4.3 Relasi Rekurensi
5.1.1 Subgraf, Komplemen, dan Isomor…sma
De…nisi 5.6 Misalkan G = (V; E) sembarang graf berarah maupun tidak.
G1 = (V1; E1) disebutsubgraf dariG jika?6=V1 V danE1 E, dimana
setiap edge dalam E1 insiden dengan verteks di dalamV1.
Dari de…nisi ini jelas bahwa G adalah subgraf dari dirinya sendiri, atau
G disebut subgraf trivial dari G:
b e f
a
c d
Gambar 5.8
Contoh 5.5 Misalkan Gambar 5.6 merepresentasikan grafG= (V; E), maka
V = fa; b; c; d; e; f; gg dan
E = ffa; bg;fa; cg;fb; cg;fb; eg;fc; dg;fd; eg;fe; fg;fe; gg;ff; ggg:
Berdasarkan de…nisinya, graf G1 = (V1; E1) yang direpresentasikan pada
Gambar 5.8 merupakan subgraf dari G: Dalam hal ini
V1 = fa; b; c; d; e; fg V dan
Perhatikan bahwa subgraf taktrivial dari grafG= (V; E) diperoleh den- gan caramenghapus beberapa verteks atau edge dariG:Yang dimaksud meng- hapus edge, misalnyafx; yg; adalah menghilangkan fx; yg dari keanggotaan
E;sedangkan verteksxdanytidak terhapus dari keanggotaan V:Sedangkan yang dimaksud dengan menghapus verteks, misalkan a; adalah menghapus
a dari keanggotaan V dan menghapus semua edge yang inseden dengan a
dari keanggotaanE: Pada Contoh 5.5, subgrafG1 diperoleh dari menghapus verteks g (otomatis fe; gg dan ff; gg terhapus), edge fa; bg dan fb; cg:
De…nisi 5.7 Misalkan G = (V; E) graph berarah maupun tidak. Misalkan pula G1 = (V1; E1)subgraph dari G. Jika V1 =V, makaG1 disebut subgraph
spanning dari G.
Dari de…nisi ini, perhatikan bahwa subgraf spanning G1 diperoleh dari
hanya menghapus beberapa edge (tanpa verteks) di dalamG:Graf pada Gam- bar 5.9 merupakan subgraf spanning dari graf pada Gambar 5.7.
a k l
d g m
j
e f h i Gambar 5.9
De…nisi 5.8 MisalkanG= (V; E)adalah graf berarah atau tidak. Jika ?6=
U V, subgraf dari G yang dibangkitkan oleh U; dinotasikan hUi; adalah subgraf dengan himpunan verteks U dimana jika x; y 2 U dan (x; y) (atau
fx; yg) 2E, maka (x; y) (atau fx; yg) merupakan edge dari hUi:
Subgraf G0 dari graf G = (V; E) disebut subgraf induced jika ada ? 6=
5.1 Konsep Dasar Graf 133
Dari de…nisi ini, perhatikan bahwa jika diberikan U V dan U 6= ?;
subgraf induced hUi dari G merupakan graf yang diperoleh dari menghapus semua verteks didalam V yang bukan anggota U: Dengan demikian, subgraf induced dari Gdiperoleh dari hanya mengapus verteks dari G:
Contoh 5.6 Diberikan grafG= (V; E)yang direpresentasikan pada Gambar 5.6. Jika U =fa; b; d; f; gg; tentukan subgraf induced G0 =hUi dari G:
Jawab. Nyatakan G0 = (U; E0); dan hapuslah verteks c dan e dari G; maka
E0 =ffa; bg;ff; ggg:
G0 direpresentasikan pada Gambar 5.10 z
b f
a g
d Gambar 5.10
De…nisi 5.9 Misalkan V himpunan n verteks. Graph lengkap pada V, ditulis Kn, adalah graph takberarah bebas loop dimana untuk semuaa; b2V,
a 6=b, ada suatu edge fa; bg.
Dari de…nisi ini, perhatikan bahwajumlah edge dariKnadalah n2 :Gam-
K1 K2 K3 K4
Gambar 5.11
De…nisi 5.10 MisalkanGadalah graf takberarah bebas loop dengannverteks.
Komplemen dariG, dinotasikanG, adalah subgraph dariKn yang memuat
semua verteks dari G dan semua edge dariKn yang tidak termuat dalamG.
Jika G =Kn, maka G hanya mempunyai n verteks tetapi tidak mempunyai
edge sama sekali. Graph seperti ini disebut graf null.
Contoh 5.7 Misalkan G= (V; E) dengan V =fa; b; c; dg dan
E =ffa; bg;fa; cg;fc; dgg:
Tentukan G:
Jawab. Nyatakan G = (V; E): Karena himpunan semua edge dari K4 adalah
ffa; bg;fa; cg;fa; dg;fb; cg;fb; dg;fc; dgg;
maka
E =ffa; dg;fb; cg;fb; dgg:
Gambarkan representasi dari G dan G: z
De…nisi 5.11 Misalkan G1 = (V1; E1) dan G2 = (V2; E2) adalah dua graf
takberarah. Suatu fungsi f :V1 !V2 disebut suatu isomor…smegraf jika:
1. f bijektif.
2. untuk semua a; b2V1; fa; bg 2E1 jhj ff(a); f(b)g 2E2.
5.1 Konsep Dasar Graf 135 G1 a b c d G2 t w v u Gambar 5.12
Contoh 5.8 Tunjukkan bahwa graf G1 = (V1; E1) dan G2 = (V2; E2) yang
direpresentasikan pada Gambar 5.12 adalah isomo…k.
Jawab. Karena jV1j = jV2j; maka syarat pertama dipenuhi, yaitu ada fungsi bijektif dari V1 ke V2: Dari 4! fungsi bijektif yang bisa (mungkin) dide…nisikan dari V1 ke V2, dipilih fungsi bijektif yang memenuhi syarat kedua. Dengan melihat struktur graf G1 dan G2; dipilih fungsi bijektif
h:V1 !V2 yang de…nisinya
h(a) = w; h(b) =u; h(c) = v; dan h(d) =t:
Perhatikan bahwa syarat kedua dipenuhi oleh h;yaitu fa; bg 2 V1 $ fh(a); h(b)g=fw; ug 2V2; fa; cg 2 V1 $ fh(a); h(c)g=fw; vg 2V2; fc; dg 2 V1 $ fh(c); h(d)g=fv; tg 2V2; dan fb; dg 2 V1 $ fh(b); h(d)g=fu; tg 2V2:
Jadi, h adalah isomor…sme dari G1 keG2;sehingga G1 dan G2 isomor…k. z Syarat pertama pada De…nisi 5.11 menunjukkan bahwa jika jV1j 6= jV2j; maka langsung dapat kita simpulkan bahwa G1 dan G2 tidak isomor…k (karena tidak akan ada fungsi bijektif dari V1 ke V2). Demikian pula un- tuk syarat yang kedua, apabila jE1j 6= jE2j; maka dapat dipastikan bahwa
G1 dan G2 tidak isomor…k (karena tidak akan mungkin ada padanan 1 1 antar edge dariG1 dan G2). Walaupun demikian, seandainya telah dipenuhi bahwajV1j=jV2jdan jE1j=jE2j;kita masihbelum bisa menentukan bahwa
bijektif yang belum tentu memenuhi syarat yang kedua. Perhatikan contoh berikut ini. G1 a e b d c G2 1 5 2 4 3 Gambar 5.13
Contoh 5.9 Jelaskan bahwa graf G1 = (V1; E1) dan G2 = (V2; E2) yang
direpresentasikan pada Gambar 5.13 adalah tidak isomo…k.
Jawab. Pada contoh ini dipenuhi bahwa jV1j = jV2j dan jE1j = jE2j; sehingga jelas ada fungsi bijektif dari V1 ke V2: Kemudian, adakah fungsi bijektif yang memenuhi syarat kedua pada de…nisi? Jika dilihat dari strutur
G1; graf ini memuat subgrafK4:Seandainya ada isomor…sme dari G1 keG2; maka isomor…sme ini akan memetakan K4 dari dalam G1 ke K4 di dalam
G2: Akan tetapi, faktanya struktur G2 tidak mempunyai subgraf K4: Kes- impulannya, tidak ada isomor…sme dari G1 ke G2; berarti G1 dan G2 tidak
5.1 Konsep Dasar Graf 137 (G1) b c a d e f (G2) u v w x y z Gambar 5.14
Soal 5.1.9 Misalkan graf G1 dan G2 direpresentasikan pada Gambar 5.14.
Periksalah apakah G1 dan G2 isomor…k.
(G) a b c d f g i h j (G1) a b d f g i h j (G2) b c d f g i h j Gambar 5.15
Soal 5.1.10 Misalkan graf G; G1; dan G2 direpresentasikan pada Gambar
1. Terangkan (berdasarkan pengertian penghapusan) mengapa G1 meru-
pakan subgraf induced dari G:
2. Terangkan (berdasarkan pengertian penghapusan) mengapa G2 meru-
pakan subgraf induced dari G:
3. Tentukan banyaknya subgraf terhubung dariGyang mempunyai4verteks dan satu cycle.
4. Gambarkan subgraf dari G yang dibangkitkan oleh himpunan verteks
U =fb; c; d; f; i; jg:
5. Misalkan edge e = fc; fg: Jika G e dimaknai menghapus edge e di dalam G; gambarkan subgraf G e:
6. Berikan suatu contoh subgraf dari G yangbukan subgraf induced. 7. Tentukan banyaknya subgraf spanning dari G:
8. Tentukan banyaknya subgraf spanning dari G yang terhubung.
9. Tentukan banyaknya subgraf spanning dari G yang mempunyai verteks
a sebagai verteks terisolasi.
Soal 5.1.11 Misalkan G= (V; E) adalah suatu graf takberarah.
1. Tentukan banyaknya subgraf spanning yang juga merupakan subgraf in- duced dari G:
2. Jika jVj 2 dan setiap subgraf induced dari G terhubung, jelaskan bagaimana struktur dari G:
Soal 5.1.12 Tentukan semua graf takberarah tanpa loop yang mempunyai 4
verteks dansaling tidak isomor…k. Kemudian, ada berapa banyak diantara jawaban tersebut yang terhubung.
Soal 5.1.13 Tentukan banyaknya path yang panjangnya 4 di dalamK7: Se-
lanjutnya, jika m; n 2 Z+ dengan m < n; tentukan banyaknya path yang
panjangnya m di dalamKn:
Soal 5.1.14 MisalkanG adalah graf takberarah tanpa loop yang mempunyai
5.1 Konsep Dasar Graf 139
Soal 5.1.15 Misalkan G1 dan G2 adalah graf takberarah tanpa loop. Buk-
tikan bahwa G1 dan G2 isomor…k jika dan hanya jika G1 dan G2 isomor…k.
G1 a b c d e G2 1 5 2 4 3 Gambar 5.16
Soal 5.1.16 Perluaslah De…nisi 5.11 untukgraf berarah. Kemudian, perik- salah apakah grafG1 danG2yang direpresentasikan pada Gambar 5.15 adalah
isomor…k.