang”, tunjukkan bahwa: 1. 1234567 90123 1(mod 10):
Soal 2.5.2 Misalkan diberikan intejer x dan m 2: Apabila x dibagi m, maka ada intejer r yang memenuhi
x r(modm); 0 r < m
dan sering kali disebut residu tak-negatif terkecil dari x (modm): Ten- tukan residu tak-negatif terkecil dari
315(mod 17) dan 1581(mod 13):
Soal 2.5.3 Misalkan(xnxn 1:::x0)10adalah representasi basis10dari intejer
positif x: Tunjukkan bahwa
x x0 x1+x2 x3+:::+ ( 1)nxn(mod 11);
dan gunakan hasil ini untuk memeriksa apakah1213141516171819habis dibagi
11:
Soal 2.5.4 Tentukan invers dari
a) 2 di dalamZ11; b) 7 di dalam Z15; c) 7 di dalam Z16; d) 5 di dalam Z13:
Soal 2.5.5 Gunakan Prosedur 7 untuk menentukan invers dari
a) 37 di dalam Z120; b) 123 di dalamZ550; c) 400 di dalam Z1923; d) 1115 di dalamZ2664:
Soal 2.5.6 Gunakan teorema Fermat untuk 1. menghitung sisa apabila 347 dibagi 23:
2. membuktikan bahwa
(a+b)p ap+bp(modp)
dimana a; b; p2Z dan p prima.
Soal 2.5.7 Misalkan p prima, dengan memperhatikan produk semua unsur tak-nol di dalam Zp; buktikan bahwa
Chapter 3
Relasi dan Fungsi
Konsep relasi dan fungsi adalah salah satu landasan terpenting yang digu- nakan untuk memahami banyak konsep lain di dalam matematika seperti: aljabar, kalkulus, teori graf, dsb. Namun demikian, sesuai dengan tema matematika diskret, bahasan relasi dan fungsi disini akan digunakan pen- dekatan teori himpunan yang kebanyakan melibatkan konsep kombinatorial.
3.1
Produk Cartesian dan Relasi
De…nisi 3.1 Produk Cartesian atau produk silang dari dua himpunan
A dan B, notasi A B; adalah himpunan
A B =f(a; b)=a2A; b 2Bg:
Setiap anggota dari A B; misalnya (a; b); disebut pasangan terurut (ordered pair), kemudian a dan b disebut komponen pertama dan kedua dari (a; b). Sembarang dua anggota dari A B; misalnya (a; b) dan (c; d);
dikatakan sama (notasinya: (a; b) = (c; d)) jika dan hanya jika a = c dan
b =d:
JikaAdanB berhingga denganjAj=mdanjBj=n, berdasarkan aturan kali jelas bahwa
jA Bj=mn:
De…nisi produk Cartesian dapat diperumum dengan melibatkan lebih dari dua himpunan. Jika n2Z+; n 3;dan A
1; A2; :::; An adalahn himpunan,
maka produk lipat-n dari A1; A2; :::; An; notasinya: A1 A2 ::: An;
dide…nisikan sebagai
A1 A2 ::: An:=f(a1; a2; :::; an)=ai 2Ai;1 i ng:
Sembarang anggota (a1; a2; :::; an) 2 A1 A2 ::: An disebut rangkai-
n terurut (ordered n-tuple). Kesamaan dua anggota A1 A2 ::: An
dide…nisikan sebagai
(a1; a2; :::; an) = (b1; b2; :::; bn) , ai =bi; 1 i n:
A Adinotasikan denganA2;dan secara umum produk lipat-ndariAdinota- sikan dengan An; juga
jAn
j=jAjn:
Contoh 3.1 MisalkanA=fa; bg danB =f1;2;3g;tentukanA B; B A; A2; B2; dan A3:
Jawab. Berdasarkan de…nisinya, maka
A B = f(a;1);(a;2);(a;3);(b;1);(b;2);(b;3)g; B A = f(1; a);(1; b);(2; a);(2; b);(3; a);(3; b)g; A2 = f(a; a);(a; b);(b; a);(b; b)g B2 = f(1;1);(1;2);(1;3);(2;1);(2;2);(2;3);(3;1);(3;2);(3;3)g A3 =f(a; a; a);(a; a; b);(a; b; a);(a; b; b);(b; a; a);(b; a; b);(b; b; a);(b; b; b)g z Dari contoh di atas terlihat bahwa secara umumA B tidak sama dengan
B A; namun aturan kali menjamin bahwa jA Bj=jB Aj:
R R=R2dikenal sebagai bidang (bilangan nyata) dari koordinat geometri atau kalkulus berdimensi dua. R+ R+ adalah interior dari kuadran pertama dari bidang yang bersangkutan. Secara sama,R3 merupakan ruang-3 Euclid- ean.
De…nisi 3.2 Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah sembarang
subhimpunan dari A B: Sembarang subhimpunan dari A A disebut
relasi biner pada A:
Dari Contoh 3.1, beberapa contoh relasi dari A keB adalah:
R1 = f(a;1);(b;3)g; R2 =f(a;1);(a;3);(b;2);(b;3)g;
R3 = f(b;2)g; R4 =?; R5 =A B:
KarenajA Bj= 6; berdasarkan Contoh 1.14, maka banyaknya semua sub- himpunan dari A B adalah 26: Ini berarti banyaknya semua relasi yang bisa dide…nisikan dari AkeB adalah26: Secara umum, fakta ini dinyatakan konklusi berikut ini.
3.1 Produk Cartesian dan Relasi 63
Konklusi 1 Untuk sembarang himpunan berhingga A dan B dengan jAj=
m dan jBj = n; maka ada sebanyak 2mn relasi dari A ke B; termasuk di
dalamnya relasi kosong dan A B sendiri. Secara umum, A B tidak sama dengan B A; tetapi jA Bj = jB Aj: Akibatnya, banyaknya relasi dari
B ke A juga 2mn:
Contoh 3.2 Misalkan A = f0;1;2;3;4g: Relasi biner R pada A dide…n- isikan sebagai: xRy(dibaca: xberrelasi dengany) jika dan hanya jikax y:
Tentukan relasi R:
Jawab. Berdasarkan de…nisi relasiR; maka
R =f(x; y)2A A x yg; atau
R = f(0;0);(0;1);(0;2);(0;3);(0;4);(1;1);(1;2);(1;3);(1;4);
(2;2);(2;3);(2;4);(3;3);(3;4);(4;4)g:
Gambarkan R dalam sistem koordinat bidang! z Contoh 3.3 Misalkan B =fx2 Zj 0 x 10g: Jika relasi biner R pada
B dide…nikan: xRy jhj y= 3x 1: Tentukan relasi R:
Jawab. Berdasarkan de…nisi relasiR; maka
R = f(x; y)2B2 y= 3x 1g = f(1;2);(2;5);(3;8)g
z
Teorema 3.1 Untuk sembarang himpunan A; B; dan C; berlaku: 1. A (B\C) = (A B)\(A C):
2. A (B[C) = (A B)[(A C):
3. (A\B) C = (A C)\(B C):
4. (A[B) C = (A C)[(B C):
Soal 3.1.1 Misalkan A = f1;2;3;4g; B = f2;5g; dan C = f3;4;7g; ten- tukan A B; B A; A (B[C); (A[B) C; dan (A C)[(B C):
Soal 3.1.2 Jika A=f1;2;3g dan B =f2;4;5g;
1. buatlah tiga contoh relasi tak-nol dari A ke B:
2. buatlah tiga contoh relasi biner tak-nol pada A:
3. tentukan jA Bj:
4. tentukan banyaknya semua relasi dari A ke B:
5. tentukan banyaknya semua relasi biner pada A:
6. tentukan banyaknya relasi dari A ke B yang memuat (1;2) dan (1;5):
7. tentukan banyaknya relasi dariA ke B yang memuat tepat lima pasan- gan terurut.
8. tentukan banyaknya relasi biner pada A yang memuat sedikitnya 7
anggota.